Логические основы персонального компьютера

• 1 слайд

  Логические основы ПК
  Основные понятия математической логики
  Простейшие логические операции
  Основные законы алгебры логики
  

• 2 слайд

  Введение в алгебру логики
  
  «Я, по крайней мере, думал,
  что противоречить друг другу могут только высказывания,
  поскольку они через умозаключения ведут к новым высказываниям,
  и мне кажется, что мнение,
  будто сами факты и события могут оказаться в противоречии друг с другом, является классическим примером бессмыслицы.»
  
  Д. Гильберт
  

• 3 слайд

  Логика – наука о законах мышления и его формах. Происходит от греческого слова логос – речь. Основой логики служит высказывание.
  
  Алгебра в широком смысле этого слова — наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться не только над числами, но и над другими математическими объектами.
  
  Существуют алгебры натуральных чисел, многочленов, векторов, матриц, множеств и т. д.
  
  

• 4 слайд

  Алгебра логики
  
  изучает свойства функций, у которых и аргументы, и значения принадлежат заданному двухэлементному множеству (например, {0, 1}).
  
  Иногда вместо термина «алгебра логики» употребляют термин «двузначная логика», «бинарная логика».
  

• 5 слайд

  
  Родоначальник –
  Аристотель (IV век до н. э) –
  появление формальной логики – рассуждения.
  
  
  
  
  Последователь –
  Лейбниц (XVII век) –
  появление математической (символической) логики.
  
  Лейбниц Готфрид Вильгельм
  Аристотель
  

• 6 слайд

  Дж. Буль (1815-1864)
  Отцом алгебры логики по праву считается английский математик XIX столетия Джордж Буль.
  Именно он построил один из разделов формальной логики в виде некоторой «алгебры», аналогичной алгебре чисел, но не сводящейся к ней.
  
  
  
  
  К. Шеннон (1916-2001)
  Долгое время алгебра логики была известна достаточ­но узкому классу специалистов.
  Прошло почти 100 лет со времени создания алгебры логики Дж. Булем, прежде чем в 1938 году выдающийся американский математик и инженер Клод Шеннон (1916-2001) показал,
  что алгебра логики применима для описания самых разнообразных процессов, в том числе функционирования релейно-контактных и электронно-ламповых схем.
  
  Шеннон Клод Элвуд
  Джордж Буль
  

• 7 слайд

  Большой вклад в становление и развитие алгебры логики внесли
  Августус де Морган (1806-1871),
  Уильям Стенли Джевонс (1835-1882),
  Платон Сергеевич Порецкий (1846-1907),
  Чарлз Сандерс Пирс (1839-1914),
  Андрей Андреевич Марков (1903-1979),
  Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987)
  и др.
  

• 8 слайд

  Определение
  Логика – это наука о формах и способах мышления
  
  Формы мышления
  понятие
  суждение
  (высказывание,
  утверждение)
  умозаключение
  

• 9 слайд

  Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.
  
  Высказывание – это форма мышления. С помощью высказываний мы устанавливаем свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.
  
  Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение)
  Формы мышления
  понятие
  суждение
  (высказывание,
  утверждение)
  умозаключение
  

• 10 слайд

  Высказывание
  Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними;
  Высказывание может быть либо истинно, либо ложно;
  Высказывания могут быть выражены с помощью естественных и формальных языков;
  Высказывания могут быть выражены только повествовательным предложением;
  Высказывания могут быть простыми и составными;
  
  
  Истинность простых высказываний определяется на основании здравого смысла;
  Истинность составных высказываний определяется с помощью алгебры высказываний.
  
  

• 11 слайд

  Об истинности высказываний
  Это не простой вопрос.
  Например, высказывание
  «Число 1 +2 32= 4294967297 — простое», принадлежащее Ферма (1601-1665),
  долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Эйлер (1707-1783) не доказал, что оно ложно.
  
  В целом, обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180°» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.
  
