Конспект урока "Теорема о сумме углов треугольника"

План-конспект

урока по геометрии на тему:

«Теорема о сумме углов треугольника»

Дата проведения: 10.02.2017

Цели урока:

обучающая: доказать теорему о сумме углов треугольника; обучить применять данную теорему при решении задач;

развивающая: совершенствовать умения логически мыслить и выражать свои мысли вслух; способствовать развитию сообразительности;

воспитательная: воспитывать у обучающихся стремление к совершенствованию своих знаний; воспитывать интерес к предмету.

Тип урока: урок закрепления изученного материала.

Методическое обеспечение урока: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Геометрия, 7-9 классы.

План урока.

1. Организационный момент — 5 мин.

2. Актуализация знаний (проверка домашнего задания) ─ 10 мин.

3.   Решение задач — 25 мин.

4.   Подведение итогов урока — 3 мин.

5.   Домашнее задание — 2 мин.

I. Организационный момент

Приветствие учеников.

Проверка подготовки учащихся к уроку.

Отметка отсутствующих.

II. Актуализация знаний

1)      Какая тема изучалась на прошлом уроке?

2)      Доказать у доски теорему о сумме углов треугольника.

Теорема: сумма углов треугольника равна 180º.

Доказательство:

     Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 1) и докажем, что ∠ А + ∠ В + ∠ С = 180º.

     Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому 
∠ 4 = ∠ 1, ∠ 5 = ∠ 3                                                 (1)

Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е.                   Рис. 1
∠ 4 + ∠ 2 + ∠ 5 = 180°. Отсюда, учитывая равенства (1), получаем: 
∠ l + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°, или ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°. Теорема доказана.

III. Решение задач.

1)      Задача № 224 из учебника.

Найдите углы треугольника АВС, если ∠А : ∠В : ∠ С = 2 : 3 : 4.

Решение:

     Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠А = 2kº , ∠В = 3kº, ∠С = 4kº. Так как сумма углов треугольника равна 180º, то

∠А + ∠В + ∠С = 180º.

Можно составить и решить уравнение:

2k + 3k + 4k = 180,

9k = 180,

k = 20.

Тогда ∠А = 2∙20 = 40º , ∠В = 3∙20 = 60º, ∠С = 4∙20 = 80º.

Ответ: 40º , 60º, 80º.

2)Какие углы называются смежными? (учащиеся вспоминают определение смежных углов).

Смежные углы — это углы, у которых одна сторона — общая, а две другие являются продолжениями одна другой.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.  Докажем, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Обратимся к рис. 2, на котором угол 4, смежный с углом 3данного треугольника. Так как ∠4 + ∠3 = 180º, а по теореме о сумме углов треугольника (∠1 + ∠2) + ∠3 = 180º, то ∠4 = ∠1 + ∠2, что и требовалось доказать.       

                                                                                                                                           Рис. 2

2)      Задача № 227 (б) из учебника.

    Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним.

Решение:

1) Пусть ∠АСВ = xº, тогда ∠ВСК = 3xº. Так как углы ∠АСВ и ∠ВСК смежные, то их сумма равна 180º: ∠АСВ + ∠ВСК = 180º,

x + 3x = 180,

4х = 180,

х = 45º.

Таким образом, ∠АСВ = 45º.

2) Так как треугольник равнобедренный, то ∠С = ∠АСВ = 45º.

3) Так как сумма углов треугольника 180º, то можно найти ∠В:

∠В = 180ºd – ∠А – ∠АСВ = 180 – 45 – 45 = 90º.

Ответ: ∠А = 45º, ∠В = 90º, ∠АСВ = 45º.

5) Задача № 225 из учебника (устно).

Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60º.

Решение:

Обозначим один из углов треугольника через хº. Так как в равностороннем треугольнике все углы равны, значит известны все углы треугольника равны хº. Используя теорему о сумме углов треугольника, получаем  уравнение:

х + х + х = 180,

3х = 180,

х = 60º – что и требовалось доказать.

IV. Подведение итогов урока.

     На уроке мы закрепили знание теоремы о сумме углов треугольника, научились решать задачи с использованием теоремы о сумме углов треугольника. Теперь главное — хорошо подготовиться дома к следующему занятию и закрепить умение решать задачи.

    IV. Домашнее задание

Выучить определение внешнего угла треугольника и теорему о внешнем угле треугольника.

Решить задачи из учебника № 228, 234.