Конспект урока по геометрии по теме "Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми"

Конспект урока на тему 

«Взаимное расположение прямых в пространстве. 

Угол между прямыми»

Учебник: Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/ [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 16-е изд. – М.: Просвещение, 2007. – 256 с., Глава I «Параллельность прямых и плоскостей», §2.

Тип урока: урок – школьная лекция.

Учебная задача: обосновать необходимость введения нового случая взаимного расположения двух прямых в пространстве и ввести новые понятия.  

Диагностируемые цели урока:

В результате урока ученик

-  знает определение скрещивающихся прямых;

-  знает что такое полуплоскость, граница, сонаправленные лучи;

-  знает формулировку признака скрещивающих прямых, теоремы о скрещивающихся прямых;

-  знает формулировку теоремы об углах с сонаправленными сторонами;

-  умеет решать задачи на вычисление угла между скрещивающимися прямыми;

-  умеет доказывать теоремы о скрещивающихся прямых, об углах с сонаправленными сторонами;

-  умеет определять взаимное расположение прямых в пространстве; - понимает практическую значимость данной темы.          

Учебные действия, формируемые на уроке:

•       Личностные: умение учащегося устанавливать связи между целью учебной деятельности и её мотивом, т.е. между результатом учения, и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется, таким образом должна осуществляться осмысленная организация собственной деятельности ученика.

•       Регулятивные: целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что ещё неизвестно, планирование - определение последовательности промежуточных целей с учётом конечного результата, оценка - выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения, волевая саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии,  способность к волевому усилию к выбору в ситуации мотивационного конфликта и  к преодолению препятствий.

•       Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, т. е. определение цели сотрудничества, функций участников, способов взаимодействия способов взаимодействия, в том числе совершенствование навыков работы в группе, умение с достаточно полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и  условиями коммуникации, владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка, умение доказывать собственное мнение.

•       Познавательные: анализ объектов  с целью выделения признаков (существенных, несущественных); построение логической цепи рассуждений, доказательство; подведение под понятие; выведение следствий; установление причинно-следственных связей, структурирование знаний, выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.

Метод обучения: беседа, репродуктивный, частично-поисковый.

Форма работы: фронтальная, индивидуальная.

Средства обучения: традиционные, презентация. I. Мотивационно-ориентировочная часть 

II.               Операционно-познавательная часть 

III.            Рефлексивно-оценочная часть 

Ход урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть

Актуализация знаний

(фронтальная работа со всем классом)

-                     Здравствуйте. Открываем тетради, записываем число, классная работа. - Сформулируйте следствия из аксиом стереометрии (Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна; Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна) - Какая фигура называется параллелограммом ( четырехугольник у которого противоположные попарно параллельны)

-                     Что можно сказать про равенство сторон? (противоположные стороны равны)

-                     Обратите  внимание на слайд. Как называются прямые, расположенные на первом рисунке? ( пересекаются) Втором рисунке? (параллельны) 

 

-Определите взаимное расположение прямой b и плоскости  α, если ab (b α). 

-                     а почему? (по теореме параллельности прямой и плоскости) 

-                     правильно. Сформулируйте теорему (если прямая, не лежащая в данной плоскости,

параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости). 

-хорошо. 

Мотивация

-   Мы с вами вспомнили два случая расположения прямых в пространстве. (a ∩ b; а || b). Что в обоих случаях имеют общего эти прямые? (они лежат в одной плоскости).

-   Правильно. Посмотрите на слайд и ответьте на мои вопросы. 

-   Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 3).

-   Являются ли параллельными прямые А₁А и DD₁; АА₁ и CC₁? (А₁А∥DD₁ как

противоположные стороны квадрата, они лежат в одной          плоскости   и        не     пересекаются;

А₁А∥DD₁  и DD₁ ∥ CC₁ ⇒ АА₁∥CC₁ по теореме о трех параллельных прямых).