  Что же является высказыванием в формальной логике?
  

• 12 слайд

  Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности
  (Аристотель).
  Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно
  

• 13 слайд

  Не всякое предложение является логическим высказыванием.
  
  Высказываниями не являются, например, предложения "ученик десятого класса" и "информатика — интересный предмет".
  

• 14 слайд

  Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если... , то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания.
  Такие слова и словосочетания называются логическими связками.
  
  

• 15 слайд

  Высказывания
  Простые
  Составные
  Получаются из простых с использованием логических операций или союзов “и”, “или”, “не”, “если то”.
  Летом я поеду на дачу
  Летом я поеду на дачу или буду отдыхать на море
  

• 16 слайд

  "Петров — врач", "Петров — шахматист"
  
  "и"
  "Петров — врач и шахматист",
  понимаемое как
  "Петров — врач, хорошо играющий в шахматы".
  "или"
  "Петров — врач или шахматист",
  понимаемое в алгебре логики как
  "Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно".
  

• 17 слайд

  Вопросы
  Страница 135
  №1
  Установите, какие из следующих высказываний являются логическими высказываниями, а какие – нет.
  Какие из высказываний истинны, а какие - нет
  
  Солнце есть спутник Земли
  2 + 3 = 4
  Сегодня отличная погода
  В романе Л.Н. Толстого «Война и мир» 3 432 536 слов
  Санкт-Петербург расположен на Неве
  Музыка Баха слишком сложна
  Первая космическая скорость равна 7.8 км/сек
  Как пройти в библиотеку?
  Если один угол в треугольнике прямой, то треугольник тупоугольный
  Картины Пикассо слишком абстрактны.
  Число 2 является делителем числа 7 в некоторой системе счисления.
  

• 18 слайд

  Вывод:
  
  Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно
  

• 19 слайд

• 20 слайд

  Алгебра логики изучает
  строение (форму, структуру)
  сложных логических высказываний
  и способы установления их истинности
  с помощью алгебраических методов.
  

• 21 слайд

  Простейшие логические операции
  Отрицание
  Конъюнкция
  Дизъюнкция
  Импликация
  Эквивалентность
  Штрих Шеффера
  Стрелка Пирса
  Переход к разделу «Законы логики»
  

• 22 слайд

  Отрицание А “не” (ложь)
  истина – 1, и, t (true)
  ложь – 0, л, f (false)
  Ā
  A
  A
  Ā
  Меню выбора операций
  А – лампочка горит Ā –Отрицание?
  Все юноши 11-х классов - отличники
  

• 23 слайд

  Конъюнкция “и”
  F = A · B=A Λ B=A & B (логическое умножение)
  
  F
  A
  B
  B
  F
  A
  &
  Меню выбора операций
  Высказывание истинно тогда и только тогда,
  когда оба высказывания А и В истинны
  А - завтра будет мороз
  В - завтра будет идти снег
  F ?
  

• 24 слайд

  Дизъюнкция “или” (логическое сложение)
  
  F = A + B = A v B
  F
  A
  B
  B
  F
  A
  1
  Меню выбора операций
  А – Петя читает книгу
  В – Петя пьет чай
  F ?
  Дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны
  

• 25 слайд

  Импликация “если … то” (implico – тесно связаны)
  F = A → B = Ā v В
  
  Импликация ложна тогда, когда предшествующее высказывание истинно, а последующее ложно.
  F
  A
  B
  B
  F
  A
  =>
  Меню выбора операций
  Если на каникулах мы поедем в Петербург, то посетим Исаакиевский собор
  Если 2x2 = 4, то через Смоленск протекает Днепр
  

• 26 слайд

  Эквивалентность (равнозначность) “тогда и только тогда” в математике - «необходимо и достаточно»
  F = A ↔ Е = (Ā + Е) * (А + Ē)
  
