Конспект урока "Введение в комбинаторику"

План  урока  

Разработала   преподаватель математики Затолокина Екатерина Сергеевна 

Согласовано

Председатель МЦК общеобразовательных дисциплин  Затолокина Екатерина Сергеевна

Дата 13.12.2017 Подпись_______________

Место проведения: Липецкий колледж транспорта и дорожного хозяйства

Участники: группа ТО2-17

Специальность	Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта
Учебная дисциплина	ОУД. 12 Математика (включая алгебру,  начала математического анализа, геометрию)
Тема  урока	«Основные  понятия комбинаторики».
Регламент урока	90 минут
Вид урока	Комбинированный
Тип урока	Учебное занятие по изучению и первичному закреплению материала
Технологии обучения	Информационно-коммуникационные технологии / Проблемное обучение/ Игровое обучение/Объяснительно-иллюстративное обучение
Цели урока:
образовательные (обучающие)	Освоение знаний:    - изучить новый  раздел математики: "Комбинаторика", ввести основные понятия; - сформировать у студентов основы элементарных знаний по комбинаторике; - научить решать задачами, показать их использование в практических целях и в жизни человека.
развивающие	Освоение умений, навыков: - сформировать умения и навыки решения комбинаторных задач; - развивать аналитические способности, логическое мышление; - выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; - развивать логическое мышление, интерес к изучению математики.
воспитательные	- сформировать активность личности студента; - сформировать культуру математической речи,  информационную и  коммуникативную культуру студентов; - воспитание дружелюбного отношения друг другу, умение работать в коллективе.
Обеспечение учебного занятия	Техническое обеспечение: проектор; экран; персональный компьютер. Учебно-методическое обеспечение: - презентация к учебному занятию «Основные  понятия комбинаторики»; - презентация к учебному занятию - Игра «Что? Где? Когда?»; - методические рекомендации: - Башмаков М.И. Математика. Учебник для обучающихся в учреждениях начального и среднего профессионального образования. М.: Издательский центр “Академия”, 2013; - Виленкин Н.Я.  Комбинаторика. Учебник для общеобразовательной школы М.: «Наука», 1969; - Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.10,11. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов.– М.: Мнемозина, 2012. - Мордкович А.Г.,  Денищева Л.О. Звавич Л. И.  и др. Алгебра и начала анализа.10,11. В 2ч. Ч.2. Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/А. Г. Мордкович и др.; под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2012.