-   Как расположены прямые АА₁ и АВ? (пересекаются 

в точке В)

-   Являются ли АА₁ и DC параллельными? (нет)

-   Они пересекаются? (нет)

-   Они находятся в одной плоскости? (нет)

-   А как тогда расположены эти прямые? (не можем ответить)

Постановка учебной задачи

-   Значит, в пространстве есть прямые, которые не пересекаются и не являются параллельными, так как они не лежат в одной плоскости. Наша задача выяснить, что это за прямые.

Содержательный этап

А для прямых, которые не пересекаются и не являются параллельными, есть свое название. Такие прямые называются скрещивающимися, потому что они не лежат в одной плоскости.

Запишите тему урока «Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми».

-   В жизни где встречаете параллельные и пересекающиеся прямые? ( линейки в тетради, стены, рельсы, ступени лестницы параллельны; линии на руке, пересечение дорог, проводов)

-   А наглядное представление о скрещивающихся прямых дает мост над рекой. Машины едут по мосту, а корабли по реке поперек моста.

Запишем определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. 

Посмотрим на рисунок 3.

-   В какой плоскости лежит прямая АА₁? (АА₁В)

-   В какой плоскости лежат прямая DC? (DD₁C) - Значит как называются прямые АА₁ и DC?

(скрещивающимися)

-   А что значит, прямые не лежат в одной плоскости? (не

существует плоскости, содержащей эти прямые) - Снова посмотрите на рисунок 3. 

-   давайте рассмотрим прямые ВВ₁ и AD.

-   каким плоскостям принадлежат прямые ВВ₁ и AD?

(АА₁В, АВС)

-   как расположены плоскость АА₁В и прямая АD?

(пересекаются в точке А)

-   точка А принадлежит прямой АА₁В? (нет)

-   Как расположены прямые ВВ₁ и AD? (Скрещивающиеся)

-   Почему? (не лежат в одной плоскости)

-   Да, с одной стороны это правильно. Но мы с вами почти сформулировали теорему о скрещивающихся прямых. Давайте попытаемся ее сформулировать. Посмотрите на слайд  и вставьте пропущенные слова в предложение. Если одна из двух … лежит в некоторой …, а другая прямая … эту плоскость в …, не лежащей на … …, то эти прямые … . (Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся)

-   Давайте запишем теорему – признак скрещивающихся прямых и докажем ее. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

-   Посмотрите на слайд. Перечертите рисунок и запишите что дано и доказать(рис. 4).

Дано: АВ ⊂ α, CD ∩ α = С, С ∉ АВ  Доказать: АВ ∸ CD.

Поиск доказательства:

-   докажем методом от противного.

-   какое условие будет противоречивым данному условию? (АВ и CD не являются скрещивающимися)

-   что из этого следует? (существует одна плоскость, в которой лежат прямые  АВ и CD)

-   а что нам сказано про прямую АВ и точку С? (лежат в плоскости α)

-   но мы получили что прямые АВ и CD лежат в одной плоскости, например, β. Значит прямая АВ и точка С лежат в β. Что можем сказать про плоскости α и β? (совпадают)

-   а что сказано в условие про прямую CD  и плоскость α? (CD ∩ α = С)

-   а если α и β совпадают, значит получили противоречие. И какой вывод можно сделать? (предположение, что прямые АВ и CD лежат в одной плоскости неверно)

-   Таким образом, АВ и CD скрещивающиеся.

-   Запишем теперь доказательство.

Доказательство: методом от противного

1)    Допустим, что CD и АВ не являются скрещивающимися.

Значит, существует плоскость β, в которой лежат АВ и CD .

2)    Прямая АВ и точка С по условию принадлежат плоскости α.

3)    Прямая АВ и точка С так же лежат в плоскости β.

4)    Из (2) и (3) следует, что плоскости α и β совпадают.

5)    CD не лежит в плоскости α по условию, но это не возможно, так как CD лежит в β.

6)    Предположение, что CD и АВ лежат в одной плоскости неверно.

Значит, CD и АВ скрещивающиеся.

Посмотрите на слайд (рис. 5). Ответьте на вопросы (устно)

1.    Определите взаимное расположение прямых АВ₁ и DC.