  Истинна тогда, когда значения А и Е совпадают.
  F
  A
  Е
  Е
  F
  A
  Меню выбора операций
  24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3
  23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3
  Ученик получил 5 на зачете и 5 в четверти
  

• 27 слайд

  Штрих Шеффера “не и “
  F=A|B=A·B=A+B
  F
  A
  B
  B
  F
  A
  &
  Меню выбора операций
  

• 28 слайд

  Стрелка Пирса “не или”
  F=A↓B=A+B=A·B
  F
  A
  B
  B
  F
  A
  1
  Меню выбора операций
  

• 29 слайд

  Самостоятельная работа
  Формализуйте следующие высказывания
  

• 30 слайд

  Законы логики
  x ≡ xзакон тождества
  
  x · x = 0закон противоречия
  
  x + x = 1закон исключения третьего
  
  x = xзакон двойного отрицания
  
  x · x = xзакон идемпотентности
  x + x = x
  
  x · y = y · xзакон переместительный или
  x + y = y + xкоммутативный
  
  x · y · z = x · ( y · z )закон сочетательный или
  x + y + z = x + ( y + z )ассоциативный
  
  x · ( y +z ) = x · y + x · zзакон распределительный или
  x + ( y · z) = ( x + y ) ( x + z ) дистрибутивный
  
  x · y = x + yзакон Моргана
  x + y = x · y
  =
  

• 31 слайд

  Следствия из законов
  x · 1 = x
  x + 0 = x
  
  x · 0 = 0
  x + 1 = 1
  
  x ( x + y ) = xпоглощение
  x + x · y = x
  
  ( x + y ) ( x + y) = yсклеивание
  x · y + x · y = y
  
  x + x · y = x + yсвертка
  x + x · y = x + y
  

• 32 слайд

  Составление таблиц истинности по логическим формулам
  1-ый способ
  2-ой способ
  

• 33 слайд

  Задание на дом
  П. 5.9 Основные законы алгебры логики
  П.5.10 Составление таблиц истинности для логической формулы
  Доказать правила де Моргана при помощи таблиц истинности
  Упр 10 (ж-м)
  Упр 13 (а,б,г)
  

• 34 слайд

  Самостоятельная работа
  ВАРИАНТ 1
  Определите, является ли указанная формула тождественно истинной или тождественно ложной :
  
  
  
  Пусть a = "это утро ясное", а b = "это утро теплое". Выразите следующие формулы на обычном языке:
  ВАРИАНТ 2
  Определите, является ли указанная формула тождественно истинной или тождественно ложной:
  
  
  
  Пусть a = "это утро ясное", а b = "это утро теплое". Выразите следующие формулы на обычном языке:
  

• 35 слайд

  5.11. Как упростить логическую формулу?
  Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.
  

• 36 слайд

  x+y * (x*y) = x*y*x*y = x*x*y*y = 0 * y = 0
  
  x*y v x v y v x = x*y + x + y + x = x*y + x*y + x =
  x*(y + y) + x = x + x = 1
  
  (x v y)(x v y)(x v y) = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y) =
  
  y * x
  Как упростить логическую формулу
  x+y * (x*y) = x*y*x*y = x*x*y*y = 0 * y = 0
  
  x*y v x v y v x = x*y + x + y + x = x*y + x*y + x =
  x*(y + y) + x = x + x = 1
  
  (x v y)(x v y)(x v y) = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y) =
  
  y * x
  

• 37 слайд

  Как упростить логическую формулу
  x*y v x*y*z v x*z = x*y+x*y*z + x*z*(y+y) =
  x*y+x*y*z + x*z*y+x*z*y =
  (x*y+x*y*z) + (x*z*y+x*z*y) = x*y(1+z) + y*z(x+x)
  = x*y + y*z
  
  
  x*y+z = x*y*z = (x+y)*z
  

• 38 слайд

• 39 слайд

  Домашнее задание
  П. 5.11
  14 (в,г)
  15(в,г)
  16 (а.б)
  Домашнее задание 2 (№3-5)
  

