Конспект урока по геометрии на тему "Площадь многоугольника" (8 класс)

Конспект урока по геометрии для 8 класса

на тему «Площадь многоугольников»

Учебник: Геометрия: учебник для 7-9 классов средней школы/А. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение,2014г. – 384с. – Глава VI. Площадь, §1. Площадь многоугольника.

Тип урока – Урок изучения нового.

Цели урока:

1. Учебная задача:

·        ввести понятие площади плоских фигур;

·        выяснить, в каких единицах измеряется;

·        в чем заключается процесс измерения площадей;

·        выявить свойства площадей по аналогии с измерением длин отрезков;

·        доказать формулу площади прямоугольника.

2.  Диагностируемые цели:

В результате урока ученики:

·     знают: понятие площади, единицы измерения площадей, обозначение площади, свойства площадей, формулы площади квадрата и прямоугольника.

·     умеют: переводить одни единицы измерения площади в другие, доказывать формулу площади прямоугольника.

·     имеют представление: об измерении площадей многоугольников.

·     понимают: что площадь выражается положительным числом; как вычислить площадь квадрата и прямоугольника; аналогию измерения площади многоугольника с измерением длин отрезков.

Методы обучениия: эвристическая беседа, репродуктивный, частично – поисковый.

Форма обучения: фронтальная.

Средства обучения: традиционные, канва-таблица, палетка, модели многоугольников, презентация

Структура урока:

1)                Мотивационно - ориентировочный этап (10 минут).

2)                Содержательный этап (30 минут).

3)                Рефлексивно – оценочный этап (5 минут).

Ход урока:

Ученикам дается предварительное домашнее задание:

1.                 Построить два отрезка AB = 5 (см) и CD =50 (мм) и сравнить их длины.

2.                  Разделить отрезок AB = 9 (см) точкой М так, чтобы AM:MB=1:2. Найти длины отрезков AM и MB

3.                 Заготовить из бумаги модели треугольника, квадрата, прямоугольника и круга.

4.                 Заготовить палетку (прозрачную пленку, разделенную на квадраты со стороной 1 (см)).

I.                              Мотивационно – ориентировочный этап

1.                 Актуализация

К началу урока ученик оформляет на доске решение № 1 и № 2 из домашнего задания:

№1.

    А                          В

                                         

   С                          D

AB =  CD.

№2.

         A                   M                               B                 AM = 3 (см), MB = 6см

