Конспект урока по теме"Показательные уравнения"

Тема: Показательные уравнения

Учитель: Смирнова А.А.

Класс: 11

Тип урока: ознакомление с новым материалом

Цели урока:

Образовательные:

·                     познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений.

Развивающие:

·                     развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала, применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях, развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность обучающихся, правильно формулировать и излагать мысли

Воспитательные:

·                     воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы, прививать желание иметь глубокие знания, воспитывать умение работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи, воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

1. Организационный момент.

Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний.

Устно:

1.      Какая функция называется показательной?

2.      Область значений показательной функции.

3.      Что называется корнем уравнения?

4.      Пересечет ли прямая у = -3 график функции у = 4^х?

5.      Сравнить числа 2,7³ и 1.

6.      Что является графиком линейной функции?

7.      Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:

а) 1) у = 4, 2) у = х, 3) у = 5^x, 4) у = x³

3. Изучение нового материала.

Показательными уравнениями называют уравнения вида(1), где а — положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Опираясь на полученные в предыдущем параграфе теоремы 1 и 3, согласно которым равенство , где , справедливо тогда и только тогда, когда t = s, мы можем сформулировать следующее утверждение.

Теорема. Показательное уравнение равносильно уравнению f(x) = g(x).

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.

Так как показательная функция а^х монотонна и ее область значений (0, ?), то простейшее показательное уравнение а^х=в имеет корень при в>0. Именно к виду а^х=в надо сводить более сложные уравнения.

“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и в последствии подтвердить это, что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц.

1.Простейшие уравнения: (устно)

а)2^х-5 = 16 Приведение обеих частей к общему основанию: 2^х-5 = 2⁴

Данное уравнение равносильно уравнению:  х-5 = 4, х = 9.Ответ: 9.

б)3^х = -9

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений. Ответ: нет решений.

2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки.

7^х + 7^х+2 = 350 7^х + 7^х7² = 350 7^х(1+ 49) = 350 7^х =350:50 7^х = 7 х = 1 Ответ: х=1.

3.Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной. 16^х – 174^х + 16 = 0

Пусть 4^х = t, где t , тогда уравнение примет вид: t² - 17t + 16 = 0

Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:

t₁=1, t₂=16

Если t₁ = 1, то 4^х = 1, 4^х = 4⁰, х₁ = 0. Если t₁ = 16, то 4^х = 16, 4^х = 4², х₂ = 2 Ответ: х₁ = 0, х₂ = 2.

4.Уравнения, решаемые с помощью их специфики – методом подбора.

При решении уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а потом доказывают, что этот корень единственный с использованием свойства монотонности показательной функции.

15^х + 20^х = 25^х Корень данного уравнения равен 2.

Действительно, при подстановке получаем верное равенство:

15²+ 20² = 25²  625 = 625  Других корней это уравнение не имеет. Разделим все члены этого уравнения на его правую часть, тогда получим:

 += 1   += 1 

Функции ,  – убывающие, так как их основания меньше 1, а следовательно, сумма этих функций тоже будет убывающей. А по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: х = 2.

5. Графический метод.

Решить уравнение: 4^х = 5-х

В одной координатной плоскости строят графики функций у = 4^х и у = 5-х

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций у = 4^х и у = 5-х

Проверка: х = 1, 4¹ = 5-1, 4 = 4 (верно) Ответ: х = 1.

6.Уравнения, решаемые с применением свойств прогрессии.

2 · 2³· 2⁵·… ·2^2х-1 = 512  2^{1+3+5+…+2х-1} = 512

Рассмотрим арифметическую прогрессию (а_n) из х членов, где а_n = 2 n-1, а₁ = 1:

S_n =х= х·х = х^{2   9}   х² = 9   х₁ = 3  х₂ = -3 ( (не удовлетворяет)  Ответ: х = 3.

7.Однородные показательные уравнения второй степени.

6 ·4^х – 13 6^х + 6 ·9^х = 0   6 ·2^х – 13 ·2^х 3^х +6· 3^2х = 0

Так как 3^2х 0, то разделим обе части уравнения на 3^2х, тогда получим

 ^–     6· (^2х – 13· (^х + 6 = 0  

Путь(^х =t, тогда получим уравнение 6t² – 13t + 6 = 0   D = 13² -4• 6• 6 = 169 – 144 = 25

t₁ = _,   t₂ =_.   Если t₁ = ^х = _, ^х = ()¹, х₁ = 1.

Если t₂ = ^х =  _, ^х = ()^-1, х₂ = -1.  Ответ: х₁ = 1, х₂ = -1.

Уравнения (кроме № 4, 7, 6) решались совместно с обучающимися.

Подведем некоторые итоги.

Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений.

 1) Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций. Мы применяли этот метод в § 11.

2) Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение  равносильно уравнению f(x) = g(x), где а — положительное число, отличное от 1. Мы применили этот метод в примерах 1 и 2.

3) Метод введения новой переменной. Мы применили этот метод в примере 3.

Рассмотрим несколько более сложных примеров.