• 40 слайд

  Самостоятельная работа
  Вариант 1
  а)
  б)
  
  
  Вариант 2
  а)
  б)
  Упростите следующие формулы, используя законы поглощения:
  «Я поеду в Москву и, если встречу там друзей, то мы интересно проведём время»
  A /\ (B  C)
  (A /\ B) C \/ D
  (A /\ B)  (C /\ D)
  A /\ B  C
  «Если вы были в Париже, то вы видели Лувр или видели Эйфелеву башню»
  A  (C /\ D)
  (A /\ B) C \/ D
  (A /\ B)  (C /\ D)
  A  (C \/ D)
  А9. Какова формула логического высказывания
  
  

• 41 слайд

  Что такое переключательная схема?
  Переключательная схема – это схематичное изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводов
  
  Каждый переключатель имеет только два состяния: замнутое и разомкнутое
  Когда состояние замкнутое X=1, когда разомкнутое - X=0
  
  Всей переключательной схеме можно поставить в соответствие логическую переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную нулю — если не проводит.
  Эта переменная называется функцией проводимости.
  

• 42 слайд

  Функции проводимости F некоторых переключательных схем:
  a)   Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно F=1;
   
  б)   Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно F=0;
   
  в)   Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда х разомкнут, следовательно, F(x) = x;
   
  г)   Схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит, когда х замкнут, следовательно, F(x) = ;
  
  
  

• 43 слайд

  Функции проводимости F некоторых переключательных схем:
  д) Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно, F(x) = x * y;
   
  е)   Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут, следовательно, F(x)=x+y;
   
  ж)   Схема состоит из двух параллельных ветвей и описывается функцией
  

• 44 слайд

  Синтез и анализ схемы
  СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работы сводится к следующим трём этапам:
  составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;
  упрощению этой функции;
  построению соответствующей схемы.
  АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к
  определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных.
  получению упрощённой формулы.
  
  

• 45 слайд

  Примеры
  1. Построить схему, содержащую 4 переключателя x, y, z и t, такую, чтобы она проводила ток тогда и только тогда, когда замкнут контакт переключателя t и какой-нибудь из остальных трёх контактов.
  Решение. В этом случае можно обойтись без построения таблицы истинности. Очевидно, что функция проводимости имеет вид
  F(x, y, z, t) = t * (x + y + z), а схема выглядит так:
  

• 46 слайд

  Примеры
  2. Построим схему с пятью переключателями, которая проводит ток в том и только в том случае, когда замкнуты ровно четыре из этих переключателей.
  
  Схема имеет вид:
  

• 47 слайд

  Примеры
  3. Найдем функцию проводимости схемы:
  
  
  
  
  Решение. Имеется четыре возможных пути прохождения тока при замкнутых переключателях a, b, c, d, e : через переключатели a, b; через переключатели a, e, d; через переключатели c, d и через переключатели c, e, b.
  Функция проводимости
  F(a, b, c, d, e) = a * b  + a * e * d + c * d  + c * e * b
  
  

• 48 слайд

  4. Упростим переключательные схемы
  а)  
  
  Решение:   
  Упрощенная схема:
  
  Б)
  
  
  Решение:   
  
  Упрощенная схема:
  
  

• 49 слайд

  4. Упростим переключательные схемы
  в)  
  
  
  Решение: 
  
  
   
  
  Упрощенная схема:
  
  
  

• 50 слайд

  4. Упростим переключательные схемы
  г)  
  
  
  
  Решение: 
  
  
   
  Упрощенная схема:
  
  
  

• 51 слайд

  4. Упростим переключательные схемы
  д)  
  
  
  
  Решение: 
  
  
   
  Упрощенная схема:
  
  
  

• 52 слайд

  4. Упростим переключательные схемы
  е)  
  
  
  
  Решение: 
  
  
   
  Упрощенная схема:
  
