Конспект урока по теме «Решение уравнений с переменной под знаком модуля»

Решение уравнений с переменной под знаком модуля

Эпиграф к уроку:«Мало знать, надо и применять, мало хотеть, надо и делать».

И. Гете

ЦЕЛИ:

Предметные: 1. Помочь учащимся целостно представить проект изучения новой темы.

2.Организовать деятельность учащихся по изучению и первичному закреплению всех типов уравнений под модулем и схем их решений.

Направленные на развитие ребенка:  1.  Актуализировать личностный смысл  учащихся к изучению темы.

2.Помочь учащимся осознать социальную, практическую и личностную значимость учебного материала.

3.Содействовать развитию у детей умений осуществлять самоконтроль, самооценку и самокоррекцию УД, содействовать включению каждого ученика в активную учебно-познавательную деятельность.

Форма организации образовательного процесса: лекция.

Тип урока по дидактической цели:  изучение и первичное закрепление  нового материала.

ХОД УРОКА:

1.      Организационный этап.

2.      Мотивация учебной деятельности, сообщение цели и задач урока, знакомство с планом лекции.

У: Существенной характеристикой числа является его абсолютная величина  (или модуль). Это понятие широко применяется в различных разделах школьного курса математики, физики. Вспомним,   где применяется модуль числа?   (На слайдах 1-4)

1). Математика.

Модуль – это расстояние от точки О-начала отсчета  до точки, изображающей это число на координатной прямой (геометрический смысл модуля).

2).Геометрия и физика:

 

               а                     |а|                                   F                           |F|

3).  Алгебра. Теория приближенных вычислении:

а = 1,5436;   b = 1,5. Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности точного и приближенного значений. А.п. = | точное значение – приближенное значение|

Кроме того, мы строили графики  функций, содержащие модуль числа, решали простейшие уравнения вида  | х | =  а.

У: В курсе высшей математики модуль встречается в определении таких основных понятий, как предел функции, ограниченная функция. В углубленном курсе математики мы с вами будем решать серьезные уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

Задача нашего урока: рассмотреть основные типы уравнений с модулями и методы их решения. Тема сегодняшней лекции: «Решение уравнений с переменной  под знаком  модуля ».

Лекция у нас будет активная. Вы не только будете конспектировать,  но и отвечать на мои вопросы, формулировать свои вопросы, выполнять задания, искать ошибки и их исправлять. Тема очень серьезная, нужная. Вы сами будете контролировать себя, в листке самоконтроля будете отмечать, что вы хорошо усвоили, а что вам еще не совсем понятно.

3. Актуализация субъектного опыта учащихся.

У: Что такое модуль числа? (ответы уч-ся). Результаты в лист самоконтроля.

Устная работа.

1) Найти: а) |-3,5|       б)  | 3,5|       в) | -3,5|         г) -  |-3,5|           д) |- | -3,5| |

2) Освободиться от знака модуля:      |√ 2 – 1|;   | √ 2 - √ 3|;   | П   - 4| .

У: Из определения и геометрического смысла модуля вытекают свойства модуля. Вспомним их. (На слайдах).  Рассказывает ученица с док-вом 3-5 свойств.

Свойства:

1.   | а | ≥ 0.

2. | а – b|  есть расстояние между точками а и b  числовой оси.

3. | -а | = а.

4.  |b| = |а| |b|,  | а/b| = | а| / |b|  ( b ≠ 0)

5.  | а| = b ó       b≥ 0,

                            а = b,

                            а = -b.

6. |а|² = а² = | а²|

У:  Задание: верно ли раскрыт модуль.     Работа с сигнальными картами.

Если да, то поднимаем зеленую карточку, если нет - красную.

Если ответ верный, ставим «+» в карте самоконтроля напротив номера задания, если нет – знак   «-» .

	Примеры	Верно или нет
1.	|-17 |  = 17
2.	- | -5| = 5
3.	|  - | - | -П   |  |  |  = П
4.	| √3  - 2 |  = √3  - 2
5.	|-а | =  а
6.	|а | =  - а

4.      Организация восприятия и осмысления нового материала и первичная проверка материала.

У: Из определения и свойств модуля вытекают основные методы решения уравнений с модулями. Это:

- «раскрытие модуля по определению;

- использование геометрического смысла модуля;

- использование равносильных преобразований;

- замена переменной;

- универсальный метод.

Сущность  всех этих методов состоит в том, чтобы избавиться от знака модуля, заменяя данное уравнение равносильной системой или совокупностью уравнений.

1.Уравнение вида |х| = а    (а - действительное число).