Структурные элементы занятия	Время	Деятельность преподавателя	Деятельность обучающихся
1. Организационная часть	1 мин.	Приветствует студентов. Отмечает отсутствующих в группе.	Приветствуют преподавателя. Староста группы называет отсутствующих.
2. Мотивация  деятельности	4 мин.	(постановка проблемы урока): При подготовке к сегодняшнему уроку у меня возникла проблема. Ольга Викторовна позволила мне воспользоваться ее компьютером, назвала пароль, а я в нем забыла две последних цифры. Что делать? Может, подскажите, какую пару чисел выбрать? А сколько чисел  мне нужно перебрать, чтобы найти подходящий вариант? Давайте посчитаем, сколько всего таких чисел.	Предлагают варианты двузначных чисел, например 12,49,80. Первое двузначное число -10. Последнее - 99. Всего вариантов пароля- 80.
		Сегодня на уроке мы познакомимся с разделом математики, который позволяет  ответить на  вопрос "Сколькими способами... " или "Сколько вариантов...". Перед вами ребус, в котором зашифровано название этой науки.	Разгадывают ребус. - Комбинаторика.
		Запишите тему урока: "Основные понятия комбинаторики". Цели урока: 1) познакомиться с разделом математики – комбинаторикой, историей ее возникновения.  2) рассмотреть различные сферы жизни человека, в которых используется комбинаторика.  3) научить решать задачи, применяя основные понятия комбинаторики.	Записывают тему урока в рабочие тетради.
3.  Изучение нового материала	40 мин.	С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать  их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение  охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов –  во время работы.  Первые упоминания  о вопросах близких к комбинаторным, встречаются в китайских рукописях 12-13 вв до н.э. В древней Греции изучали фигуры, которые можно было составить из частей квадрата, разрезанного особым образом. Танграм – древнекитайская головоломка. Это квадрат, разрезанный определённым образом на 7 частей. Позже  появились такие игры как нарды, карты, шашки, шахматы и т.д. В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв с использованием ключевых слов и т. д.   Многие ученые проводили исследования по комбинаторике. И только в  1666 г. была опубликована работа Готфрида Вильгельма Лейбница «Об искусстве комбинаторики». С этого момента комбинаторику рассматривают как самостоятельный раздел математики. Задачи, в которых идет речь о тех или  иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называются комбинаторикой.  Запишите в тетради определение комбинаторика. Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из объектов задачи. На самом деле комбинаторика встречается во многих областях нашей жизни. А теперь я Вам назову действие, а Вы должны назвать науку или область, в которой применяется данное действие. Области применения комбинаторики: •          составление расписаний •          составление меню •          рассмотрение вариантов комбинаций букв •          различные варианты раскраски карт •          расчёт количества игр между участниками •          распределение нескольких видов работ между рабочими •          размещение посевов на нескольких полях •          подсчёт частоты выигрышей •          анализ возможных связей между химическими элементами •          анализ вариантов купли-продажи акций •          рассмотрение вариантов пересылки	Слушают преподавателя. Смотрят демонстрацию слайдов.
			Записывают в тетрадь определение комбинаторика.
			С места называют науку или область ·         учебные заведения (составление расписаний) •          сфера общественного питания (составление меню) •          лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв) •          география (раскраска карт) •          спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками) •          производство (распределение нескольких видов работ между рабочими) •          агротехника (размещение посевов на нескольких полях) •          азартные игры (подсчёт частоты выигрышей) •          химия (анализ возможных связей между химическими элементами) •          экономика (анализ вариантов купли-продажи акций) •          доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)
		Рассмотрим к решению и разбору комбинаторных задач. Задача №1. У Андрея есть яблоко, груша и апельсин, но он не знает в каком порядке их съесть. Сколькими способами он может выбрать порядок фруктов?	Один студент выполняет на доске, остальные в тетрадях. Ответ: Я-Г-А, Я-А-Г, А-Я-Г, А-Г-Я, Г-Я-А, Г-А-Я.- 6 вариантов.
		Задача №2. На техническое  обслуживание автомобилей одновременно подъехали 4 автомобиля: Ауди, БМВ, Лексус  и Мерседес. Сколько вариантов обслуживания данных автомобилей можно составить? Для удобства подсчёта вариантов можно использовать схему в виде дерева.	Один студент выполняет на доске, остальные в тетрадях. Ответ: 24 А-Б-Л-М А-Б-М-Л А-Л-М-Б А-Л-Б-М А-М-Б-Л А-М-Л-Б для каждого автомобиля по 6 вариантов расстановки.
		Задача №3.  Семья из 7 человек решила каждый вечер рассаживаться по-разному. Сколько существует способов рассадить их за столом? В данной задаче вариантов оказывается очень много. И решить такую задачу методом перебора очень неудобно. На помощь приходит такое понятие как факториал. Произведение первых n натуральных чисел, т.е. n! = 1• 2 • 3 •…• n называют «n-факториал» и обозначают («эн факториал»). Запишите себе в тетради. Вернемся к задаче про семью из 7 человек. Подсчитаем количество вариантов 7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов. Решим несколько задач, используя понятие факториал.	Сталкиваются с проблемой, т.к. решить методом перебора сложно. Записывают определение факториал в тетрадь, записывают примеры решения факториалов.
		Задача № 4. 5 друзей решили сфотографироваться. Сколькими способами они могут сесть?	Один студент выполняет на доске, остальные в тетрадях. 5!=120
