Урок в 9 классе
«Решение текстовых задач на смеси и сплавы»
Цели:
Систематизация, обобщение и углубление знаний учащихся при решении текстовых задач.
Повышение практической направленности предмета.
Формирование математической грамотности.
Развитие логического, творческого мышления.
Ход занятия:
Актуализация опорных знаний:
К
россворд:
Сотая часть числа называется …(процент)
2. Частное двух чисел называют …(отношение)
3. Верное равенство двух отношений называют …(пропорция)
4. В химии определение этого понятия звучало бы так: гомогенная смесь, образованная не менее чем двумя компонентами … (раствор). Один из которых называется растворителем, а другой растворимым веществом.
5. Отношение массы растворимого вещества к массе раствора называют массовой долей вещества в растворе или …(концентрация)
Устная разминка:
Соотнести проценты и соответствующие им дроби: 5% - 0,05; 17% - 0,17; 123% - 1,23; 0,3% - 0,003; 100% - 1
5%
17%
123%
0,3%
100%
0,003
1
0,05
0,17
1,23
Итак, ребята, сегодня на уроке мы с вами рассмотрим задачи, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание». В условиях таких задач речь идет, чаще всего, о сплавлении каких-либо металлов, растворении друг в друге различных веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов. Эти задачи входят в различные сборники заданий по подготовке к итоговой аттестации по математике за курс основной школы и включаются в варианты ЕГЭ.
Концентрацией (долей, процентным содержанием) α основного вещества в смеси будем называть отношение массы основного вещества m в смеси к общей массе смеси M:
Эта величина может быть выражена либо в долях единицы, либо в процентах. В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы, рисунки, таблицы. Современные психологи утверждают, что решение одной задачи несколькими способами часто бывает более полезным, чем решение одним способом нескольких задач.
Поэтому мы с вами рассмотрим несколько способов решения задач на смеси и сплавы.
I. Рассмотрим решения задач с применением таблицы.
Таблица для решения задач имеет вид.
Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов % содержание вещества (доля содержания вещества)
Масса раствора (смеси, сплава)
Масса вещества
Очень часто, при консервировании овощей и фруктов можно встретить в рецептах, допустим, выражение: добавить 150 мл 9% раствора уксусной кислоты. Давайте рассмотрим один из таких рецептов.
В сборнике есть такой рецепт консервирования огурцов:
В 3- литровую банку положить разрезанную на 4 части морковь, 2 луковицы, 1 головку чеснока, лавровый и хреновый лист, листья смородины и вишни, зонтик укропа, несколько горошин черного перца.
Заполнить банку огурцами, залить кипящей водой на 15 минут. Затем воду слить, добавить в нее 5 ч.л. соли, 10 ч.л. сахара, 100 мл 6% уксуса, вновь вскипятить и влить в банку. Закатать.
При чем тут математика, скажете вы? А как известно, в магазинах чаще всего уксусная кислота бывает 70%. А в рецепте сказано, 6%.
Давайте составим математическую модель задачи.
Задача №1 Требуется приготовить 100мл 6%-го раствора уксусной кислоты. Сколько для этого потребуется воды и 70% - го раствора уксусной кислоты?
Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов % содержание меди (доля содержания вещества)
Масса раствора (смеси, сплава)
Масса вещества
Уксусная кислота
70%=0,7
Х мл
0,7*х
Вода
0%=0
(100 – Х) мл
0*(100–х)=0
Получившийся раствор
6%=0,06
100 г
100*0,06=6
Сумма масс веществ в первых двух строчках равна массе вещества в полученном растворе (третья строка таблицы):
Решив это уравнение, получаем х=
= 8
. При этом значении х выражение
100 – х=91
. Это означает, что уксусной кислоты надо взять 8мл, а воды 91мл.
Ответ: 91мл. 8мл.
II. Рассмотрим решение этой же задачи с помощью следующей модели. Изобразим каждый из растворов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Для того, чтобы показать, что происходит смешивание веществ поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками, а знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками показывает, что третий раствор получен в результате смешивания первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:
Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели- схемы:
Уксусная кислота
вода
Новый раствор
70%
0%
6%
+
=
Р
ешение. Пусть хмл – масса первого раствора уксусной кислоты. Тогда, (100-х)г – масса воды. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:
Уксусная кислота
вода
Новый раствор
70%
0%
6%
+
=
Х
100-Х
100
Сумма масс раствора и воды (то есть слева от знака равенства) равна массе раствора справа 0,7х +0(100-х)=0.06*100
Решив это уравнение, получаем х= =8 .