(АВ₁ и DC скрещивающиеся.)

2.    Определите          взаимное    расположение      прямой DC и плоскости АА₁В и почему именно так. (DC АА₁В, так как

АВ лежит в данной плоскости, а DC АВ, значит по

теореме параллельности прямой и плоскости DC АА₁В)

3.    Является ли прямая АВ₁ параллельной плоскости DD₁C?(Да, аналогично 2) - решим задачу.

Задача. Построить плоскость α, проходящей через точку К и параллельной скрещивающимся прямым а и b (рис. 7).

Поиск решения: 

-                     что нам дано? (точка К, прямые а и b скрещивающиеся)

-                     какую         плоскость   нужно         построить?

(параллельную этим прямым)

-                     как построить плоскость параллельную прямой

а? (через точку К провести а₁ || а)

-                     а дальше? (по следствию из аксиом, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна; а по теореме параллельности прямой и плоскости а и эта плоскость будут параллельны)

-                     а с прямой b? (аналогично, как и с а)

-                     хорошо, построили и что получим? (а₁ и b₁ пересекаются в точке К)

-                     что из этого следует? (через пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна) - Правильно, давайте построим.

Построение:

1.                 Через точку К проведем а₁ || а. (прямая а₁ и точка К определяют плоскость; построение возможно и а₁ - единственная прямая).

2.                 Через точку К проведем прямую b₁ || b.

3.                 Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α. 

α - искомая, единственная плоскость.

-   докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых. 

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна.

-   перечертите рисунок (рис. 6) в тетрадь со слайда и запишите данные. 

Дано: АВ ∸ CD.

Доказать, что α - единственная.

Попробуйте доказать ее самостоятельно на основе задачи,

которую мы с вами решили только что.

Доказательство:

1.   Через точку А проведем прямую АЕ, АЕ∥CD.

2.   Прямые АЕ∩АВ={А}        и        образуют    плоскость α.         АВ ⊂ α (по построению), CD∥α (по признаку параллельности прямой и плоскости), α - искомая плоскость.

3.   Докажем, что α - единственная плоскость. Плоскость α - единственная по следствию из аксиом, так как ее образуют пересекающиеся прямые. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ, пересекает АЕ и, следовательно, прямую CD.

Теорема доказана. 

Решим задачу №34 (1 ученик у доски)

-             прочитайте условие в учебнике. Выполните построение в тетради.

Решим задачу №39.

 

Решим задачу № 93

Дано: а || b, MN ∩ а = М (рис. 10).

Определить взаимное расположение прямых MN и b.

 Поиск решения:

-             что нам дано? (a  b)

-             что из этого следует? (a и b лежат в одной плоскости) 

-             что еще дано? (на прямой а есть точка М и через М проведена прямая, отличная от а и не пересекающая b)

-             значит как она проведена? (пересекает плоскость в точке М)

-             если она пересекает плоскость в точке, не лежащей на одной из прямых, то чем можно воспользоваться? (признаком скрещивающихся прямых)

-             правильно. Значит какое будет взаимное расположение прямых?

(скрещиваются)  Решение:

1.   a∥b ⇒ существует плоскость α, проходящая через а и b.

2.    MN и b скрещиваются (по     признаку

скрещивающихся прямых.

Ответ: MN и b скрещиваются

- Рассмотрим следующее понятие. Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет плоскость на 2 части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей.

Два луча ОА и О₁А₁ (рис. 1), не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной плоскости с границей ОО₁. Два луча ОА и О₁А₁, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой.  - какие еще сонаправленные лучи вы видите на рисунке? (перечисляют)

-какие         лучи, которые      не      являются сонаправленными? 

Докажем теорему об углах с сонаправленными углами. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Дано: ∠O и ∠О₁ с сонаправленными сторонами (рис. 2).

Доказать: ∠О = ∠О₁. 

Доказательство: 

На сторонах угла О отметим любые точки А и В и на соответственных сторонах угла О₁ отметим точки А₁ и В₁

такие, что О₁А₁ = ОА и О₁В₁ = ОВ.

