Контрольная работа по геометрии «Правильные многоугольники»

К-2 Вариант 1  

1.      Найдите углы правильного тридцатишестиугольника.

2.      Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 9 см.

3.      В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 9 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.

4.      Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 8√2 см, а радиус вписанной в него окружности – 8 см. Найдите: 1) сторону многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.

5.      Сторона треугольника равна 5 см, а прилежащие к ней углы равны 45° и 105°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.

К-2 Вариант  2

1.      Найдите углы правильного тридцатиугольника.

2.      Найдите площадь круга, описанного около квадрата со стороной 16 см.

3.      Около окружности описан квадрат со стороной 36 см. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

4.      Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 12 см, а сторона многоугольника – 8√3 см. Найдите: 1) радиус окружности, описанной около многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.

5.      Сторона треугольника равна 10√3 см, а прилежащие к ней углы равны 10° и 50°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.

К-2 Вариант 1  

1.      Найдите углы правильного тридцатишестиугольника.

2.      Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 9см.

3.      В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 9 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.

4.      Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 8√2 см, а радиус вписанной в него окружности – 8 см. Найдите: 1) сторону многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.

5.      Сторона треугольника равна 5 см, а прилежащие к ней углы равны 45° и 105°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.

К-2 Вариант  2

1.       Найдите углы правильного тридцатиугольника.

2.       Найдите площадь круга, описанного около квадрата со стороной 16 см.

3.       Около окружности описан квадрат со стороной 36 см. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

4.       Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 12 см, а сторона многоугольника – 8√3 см. Найдите: 1) радиус окружности, описанной около многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.

5.       Сторона треугольника равна 10√3 см, а прилежащие к ней углы равны 10° и 50°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.

 

Муниципальное бюджетное  общеобразовательное  учреждение

«Видновская средняя общеобразовательная школа №5

с углубленным изучением отдельных предметов»

 

142701, Московская область, Ленинский район, город Видное, улица Советская, 24

Телефон: [phone], e-mail: [e-mail]

Контрольная работа по геометрии  «Правильные многоугольники»

9 класс 

2023-2024 учебный год

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Найдите углы правильного тридцатишестиугольника.
Решение: Сумма углов многоугольника равна 180°×(n-2). Так как у правильного многоугольника все углы равны, то величину угла можно вычислить как 180°×(n-2)/n. Для п = 36 угол равен 180°×34/36 = 170°.
ОТВЕТ: 170°.

№ 2. Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 9 см.
ОТВЕТ: 6π√3 см.

№ 3. В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 9 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.
ОТВЕТ: 18√3 см.

№ 4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 8√2 см, а радиус вписанной в него окружности – 8 см. Найдите: 1) сторону многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.
Дано: R = 8√2  см; r = 8 см;
Найти: 1) a_n; 2) n – ?
Решение: 1) r = R cos (180°/n)
8 = 8√2 cos (180°/n)  ⇒  cos (180°/n) = 8/8√2 = √2/2.
По таблице находим √2/2 = cos 45°
⇒  180°/n = 45°  ⇒  n = 4 (квадрат).
2) a_n = 2R sin (180°/n) = 2 • 8√2 • sin 45° = 16√2 • √2/2 = 16 (см).
ОТВЕТ: 1) 16 см;  2) 4 стороны.

№ 5. Сторона треугольника равна 5 см, а прилежащие к ней углы равны 45° и 105°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.
Решение: Третий угол = 180 – 45 – 105 = 30⁰. Вписанные углы равны половине дуг, на которые они опираются, т.е. 90⁰, 210⁰ и 60⁰.
Радиус описанной окр. R = 5 / (2 sin 30°) = 5 / (2 • 1/2) = 5 см.
Длина всей окружности l = 2πR = 10π (см)
Дуги: (90/360)*10π = 2,5π (см)
(210/360)*10π = 35π/6 (см)
(60/360)*10π = 5π/3 (см)
ОТВЕТ: 2,5π см;  35π/6 см;  5π/3 см.

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Найдите углы правильного тридцатиугольника.
Решение: Сумма углов многоугольника равна 180°×(n-2). Так как у правильного многоугольника все углы равны, то величину угла можно вычислить как 180°×(n-2)/n. Для п = 30 угол равен 180°×28/30 = 168°.
ОТВЕТ: 168°.

№ 2. Найдите площадь круга, описанного около квадрата со стороной 16 см.
Решение: S = R²π. R = d/2 = a√2/2.
S = (16√2/2)²π = (8√2)²π = 8²*2π = 2*64π = 128π (см²)
ОТВЕТ: 128π см².

№ 3. Около окружности описан квадрат со стороной 36 см. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность.
Решение: Радиус вписанной в квадрат окружности R = 36 : 2 = 18(см). Это же радиус описанной окружности около треугольника. Сторону правильного треугольника находим по формуле а = R√3 = 18√3 (см).

ОТВЕТ: 18√3 см.

№ 4. Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 12 см, а сторона многоугольника – 8√3 см. Найдите: 1) радиус окружности, описанной около многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.
Решение: Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе.
Окружности, вписанной в правильный многоугольник — в точке пересечения биссектрис его углов. На рисунке АВ — сторона, АО = ВО — биссектрисы углов правильного многоугольника. ОН — радиус вписанной окружности,
tg∠ОВН = ОН : ВН = √3.
Следовательно, ∠ОВН = 60°, угол многоугольника 120°, смежный с ним внешний угол равен 60°. Сумма внешних углов многоугольника 360°. Количество внешних углов, взятых по одному при вершинах, равно числу сторон многоугольника.
Число сторон 360° : 60° = 6.
Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен его стороне R₆ = a₆ = 8√3.

ОТВЕТ: 1) 8√3 см;  2) 6 сторон.

№ 5. Сторона треугольника равна 10√3 см, а прилежащие к ней углы равны 10° и 50°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.
Решение: Третий угол = 180 – 10 – 50 = 120⁰. Вписанные углы равны половине дуг, на которые они опираются, т.е. 20⁰, 100⁰ и 240⁰.
Радиус описанной окр. R = 10√3 / (2 sin 120°) = 10√3 / √3 = 10 см.
Длина всей окружности l = 2πR = 20π (см)
Дуги: (20/360) • 20π = 10π/9 (см)
(100/360) • 20π = 50π/9 (см)
(240/360) • 20π = 40π/3 (см).
ОТВЕТ: 10π/9 см; 50π/9 см; 40π/3 см.