Занятие
по теме:
«Разбор
задачи №26 по ОГЭ по математике»
Цели: 1.Научить решать задачи по теме
«Окружность» повышенной сложности.
2. Разобрать все возможные
способы решения.
Задача 1. Две касающиеся внешним образом в
точке К окружности, радиусы которых равны 22 и 33, касаются сторон угла с
вершиной А. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К,
пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной
около треугольника АВС.
Решение:
Нарисуем чертеж:
Вспоминаем, что радиус окружности, проведенный
в точку касания, перпендикулярен касательной. Именно поэтому отрезки ОК и KS
лежат на одной прямой, а углы BNS и BMO – прямые. Тогда треугольник АМО
подобен треугольнику ANS (по двум углам). Обозначим отрезок АО за х. Тогда
можно составить пропорцию для этих двух треугольников: NS:MO=AS:AO, или
33/22=(55+x)/x. Из этой пропорции найдем х: 3/2=(55+x)/x, 3x=2(55+x). Отсюда
x=AO=110. Теперь в треугольнике АМО известна гипотенуза и один катет, поэт ому
можем определить синус угла MAO: sin MAO=MO/AO=22/110=0,2. Зная синус,
определим косинус угла MAO: cos MAO=sqrt{1-(sin
MAO)^2}=sqrt{1-0,04}={2*sqrt{6}}/5. Если же известны синус и косинус угла, то
можно найти синус двойного угла (синус угла BAC): 2*sin MAO*cos MAO=sin
BAC=2*{0,2}*{2*sqrt{6}}/5={4*sqrt{6}}/25. Найти радиус описанной окружности
легко по теореме синусов, если узнать длину стороны ВС треугольника АВС (или
длину отрезка ВК, и потом умножить ее на 2). Треугольник АВК подобен
треугольнику АМО по двум углам, и подобен треугольнику ANS (треугольник АВС
прямоугольный, так как АК – высота, медиана и биссектриса равнобедренного
треугольника АВС. Составим пропорцию для подобных треугольников АВК и АМО:
BK:MO=AK:AM, или BK/22=132/sqrt{110^2-22^2} – вычисляем АМ по теореме Пифагора.
Тогда BK=132*22/{44sqrt{6}}=11sqrt{6}, BC=22sqrt{6}. Наконец дошло дело и до
теоремы синусов: BC/{sin{BAC}}=2R,
R={BC}/{2*sin{BAC}}={22*sqrt{6}/2}*25/{4*sqrt{6}}=275/4=68,75.
Ответ: 68,75
Задача 2. Окружности радиусов 12 и 52 касаются
внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки C и D – на
второй. При этом АС и BD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние
между прямыми АВ и CD.
Решение:
Задача похожа на предыдущую. Искомое
расстояние FK можно найти, определив длины отрезков FN и KO. Тогда
FK=NO+FN-KO.
Треугольники TAB и TCD – равнобедренные (по
свойствам секущих, проведенных из одной точки). Треугольники TAN и TCO –
прямоугольные и подобны по двум углам. Составляем для них пропорцию: CO:AN=TO:TN,
или, если обозначить TN за х, то 52/12=(64+x)/x. Тогда TN=x=19,2. Треугольники
TAN и FAN подобны (по двум углам), угол FAN равен углу ATN, тогда равны и их
синусы. Треугольник FAN подобен также треугольнику KOC. Тогда
AN/TN=FN/AN=KO/OC, или 12/{19,2}=FN/12=KO/52. Из этой пропорции находим FN=7,5,
KO=32,5. Окончательно находим FK=NO+FN-KO=(12+52)+7,5-32,5=64-25=39.
Ответ: 39.
Задача 3. Из вершины прямого угла С
треугольника АВС проведена высота СР. Радиус окружности, вписанной в
треугольник ВСР, равен 96, тангенс угла ВАС равен 8/15. Найдите радиус
окружности, вписанной в треугольник АВС.
Решение:
Известный тангенс угла дает отношение сторон
треугольника BCP. Их, например, можно обозначить: PB=8x; PC=15x. Тогда по
теореме Пифагора CB=sqrt{(8x)^2+(15x)^2}=17x. Далее нам даже необязательно
знать длины сторон – хотя в этой задаче их можно найти, зная радиус вписанной
окружности и воспользовавшись формулой Герона. Нам понадобятся не длины сторон,
а их отношение, то есть коэффициент подобия треугольников ABC и BCP. Он равен
17:8. Тогда {r_{ABC}}/{r_{BCP}}=17/8, или
{r_ABC}={17/8}*{r_{BCP}}=96*{17/8}=204.
Ответ: 204.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.