При этом значении х выражение 100-х=91
Это означает, что воды надо взять 91мл, а уксусной кислоты-8 мл
Ответ: 91мл. 8мл.
Данным способом мы решали задачу относительно уксусной кислоты, но можно решить и относительно воды.
Р
ешение. Пусть хмл – масса первого раствора уксусной кислоты. Тогда, (100-х)г – масса воды. Дополним схему этими выражениями. Получим следующую схему:
Уксусная кислота
вода
Новый раствор
30%
100%
94%
+
=
Х
100-Х
100
Сумма масс раствора и воды (то есть слева от знака равенства) равна массе раствора справа 0,3х +1 (100-х)=0.94*100
Решив это уравнение, получаем х= =8 .
При этом значении х выражение 100-х=91
Это означает, что воды надо взять91мл, а уксусной кислоты-8 мл
Ответ: 91мл. 8мл.
III. Старинный способ решения задач на смеси, сплавы и растворы. Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого.
Ввиду большой простоты предложенный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо, как в предыдущей задаче, рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ.
Параметры исходных растворов
Доли исходных растворов в конечном растворе
Параметры конечного раствора
6%
70% (х мл)
6 частей
1 раствор
6-0
2 раствор
70-6
64 части
0% (100-Х) мл
= 
64 х=600-6х
70 х=600
Х=8
При этом значении х выражение 100-х=91
Это означает, что воды надо взять91мл, а уксусной кислоты-8 мл
Ответ: 91мл. 8мл.
Физкультминутка
Физическое упражнение, влияющее на гармонизацию работы левого и правого полушарий, называется «перекрестный шаг» и проводится следующим образом.
Имитируем ходьбу на месте, поднимая колено чуть выше, чем обычно. Можно сделать это сидя, приподнимая ногу на носок, навстречу руке. Каждый раз, когда колено находится в наивысшей точке, кладем на него противоположную руку. Одним словом, соприкасаются то левое колено с правой рукой, то правое колено с левой рукой. Для эффективности в момент взмаха можно подниматься на опорной ноге на цыпочки.
Обязательное условие выполнения этого упражнения — двигаться не быстро, а в удобном темпе и с удовольствием.
Если нет возможности сделать «перекрестный шаг», а ситуация требует немедленной сосредоточенности, то можно применить следующий прием: нарисовать на чистом листе бумаги косой крест, похожий на букву «X», и несколько минут созерцать его. Эффект будет слабее, чем от физических упражнений, однако поможет согласованности работы левого и правого полушарий.
Следующее упражнение уменьшает кислородное голодание, усиливающее негативное влияние стресса. Для борьбы с кислородным голоданием существует прием под названием «энергетическое зевание». Зевать необходимо тем чаще, чем более интенсивной умственной деятельностью вы заняты. Зевание во время экзамена очень полезно. Как правильно зевать? Во время зевка обеими руками массировать круговыми движениями сухожилия (около ушей), соединяющие нижнюю и верхнюю челюсти. В этих местах находится большое количество нервных волокон. Для того чтобы оградить свой организм от кислородного голодания, достаточно 3-5 зевков.
Задача №2 Сколько граммов воды нужно добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?
Первый способ:
Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов % содержание вещества (доля содержания вещества)
Масса раствора (смеси, сплава)
Масса вещества
Сироп
25%=0,25
180 г.
0,25180=45 (г.)
Вода
0%
х г.
-
Новый сироп
20%=0,2
(180+х) г.
0,2(180+х)=36+0,2х (г.)
45 = 36 + 0,2х;
0,2х = 9;
х=45.
Ответ: 45 г.
Второй способ:
вода
сахар
вода
сахар
вода
0
,75
180+х=0,8(180+х); 135+х=144+0,8х;
0,2х=9;
х=45.
Ответ: 45 г.
Третий способ.
Задача №3. А сейчас, ребята, попробуйте сами составить задачу.
Подведение итогов урока!
Дидактические материалы для тренировки:
№3. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты.
Ответ: 16 %.
№4. В 4кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько килограммов олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве стало равным 70%? Ответ:4кг.
№5. Сколько нужно взять 10% и 30% растворов марганцовки, чтобы получить 200 г 16% раствора марганцовки? Ответ:140г, 60г.
№:. Сколько граммов 35% раствора марганцовки надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%? Ответ:130г
№7. Сколько граммов воды нужно добавить к 5% йодной настойке массой 100г, чтобы концентрация йода уменьшилась до 1%? Ответ:400г
№8. Требуется приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25% - го раствора нашатырного спирта? Ответ:60г;40г
№9. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько надо взять «бедной» руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%?
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.