Решение данного типа уравнений вытекает из определения модуля.

|х| = а ó       х = + а,  если а > 0;

                      х = 0 , если  а = 0;

                      нет решений   , если а < 0.

«Звездный час» (На столах у каждого карточки с номерами 1,2,3,4,5)

Попробуйте решить несколько уравнений непосредственно по определению модуля. (Отмечаем в сигнальных картах за верный ответ «звездочку», или «-», если ответ неверный).

Выбрать верный ответ из предложенных вариантов. (По сигналу поднимаем карточку с номером правильного ответа)

1. | х | = 7;              2.| х | = -7;                     3. | -х | = -7     4.  | х - 7 | = 7 - х;

1)                                                                                                       7;

2)                                                                                                       -7;

3)                                                                                                       7; -7

4)                                                                                                       нет решений

5)                                                                                                       другой ответ.

6)                                                                                                       х  ≤ 7

Подробно рассматривается решение уравнения №4.

Обратите внимание: Ответ здесь не совсем обычный для  уравнений – целая  полупрямая .     |

2. Уравнение вида    | f(х) | = а  (а - действительное число)

если а >0, то        |  f(х) | = а    ó     f(х)  = а,

                                                             f(х)  = - а

если а =0,  то       |  f(х) | = а    ó     f(х)  = 0,

если а < 0, то       уравнение не имеет решений.

Пример №1.    Решить уравнение:  | х² – 2х -4 | = 4.

| х² – 2х  -4 | = 4  ó        х² – 2х  -4  =  4;

                                         х² – 2х  -4  = -4.

1). х² – 2х  -4  =  4                  2)  х² – 2х  -4  = -4.

х  = 4;                                          х = 0;

х  = -2.                                         х = 2.

Ответ:  4; -2; 0; 2.

Задание: «Звездный час». «Выбираем равносильности».

Уравнения: а). | х² – х  + 1 | = 3;   б) | х² – х  + 1 | = 0;    в) | х² – х  + 1 | = -3.

Из предложенных вариантов выбираем соответствующие равносильности для каждого уравнения:

1.                       х² – х  + 1 = 0;

2.                       х² – х  + 1  = 3;

            х² – х  + 1  = -3.

3.                       х² – х  + 1  = 3;

           х² – х  + 1  = -3.

4.                       Другой ответ.

3. Уравнение вида | f(х) | = g(х)

Из определения модуля следует, что корни уравнения должны удовлетворять условию g(х) ≥ 0. При соблюдении этого условия искомые корни уравнения должны удовлетворять совокупности  f(х)  =  g(х) или     f(х)  = - g(х). Значит, уравнение равносильно

                                        g(х) ≥ 0.

|  f(х) | = g(х) ó             f(х)  =  g(х)

                                         f(х)  = - g(х).

Пример №2.

Решить уравнение : | х² –4х  + 3 | = 2х – 5.

| х² –4 х  + 3 | = 2х – 5. ó     2х -5 ≥ 0,                                      х  ≥ 2,5,

                                                х² –4х  + 3  = 2х – 5,    ó          х² –6х  + 8  = 0,

                                                х² – х  + 3  =  -2х + 5,                х² –2х  - 2  = 0.

1). х² –6 х  + 8  = 0

Х = 4                                           х ≥ 2,5,

Х = 2                          ó              х = 4

2). х² –2 х  - 2  = 0.                       х = 2

Д = 12                                            х = 1 + √3

х = 1 + √3 ( 2,7)                             х = 1 - √3

х = 1 - √3  ( - 0,7)                                                      Ответ:  4; 1 + √3

4. Уравнение вида  |f(х) | = |g(х)|

Можно избавиться от модуля по определению, но есть более короткий путь решения. Очевидно, что если равны модули двух чисел, то сами числа либо равны, либо противоположны, т.е. это уравнение равносильно совокупности уравнений:

|f(х) | = |g(х)|  ó    f(х)  =  g(х)

                                f(х)  = - g(х).

Пример №3.

Решить уравнение: | х² + 2 х  - 1 | = |х + 1|. (Самостоятельно)

| х² + 2 х  - 1 | = |х + 1|   ó   х² + 2 х  - 1  =  х + 1         ó      х² + х - 2  = 0

                                               х² + 2 х  - 1  = - х – 1                  х² + 3х   = 0

Ответ: -3; -2; 0; 1.

Задание:

Найти ошибку:                 | х + 3 | = |х² – 1|    ó        х + 3  = х² – 1

                                                                                        х + 3  = - х² – 1.

5.Уравнения вида  ах² +b|х| +с =0

Пример № 5.

х²  - 3|х| +2 = 0                                  Ответ: -2; -1; 1; 2.