Деятельность учителя	Деятельность учеников
- Какие получились отрезки AB и CD? - Почему отрезки равны? - Как вы это получили? - Правильно. А теперь давайте поработаем устно. Переведите 10 (см) в мм, дм, м, км. Итак, переведем сначала 10 (см) в мм. Какой получим результат? В дм? В м? В км? - Начнем заполнять канву-таблицу. Запишите единицы измерения длин отрезков в 1 столбец, 1 строку. - Каким числом выражается длина отрезка? - Запишем это в канву-таблицу. (1 столбец , 2 строка). - Из задания №1 мы увидели, что отрезки AB и CD равны, потому что их длины равны. Запишем это свойство в канву-таблицу. (1 столбец, 3 строка). - Хорошо. Давайте проверим задачу № 2 из домашнего задания. Чему равны длины отрезков AM и MB? - Как вы это получили? - Выразим АВ из (1). Запишем это свойство в канву таблицу (1 столбец, 4 строка). - Таким образом, мы заполнили первый столбец канвы – таблицы.	- Равные - Так как их длины равны. - Перевели 5 (см) (длина отрезка AB) в мм, получили 50 (мм), а длина отрезка CD = 50 (мм). 100 (мм) 1 (дм) 0,1 (м) 0,0001 (км)   мм, см, дм, м, км      Длина отрезка выражается положительным числом. - Равные отрезки имеют равные длины. AM = 3 (см), MB = 6 (см). - Разделили отрезок AB  на 3 части  Так как у нас АМ : МВ = 1 : 2, то на АМ придется одна часть то есть он будет равен 3 (см). Теперь найдем отрезок МВ: МВ=АВ – АМ      (1) Тогда МВ=9 (см) – 3 (см)=6 (см). АВ = МВ + АМ Если отрезок составлен из нескольких отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.
Мотивация
- измерять можно  не только отрезки, но и многоугольники.      - Из чего составлены многоугольники?  -     Какие многоугольники вы знаете? (Затем учитель показывает ученикам  модели квадрата, прямоугольника, треугольника и круга. Спрашивает: «площади каких фигур вы уже умеете находить?») - Вспомните формулу площади квадрата. - Если сторона квадрата равна 1 (см), то чему равна его площадь? - Чему будет равна площадь данного квадрата в других единицах измерения: мм2, дм2, м2. - А какова формула площади прямоугольника? - Пусть дан прямоугольник со сторонами 20(мм) и 3(дм). Найдите его площадь в мм2, см2, дм2, м2. - Хорошо. С этими заданиями вы справились. - А теперь скажите, чему равна площадь треугольника? Мы не можем находить площади любых многоугольников, но понятие площади используется в повседневной жизни, например площадь комнаты. И сегодня наша задача: изучить понятие площади, сформулировать её свойства. Как известно, отрезок – это часть прямой, а многоугольник – часть плоскости. И вот по аналогии с длиной отрезка мы изучим понятие площади многоугольника и выявим её свойства. (учебная задача). Запишем в тетрадях число, классная работа, тема урока -  «Площадь многоугольника»	- Многоугольники составлены из отрезков. - Треугольник, прямоугольник, трапеция, квадрат, ромб … - Мы умеем находить площади квадрата и прямоугольника. - Площадь квадрата равна квадрату его стороны. 1 (см²) 1(см²)=100(мм²)=0,01(дм²)=0,0001(м²)    - Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. 20 (мм) = 2 (см)  =0,2 (дм) Тогда Sпр = 0,2 · 3=0,6 (дм2) 0,6(дм²)=6000(мм²)=60(см²)= =0,06(м²) - Мы этого еще не знаем.
Содержательный этап
- Вернемся к заполнению нашей канвы – таблицы. Заполнять будем второй столбец по аналогии с первым. Запишем заголовок второго столбца: Площадь многоугольника. - В каких единицах измеряется площадь? (2 столбец, 1 строка) -Каким числом выражается площадь? - Запишем это в канву – таблицу (2 столбец, 2 строка). - Будут ли равны площади равных многоугольников? - Это первое свойство площади многоугольника, запишем это в канву – таблицу (2 столбец, 3 строка).   - Точками мы делим отрезок. А чем мы можем разделить многоугольник? Сформулируйте и запишите, по аналоги с длиной отрезка второе свойство площади многоугольника (2 столбец, 4 строка). - Запишем третье свойство площадей многоугольника: площадь квадрата равна квадрату его стороны (2 столбец, 5 строка).      - Приготовьте домашние заготовки геометрических фигур - треугольника, прямоугольника, квадрата -  и палетку. Теперь с помощью палетки измерьте площади всех этих фигур следующим образом: накладываем палетку на фигуру так, чтобы две из сторон этой фигуры (для треугольника возможно одна) совпали с линиями сетки. - Площадь фигуры приблизительно равна числу полностью уложившихся в неё квадратных сантиметров. - Обратите внимание на то,  что полученный результат является приблизительным и не дает точных значений. Поэтому такой способ измерения площади на практике оказался неудобен. И для этого были найдены формулы, которые позволяют находить точный результат, т.е. значение площади фигуры. - Давайте вспомним теорему о нахождении площади прямоугольника. - Под канвой - таблицей, запишите формулировку этой теоремы. - Проведем доказательство этой теоремы. - Постройте произвольный прямоугольник ABCD. Запишем условие теоремы. Теперь перейдем к  доказательству. - Площадь какого многоугольника мы умеем находить? - По какой формуле она вычисляется? - Воспользуемся этой формулой для доказательства нашей теоремы. - Достроим прямоугольник ABCD со стороной AB=a и стороной AD=b  до квадрата со стороной (a+b)  следующим образом: продолжим сторону AB на b и отметим точку К, сторону АD на a и отметим точку Е. Проведем через точку  K  прямую, параллельную стороне АЕ и через точку Е прямую, параллельную  стороне АK. Эти прямые пересекутся. Обозначим точку пересечения за  L. Мы получили квадрат AKLE, со стороной (a+b). Теперь продолжим сторону CD прямоугольника ABCD до пересечения со стороной KL. Обозначим точку пересечения за М и  продолжим сторону BC прямоугольника ABCD до пересечения со стороной LE. Обозначим точку пересечения за F. - Чему равна площадь квадрата AKLE? - Как еще можно найти площадь этого квадрата? - Из каких фигур составлен квадрат AKLE? - Назовите квадраты и прямоугольники, из которых составлен наш квадрат. - Площадь каких фигур мы можем найти,  а каких нет? - Тогда обозначим площади прямоугольников за S. А так же найдем площади квадратов со сторонами a и b по известной формуле. Тогда чему будет равна площадь квадрата со стороной a+b, составленного из этих фигур? - Раскроем скобки. - В обеих частях уравнения есть одинаковые члены? - Какие? - Тогда мы можем вычесть из каждой части уравнения (a2+ b2). - Что получится? - Теперь разделим обе части на 2. - Теорема доказана. - Мы с вами получили общую формулу вычисления площади прямоугольника. Давайте закрепим полученные знания в процессе решения задач. Решим следующие задачи (одного ученика к доске, остальные в тетрадях)      № 457 Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 8 м и 18 м. №455 Пол комнаты, имеющий форму прямоугольника со сторонами 5,5 м и 6 м, нужно покрыть паркетом прямоугольной формы. Длина каждой дощечки паркета равна 30 см, а ширина — 5 см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия пола?	мм2, см2, дм2, м2, км2 Площадь выражается положительным числом. S > 0. - Да. Равные многоугольники имеют равные площади. - Отрезками, прямыми. - Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Sкв = а2, где а – сторона квадрата. (Ученики измеряют площади своих фигур и записывают полученный результат). - Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.    Дано: ABCD – прямоугольник, a, b – стороны. S – площадь. Доказать: S= ab. Доказательство. - Площадь квадрата. S=a2.Площадь квадрата равна квадрату его стороны. (a+b)2. - Можно воспользоваться вторым свойством  площади многоугольника: если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. - Из двух квадратов и двух прямоугольников. - Квадраты DCFE, KMCB прямоугольники ABCD, MLFC. - Мы можем найти площади квадратов, а площади прямоугольников нет. (a+b)2= a2+ b2+S+S a2+ b2+2S = a2+ 2ab+b2 - Да. a2 и  b2 a2+ b2+2S - a2 -  b2= a2+ 2ab+b2 - a2 -  b2 2S = 2ab S = ab №457 Дано: Sкв=Sпр , а=8(м), b=18(м), с – сторона квадрата Найти с=? Решение: 1)Sпр= ab, Sпр=8•18=144(м2) 2)Sкв=Sпр, Sкв=с2, с2=144, с=12(м) Ответ: с=12(м). №455 Дано: ак=5,5(м), bк=6(м), ап=30(см), bп=5(см) Найти кол-во плиток. Найдем площадь каждой плитки: Sпл=30•5=150 (см2) Найдем площадь пола: Sпол=5,5•6=33(м2)=330000(см2) Sпл/ Sпол=330000/150=2200 (плиток) Ответ: 2200 плиток
Рефлексивно – оценочный этап
- Какова была цель урока?      - Достигли мы её? - Как мы её достигли? - Хорошо, теперь запишите домашнее задание: 1)    По теории: §1, п.48,п.50. Выучить канву-таблицу. 2)    Задачи: №449: Найдите площадь квадрата, если его сторона равна: а) 1,2 (см)           б) ¾ (дм) №450: Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: б) 2,25 (дм²) №451: Площадь квадрата равна 24 (см²). Выразите эту площадь: а) в квадратных миллиметрах б) в квадратных дециметрах №452: Пусть а и b – смежные стороны прямоугольника, а Ѕ – его площадь. Вычислите: а) Ѕ, если а=8,5 (см), b=3,2 (см) в) b, если а=32 (см), Ѕ=684,8 (см²).	- Ввести понятие площади многоугольника, сформулировать свойства площади многоугольника по аналогии со свойствами длин отрезков и доказать формулу площади прямоугольника. - Да. - Мы ввели понятие площади многоугольника, сформулировали свойства площади многоугольника по аналогии со свойствами длин отрезков и доказали формулу площади прямоугольника. Домашняя работа: №449 а) а=1,2 (см)     =а²     =(1,2 (см))²=1,44 (см²) б) а=3/4 (дм)     =(3/4(дм))²=9/16 (дм²) №450 б) =2,25 (дм²)     =а²,  а=     а==1,5 (дм) №451 а) 24(см²)=(24·100)(мм²)=2400(мм²) б) 24(см²)=(24/100)(дм²)=0,24(дм²) №452 а) а=8,5 (см), b=3,2 (см)         8,5 (см)·3,2(см)=27,2(см²) в) а=32 (см), 684,8 (см²)         b= 684,8 (см²) / 32 (см)=21,4 (см)

