Квадрат, его свойства и признаки.

Квадрат, его свойства и признаки.

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

                       

Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:

а) Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.

б) Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

в) Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.

Поскольку квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.

1.      У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

2.      У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.

3.      У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.

4.      У квадрата диагонали равны.

5.      У квадрата стороны являются высотами.

6.      Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.

Теперь определим признаки квадрата.

ТЕОРЕМА (I признак).  Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.

                            Дано:  – прямоугольник

                                       

                    Доказать:  – квадрат.

Доказательство.

     Так как  – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.

 – квадрат (по определению), ч.т.д.

ТЕОРЕМА (II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

                            Дано:  – прямоугольник

                                       

                    Доказать:  – квадрат.

Доказательство.

Рассмотрим .

 по свойству диагоналей прямоугольника, значит,  – медиана (по опред-нию).

 – высота , т.к. . Значит, в     является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. . Согласно I признаку квадрата, прямоугольник  является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.

                            Дано:  – прямоугольник

                                        – диагональ

                                        – биссектриса

                    Доказать:  – квадрат.

Доказательство.

Так как  – биссектриса , то .

 по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых. Значит, , следовательно  – равнобедренный, и . По I признаку квадрата, прямоугольник  является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (IV признак). Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

                            Дано:  – ромб

                                        - диагонали

                    Доказать:  – квадрат.

Доказательство.

Рассмотрим  и .

 по III признаку равенства треугольников. Значит, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. . Эти углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых  и , следовательно, их сумма равна , т.е.       , а, значит, и . Так как в ромбе противолежащие углы равны, то и все остальные углы также равны по . Значит, такой ромб является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (V признак). Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.

                            Дано:  – параллелограмм

                                       

                    Доказать:  – квадрат.

             Доказательство.

Так как , то по II признаку ромба, параллелограмм  является ромбом.

Так как , то по IV признаку квадрата, ромб  является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.

                            Дано:  – четырёхугольник

                                     

                                      

                    Доказать:  – квадрат.

Доказательство.

1. Так как , то четырёхугольник  является параллелограммом (по признаку параллелограмма).

2. Так как , то параллелограмм  является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.

ТЕОРЕМА (VII признак). Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.

                            Дано:  – четырёхугольник

                                       

                                       

                    Доказать:  – квадрат.

Доказательство.

1. Так как , то четырёхугольник  является ромбом (по V признаку ромба).

2. Так как , то ромб, который по определению является параллелограммом,  является прямоугольником (по III признаку прямоугольника), значит, все углы в этом четырёхугольнике прямые.

3. Итак, прямоугольник , у которого все стороны равны, является квадратом (по определению), ч.т.д.

Итак, признаки квадрата:

1.      Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.

2.      Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

3.      Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.

4.      Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

5.      Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.

6.      Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.

7.      Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.

1.   Периметр квадрата  равен  см. Найдите сторону квадрата .

2.  

На рисунке четырёхугольник  – квадрат, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник  также является квадратом.

3.  

На рисунке четырёхугольник  – прямоугольник, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник  является квадратом.

4.   В треугольнике . На сторонах  и  взяты точки  и , а на стороне  – точки  и  так, что четырёхугольник  является квадратом, . Найдите .

5.   В треугольнике . На сторонах  отмечены точки  соответственно так, что четырёхугольник  является квадратом, . Найдите .

6.   На сторонах  и  квадрата  отмечены точки  и  соответственно, . Отрезки  и  пересекаются в точке . Найдите .

7.   На сторонах  квадрата  отмечены соответственно точки . Сравните отрезки  и .

8.   На катетах  и  прямоугольного треугольника  построены квадраты  и . Докажите, что сумма расстояний от точек  и  до прямой  равна .

9.   На катетах  и  прямоугольного треугольника  построены квадраты  и . Прямые  и  пересекаются в точке . Докажите, что .

10. Длина проекции одной из сторон квадрата на его диагональ равна . Найдите длину диагонали.

11. 

В четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.

12. Дан квадрат . Докажите, что  – квадрат.

13. Дан квадрат . Докажите, что  – ромб.

14. Дан квадрат . На стороне  взята точка  такая, что . Докажите, что точки  – вершины равнобедренного треугольника.

15. Дан квадрат . Точки  – середины его сторон  соответственно. Докажите, что .

16. Дан квадрат . Точки  и  делят его стороны  и  так, что . Докажите, что .

17.

Квадраты  и  имеют общую вершину . Докажите, что медиана  треугольника  перпендикулярна отрезку .

18. Внутри квадрата  взята точка  так, что . Докажите, что треугольник  равносторонний.

19.

На рисунке  – квадрат, точка  принадлежит , точка  принадлежит , точка  принадлежит , прямые  и  пересекаются в точке . Докажите, что .

20. В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен  см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.

21.  В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.

22.  В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна  дм.

23.  В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна  см.

24. Точка  расположена во внутренней области квадрата  так, что расстояния от неё до сторон  и  пропорциональны соответственно числам  и , а расстояние от  до прямой  равно  см. Найдите периметр этого квадрата.

25. Точка  расположена во внутренней области квадрата  так, что расстояния от неё до сторон  и  пропорциональны соответственно числам  и , а расстояние от  до прямой  равно  м. Найдите периметр этого квадрата.

26. Точка  лежит на стороне  квадрата . Высоты треугольников  и , проведённые из точки , равны соответственно  и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.

27. Точка  расположена во внутренней области квадрата  так, что расстояния от неё до сторон  и  пропорциональны соответственно числам  и , а расстояние от  до прямой  равно  м. Найдите периметр этого квадрата.

28.

Точка  лежит на стороне  квадрата . Высоты треугольников  и , проведённые из точки , равны соответственно  и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.

29. На сторонах  и  квадрата  отмечены точки  и  соответственно так, что . Определите взаимное расположение прямых  и .

30.

В равнобедренный прямоугольный треугольник  вписан квадрат , имеющий с ним общий угол . Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен  см.

31.

Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник  равносторонний. Найдите угол .

32. В равнобедренный прямоугольный треугольник  вписан квадрат , имеющий с ним общий прямой угол. Найдите катет треугольника, если периметр квадрата равен  см.

33.

Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник  равносторонний. Найдите угол .

34.  Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырёхугольника и вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна  см.

35. Через точку  – точку пересечения диагоналей квадрата  проведена прямая, параллельная стороне  и пересекающая стороны  и  в точках  и  соответственно. Найдите периметр квадрата, если известно, что .

36.

Найдите периметр квадрата  по данным на рисунке.

Краткое описание документа:

В теоретической части разработки дано определение квадрата, перечислены и доказаны его свойства, перечислены и доказаны признаки квадрата. К каждому понятию приведены рисунки. Практическая часть содержит большое количество заданий на любой вкус, есть простые задачи, а есть те, над которыми нужно подумать.