		Задача № 5. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых цифры 1; 2; 3 встречаются ровно по одному разу?	Один студент выполняет на доске, остальные в тетрадях. 3! = 6
		Задача № 6. Понятие факториал применяется не только при решении задач, но и при решении уравнений Вычислить: а) ;  б) ;  в) ;  г) ;	а) = 7*8=56 б) =     в) = г)
		с б г ч × × × к × × × Кроме задач на перебор вариантов и применения факториалов, используются задачи на подсчет вариантов. Вот одна из них.   Задача №7.  Решить задачу: сколько вариантов одежды для похода в колледж можно составить из 3 рубашек: синего, белого и голубого цвета и 2 брюк: черных и коричневых?	Предлагают варианты решения Составим всевозможные варианты 3*2=6 Один студент выполняет на доске, остальные в тетрадях.
		Задача №8. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр  0, 1, 2, 4, 5, 9? Какие из предложенных цифр могут стоять на первом месте? Какие на втором месте? Почему? Сколькими способами мы выбираем первую цифру? Сколькими способами мы выбираем вторую цифру?	(Ответ: 1, 2, 4, 5, 9)  (Ответ: 2, 0, 4)  (Ответ: пятью)  (Ответ: тремя) 5*3=15 четных двухзначных чисел. Один студент выполняет на доске, остальные в тетрадях.
		Сформулируем правило умножения: если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то выбор пары (А, В) в указанном порядке можно осуществить m∙п способами.	Записывают правило умножения в тетради.
4. Систематизация и закрепление изученного материала.	40 мин.	Теперь мы проверим, как Вы разобрались с материалом. Предлагаю Вам сыграть со мной в игру «Что? Где? Когда?». Правила просты:  Вам нужно  будет правильно ответить на вопрос, который будет перед Вами. Вопросы Вам будут задавать люди, которые посвятили свою жизнь математике. Игра идёт до 6 очков. Счёт 0-0. Первый раунд.
		1. Завучу колледжа нужно составить расписание для группы ТО2-17 на понедельник из следующих занятий: математика, физика, история, физ. культура и обж. Сколько различных вариантов расписания можно составить?	Один студент выполняет на доске, остальные в тетрадях. 5!=120
		2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5 и 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?	Ответ: 24.
		3. На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?	Решение. Плюшка Бутерброд Пряник Кекс Кофе Кофе Плюшка Кофе Бутерброд Кофе Пряник Кофе Кекс Сок Сок Плюшка Сок Бутерброд Сок Пряник Сок Кекс Кефир Кефир Плюшка Кефир Бутерброд Кефир Пряник Кефир Кекс Всего вариантов столько же, сколько клеток в таблице. Ответ:     12.
		4. В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?	3!=1*2*3=6
		5. Бесплатный обед 10 молодых людей решили отпраздновать окончание средней школы товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались, и первое блюдо было подано, заспорили о том, как им сесть вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие по возрасту, третьи - по успеваемости, четвертые - по росту и т.д. Спор затянулся, суп успел простыть, а за стол никто не садился. Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью: Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол как кому придется и выслушайте меня. Все сели как попало. Официант продолжал: Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать, и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т.д., пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда, обещаю торжественно, я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами. Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами.	Однако им не пришлось дождаться этого дня. И вовсе не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется, ни мало, ни много, 3628800. Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, почти 10 тысяч лет!
		6. Сколько фигурок можно составить из Танграма?	7!= (5040)
		7. Свидетель ДТП заметил номер машины, совершившей наезд. Он запомнил, что в номере буквы АВ и цифры 2, 3, 4, но не помнит их порядок. Сколько вариантов номеров нужно проверить полиции, чтобы найти нарушителя?	2*3=6
		8. В городе Липецк  были введены трехзначные велосипедные номера. Но велосипедисты попросили, чтобы в этих номерах не встречались цифры 0 и 8, потому что первая из них похожа на вытянутое колесо, ну, а что значит для велосипедиста восьмерка колеса, знает каждый. Хватит ли им номеров, если в этом городе велосипеды имеют 710 человек?	Ответ: 8*8*8=512 вариантов Так что на всех обладателей велосипедов номеров не хватило.
		9. Сектор Блиц- 3 вопроса по 30 секунд. Играет 1 студент у доски. Кто он выбирайте сами. - 5!/5 - Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7? - Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?	= 1*2*3*4*5:5=1*2*3*4=24 Из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел 3*3=9. 3!=6
		10. Вычислите:	5*1*2*3*4*5*6+6*1*2*3*4*5=1*2*3*4*5*6 (5+1)= 1*2*3*4*5*6*6 6*6!= 6*1*2*3*4*5*6=1*2*3*4*5*6*6 Ответ: 1
		11. Хоккейная комбинация. На поле 5 игроков. Начал комбинацию игрок № 1, продолжили игроки с другими номерами, а забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе только один раз. На рисунке с помощью стрелок изображен один из возможных вариантов передачи шайбы между игроками в данной комбинации. Составьте все другие возможные варианты передачи шайбы.	1-2-3-4-5; 1-4-3-2-5; 1-3-2-4-5; 1-2-4-3-5; 1-4-2-3-5; 1-3-4-2-5. Ответ: 6 вариантов.
		Счёт 6-0. Ваша команда выиграла.
5. Подведение итогов и рефлексия занятия	5 мин.	В заключении я предлагаю Вам продолжить следующие предложения от своего имени: - сегодня я узнал… - было интересно… - было трудно… - я понял, что… - теперь я могу… - я почувствовал, что… - я приобрел… - я научился… - у меня получилось … - я смог… - меня удивило… - урок дал мне для жизни… - мне захотелось… Запись домашнего задания. § 47, № 47.7 (а, б, в) На сегодняшнем занятии мне бы хотелось отметить следующих студентов. Всем спасибо. Урок окончен.	Студенты по выбору продолжают одно из предложений. Записывают домашнее задание в тетради.