У: Предлагаю вам  найти способ решения таких уравнений. (Способ решения - подстановка, самостоятельное решение, проверка по образцу)

6.Уравнения вида  |х –а| + |х – b| = m. Универсальный метод.

Решаются такие уравнения методом интервалов. Алгоритм решения(на слайде):

1) Находим корни подмодульных выражений, отмечаем их на координатной прямой.

2) На каждом из получившихся интервалов двучлены х-а  и  х-b сохраняют знак. Поэтому каждый из модулей раскрывается со своим знаком.

3) Рассмотрим исходное уравнение на каждом из промежутков и найденные решения объединяем.

Пример № 6.

|х + 1| + |х – 4| =6

5. Закрепление изученного материала.

Итак, мы рассмотрели 6 типов уравнений и способы их решения (таблица).

	Типы  уравнений	Схемы решений
1.	| х | = а                                                             (а - действительное число).	х = + а, если а > 0; |х| = а ó        х = 0 , если  а = 0;                 Нет реш.   , если а < 0.
2.	|  f(х) | = а (а- - действительное число).	если а >0, то  |  f(х) | = а    ó      f(х)  = а,                                                  f(х)  = - а если а =0,  то  |  f(х) | = а      ó    f(х)  = 0, если а < 0, то    ур-е не имеет решений.
3.	| f(х) | = g(х)	f(х)  =  g(х) |  f(х) | = g(х) ó         f(х)  = - g(х).                              g(х) ≥ 0.
4.	|f(х) | = |g(х)|	|f(х) | = |g(х)|  ó     f(х)  =  g(х)                                  f(х)  = - g(х).
5.	ах2 +b|х| +с =0	Подстановка  у = | х |
6.	|х –а| + |х – b| = m	Метод интервалов.

«Звездный час».   Задание:  К какому типу относится каждое уравнение? (Таблица на доске и такие же карточки у учащихся)

Ребята отвечают на  вопрос и заполняют столбец «Тип», схему решения.

Самостоятельно решают по 3 уравнения из таблицы.

	Уравнения	Тип	Решение:
1	|х|   +  | х-1 |  + | х-2|  = 2
2	| х2 - х  - 6 | = |  2х2  + х - 1|.
3	| х2 –7 х  + 1 | = х +1.
4	| х2 – 5х  +1| = 5;
5	х2  -  4|х|  = - 3

6.  Анализ.  Прием «Пчелиный улей».

В парах обменяться мнениями о том, кто что узнал и  не понял, учесть листок самоконтроля. Сформулировать вопросы, которые хотели бы задать.

Каждая пара по очереди задает свой вопрос, на которые отвечает учитель или кто-то из учеников.

7.Постановка задания на дом. Выучить лекцию, свойства с доказательством, разобрать опорные задачи. №№ 278,279(а,в),282 (по учебнику).

8.Подведение итогов, рефлексия.

Учащиеся сдают заполненный  лист   самоконтроля.

Лист   самоконтроля                         Ф.И. _____________________

	Задания	1	2	3	4	5	Кол-во прав. ответов
1.	Определение модуля
2.	Уравнение | х | = а
3.	Уравнение |  f(х) | = а
4.	Уравнениие | f(х) | = |g(х)|
5.	Определение типов уравнений

Оценка _______ (самооценка)

Рефлексия. (Цветовой индекс урока) При выходе из класса на стене магнитная доска, под ней на парте карточки трех цветов на клейкой основе:

Карточка зеленого цвета обозначает: « Я удовлетворен уроком, урок был полезен для меня, я много с пользой работал на уроке,  получил заслуженную оценку».

Карточка желтого цвета обозначает: «Урок был интересен, и я принимал  в нем посильное участие, урок был в определенной степени полезен для меня, я сумел выполнить ряд заданий».

Карточка красного цвета обозначает: «Пользы от урока я получил мало, я не очень понимал, о чем идет речь, мне это не очень нужно, домашнее задание я не понял, к ответу на уроке я был не готов».

После окончания урока учащиеся по желанию  прикрепляют на доске карточку соответствующего цвета. Получается цветовой индекс урока.

Краткое описание документа:

Урок изучения нового материала.Урок состоит из восьми основных этапов, на каждом из которых максимально создана ситуация активного включения ученика в учебный процесс.

1 этап – организационный

2 этап - Мотивация учебной деятельности, сообщение цели и задач

3 этап - актуализация знаний

4 этап – организация восприятия и осмысления нового материала и первичная проверка материала

5 этап - закрепление изученного материала

6 этап – анализ.

7 этап - домашнее задание

8 этап- подведение итогов, рефлексия