  
  

• 53 слайд

  №18б
  Найти F проводимости следующих переключательных схем
    Решение: 
  
  
   
  Упрощенная схема:
  
  
  

• 54 слайд

  №18б
  Найти F проводимости следующих переключательных схем
    Решение: 
  
  
   
  Упрощенная схема:
  
  
  

• 55 слайд

  №19a
  Проверьте равносильность следующий переключательных схем
    Решение: 
  
  
   
  
  
  

• 56 слайд

  Домашнее задание
  П.5.12
  18(в,г)
  19г
  20 вг
  Домашнее задание 2, № 5 и 6
  

• 57 слайд

  Составление формул по заданным таблицам истинности
  Получение совершенно нормальной дизъюнктивной формы (СНДФ)
  
  Получение совершенной нормальной конъюнктивной формы (СНКФ)
  

• 58 слайд

  1
  F
  &
  1
  x y z
  Получение совершенно нормальной дизъюнктивной формы (СНДФ)
  Составление формул по заданным таблицам истинности
  1
  стрелка
  Пирса
  F ( 0; 4 ;7 ) = 1
  

• 59 слайд

  Получение совершенной конъюнктивной формы (СНКФ)
  Составление формул по заданным таблицам истинности
  1
  F
  &
  1
  x y z
  F ( 1; 2 ;3;5;6 ) = 0
  

• 60 слайд

  Схема одноразрядного сумматора
  1
  Z
  &
  &
  x y
  P
  

• 61 слайд

  Задача
  Судейская коллегия, состоящая из 3 человек, выносит решение большинством голосов. Построить логическую схему, реализующую данное утверждение.
  011 101 110 111
  1
  &
  &
  F
  &
  1
  x y z
  

• 62 слайд

  5.13. Как решать логические задачи?
  
  Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:
  средствами алгебры логики;
  табличный;
  с помощью рассуждений.
  
  Познакомимся с ними поочередно.
  

• 63 слайд

  I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  
  Обычно используется следующая схема решения:
  изучается условие задачи;
  вводится система обозначений для логических высказываний;
  конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
  определяются значения истинности этой логической формулы;
  из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.
  
  

• 64 слайд

  Пример 1.
  Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок.
  — Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым будет Хилл.
  — Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.
  Питер, к которому обратился Ник, возмутился:
  — Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.
  По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?
  

• 65 слайд

  Решение.
  Введем обозначения для логических высказываний:
  Ш — победит Шумахер; Х — победит Хилл; А — победит Алези.
  Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.
  Зафиксируем высказывания каждого из друзей:
  

• 66 слайд

  Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание
  Высказывание
  истинно только при Ш=1, А=0, Х=0.
  Ответ. Победителем этапа гонок стал Шумахер.
  

• 67 слайд

  Пример 2.
  Некий любитель приключений отправился в кругосветное путешествие на яхте, оснащённой бортовым компьютером. Его предупредили, что чаще всего выходят из строя три узла компьютера — a, b, c, и дали необходимые детали для замены. Выяснить, какой именно узел надо заменить, он может по сигнальным лампочкам на контрольной панели. Лампочек тоже ровно три: x, y и z.
  

• 68 слайд

  Инструкция по выявлению неисправных узлов такова:
  если неисправен хотя бы один из узлов компьютера, то горит по крайней мере одна из лампочек x, y, z;
  если неисправен узел a, но исправен узел с, то загорается лампочка y;
  если неисправен узел с, но исправен узел b, загорается лампочка y, но не загорается лампочка x;
  если неисправен узел b, но исправен узел c, то загораются лампочки x и y или не загорается лампочка x;
  если горит лампочка х и при этом либо неисправен узел а, либо все три узла a, b, c исправны, то горит и лампочка y.
  В пути компьютер сломался. На контрольной панели загорелась лампочка x. Тщательно изучив инструкцию, путешественник починил компьютер. Но с этого момента и до конца плавания его не оставляла тревога. Он понял, что инструкция несовершенна, и есть случаи, когда она ему не поможет.
  Какие узлы заменил путешественник? Какие изъяны он обнаружил в инструкции?
  