Канва-таблица (раздаточный материал для учеников)

Длина отрезка
1.     Единицы измерения:	1. Единицы измерения:
2. Длина отрезка - это	2.
3.     Равные отрезки	3.
4.     Если отрезок составлен из нескольких отрезков, то	4.
	5.

Теорема:

Канва-таблица заполненная

Длина отрезка	Площадь многоугольника
2.     Единицы измерения: мм, см, дм, м ...	1. Единицы измерения: мм2, см2, дм2, м2...
3.     Длина отрезка - это положительное число.	2. Площадь многоугольника - это         положительное число.
4.     Равные отрезки имеют равные длины.	3.  Равные многоугольники имеют равные площади.
5.     Если отрезок составлен из нескольких отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.	4. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
	5.  Площадь квадрата равна квадрату его стороны. , где а – сторона квадрата

Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

                            

Дано: ABCD – прямоугольник,

AB=a, CD=b.

Доказать:

Доказательство:

1) Достроим прямоугольник ABCD со стороной AB=a и стороной AD=b  до квадрата со стороной (a+b):

1. продолжим сторону AB на b и отметим точку К, сторону АD на a и отметим точку Е.

2. Проведем через точку  K  прямую, параллельную стороне АЕ и через точку Е прямую, параллельную  стороне АK. Эти прямые пересекутся в точке L.

3.

Получили квадрат AKLE, со стороной (a+b).

2) S_AKLE=(a+b)²

3) С другой стороны,  (по 3 свойству площадей многоугольников).

4) Следовательно

     ,