1.    Рассмотрим ОАА₁О₁.  - параллелограмм (по

признаку). Значит, АА₁ ∥ ОО₁ и АА₁ = ОО₁.

2.    Рассмотрим ОВВ₁О₁.  - параллелограмм (по признаку).

Значит, ВВ₁ ∥ОО₁  и ВВ₁ = ОО₁.

⇒ Следовательно,

четырехугольник АА₁ВВ₁ - параллелограмм (по признаку). Следовательно, АВ = А₁В₁.

1. Рассмотрим ΔАВО и ΔA₁B₁O₁. 

ΔАВО = ΔА₁В₁О₁ (по трем сторонам).

⇒ ∠О = ∠О₁.

Теорема доказана.

-        Построим две пересекающиеся прямые a и b. Сколько углов они

образовали? (4)

-        Если мы знаем один из углов другие сможем найти? (да) - Обозначим за α угол который не превосходит любой из оставшихся 3 углов. Такой угол называется углом между

пересекающимися прямыми.

Запишите определение. Углом между пересекающимися прямыми называется угол, не превосходящий любой из трех остальных (то есть наименьший из четырех образованных). 

-        Угол между прямыми - это градусная мера, а не геометрическая фигура.

-        сколько градусов может быть угол между пересекающимися прямыми?

(0° < α ≤ 90°)

Запишите в тетрадь 0° < α ≤ 90°.

-        постройте две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Как найти угол между скрещивающимися   прямыми?   (построить прямые       А₁В₁ и C₁D₁ соответственно параллельными АВ и CD, они пересекутся в точке М₁) - а угол между пересекающимися прямыми мы умеем находить.

Запишите определение. Угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD определяется как угол между пересекающимися прямыми А₁В₁ и C₁D₁ соответственно параллельными АВ и CD (рис. 3).

  

-        как вы думаете, зависит ли величина угла φ от выбора точки М1?

-        давайте отметим любую точку М₂ и построим А₂В₂ ∥АВ и C₂D₂ ∥CD.

 

-        Почему А₂В₂ ∥ A₁B₁ и C₂D₂∥ C₁D₁? (По теореме о трех параллельных прямых)

-        Являются ли углы ∠A₁M₁D₁ и ∠A₂M₂D₂ углами с соответственно параллельными сторонами? (Да)

⇒1) ∠A₁M₁B₁ = ∠A₂M₂B₂ (по изученной теореме).

2) Величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки.

Решим задачу (устно). На слайде.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 4). 

Найдите угол между прямыми. 

1)   ВС и СС₁ (90°); 

2)   АС и ВС(45°);  3) D₁C₁ и ВС(90°).

4) А₁В₁ и АС(45°).

№ 44 

 

-   прочитайте задачу на слайде.

Задача. Треугольники ABC и ADC лежат в разных плоскостях. РК - средняя линия ΔADC с основанием АС. Определить взаимное расположение прямых РК и АВ и найти угол между ними, если ∠С = 80°; ∠В = 40°.

-   перечертите рисунок и запишите дано.

Дано: ΔADC и ΔАВС; РК - средняя линия ΔADC. ∠В = 40°; ∠С = 80°.

Определить: взаимное расположение прямых РК и АВ угол между РК и АВ.

Решение:

1.     АВ ∩ (ADC) = А; А ∉ РК, так как РК || АС (по свойству средней линии треугольника) ⇒ АВ и РК скрещиваются.

2.     РК || АС. Угол между пересекающимися прямыми АС и АВ равен: ∠А = 180° - (80° + 40°) = 60°.

3.     Угол между скрещивающимися прямыми равен 60°. 

Ответ: АВ и РК скрещиваются; 60°.

Рефлексивно-оценочный этап

-   С какими понятиями вы сегодня познакомились? (скрещивающиеся прямые, угол между пересекающимися и скрещивающимися прямыми)

-Все вам было понятно? (да) 

-   Записываем домашнее задание §2 теория, доказательства теорем.