• 69 слайд

  Решение
  Решение. Введем обозначения для логических высказываний:
  a — неисправен узел а;   x — горит лампочка х;
  b — неисправен узел b;   y — горит лампочка y;
  с — неисправен узел с;   z — горит лампочка z.
  Правила 1-5 выражаются следующими формулами:
  
  Формулы 1-5 истинны по условию, следовательно, их конъюнкция тоже истинна:
  
  

• 70 слайд

  Выражая импликацию через дизъюнкцию и отрицание (напомним, что
  ), получаем:
  Подставляя в это тождество конкретные значения истинности x=1, y=0, z=0, получаем:
  
  Отсюда следует, что a=0, b=1, c=1.
  Ответ на первый вопрос задачи: нужно заменить блоки b и c; блок а не требует замены.
  

• 71 слайд

  Какие изъяны он обнаружил в инструкции?
  
  

• 72 слайд

  II. Решение логических задач табличным способом
  
  При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц.
  

• 73 слайд

  Пример 3. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.
  Известно, что:
  Смит самый высокий;
  играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;
  играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;
  когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;
  Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.
  На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?
  

• 74 слайд

  Из условия 4 следует, что Смит не играет ни на альте, ни на трубе, а из условий 3 и 5, что Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гобое. Следовательно, инструменты Брауна — альт и кларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов "альт" и "кларнет" заполним нулями:
  И тд
  

• 75 слайд

  Пример 4. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом.
  Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби.
  Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист.
  Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.
  Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен.
  Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.
  

• 76 слайд

  Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.
  
  
  Решение. Здесь исходные данные разбиваются на тройки (имя — профессия — увлечение).
  
  Из слов Юры ясно, что он не увлекается туризмом и он не врач. Из слов врача следует, что он турист.
  
  

• 77 слайд

  Буква "а", присутствующая в слове "врач", указывает на то, что Влад тоже не врач, следовательно врач — Тимур.
  
  В его имени есть буквы "т" и "р", встречающиеся в слове "туризм", следовательно второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени — Юра.
  
  Юра не юрист и не регбист, так как в его имени содержатся буквы "ю" и "р". Следовательно, окончательно имеем:
  
  

• 78 слайд

  Пример 5. Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы.
  
  Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино.
  Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго.
  
  Известно, что:
  Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;
  парижанка не снимается в кино;
  та, кто живет в Риме, певица;
  Линда равнодушна к балету.
  
  Где живет Айрис, и какова ее профессия?
  

• 79 слайд

  Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия 1 и 4, заполнив клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание:
  
  Далее рассуждаем следующим образом. Так как Линда живет не в Риме, то, согласно условию 3, она не певица. В клетку, соответствующую строке "Линда" и столбцу "Пение", ставим 0.
  Из таблицы сразу видно, что Линда киноактриса, а Джуди и Айрис не снимаются в кино.
  

• 80 слайд

  Согласно условию 2, парижанка не снимается в кино, следовательно, Линда живет не в Париже.
  Но она живет и не в Риме. Следовательно, Линда живет в Чикаго.
  
  Так как Линда и Джуди живут не в Париже, там живет Айрис. Джуди живет в Риме и, согласно условию 3, является певицей. А так как Линда киноактриса, то Айрис балерина.
  В результате постепенного заполнения получаем следующую таблицу:
  
  Ответ. Айрис балерина. Она живет в Париже.
  

• 81 слайд

  III. Решение логических задач с помощью рассуждений
  
  Этим способом обычно решают несложные логические задачи.
  

• 82 слайд

  Пример 6. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский.
  На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский".
  
  Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны.
  
  Какой язык изучает каждый из молодых людей?
  
  
  

• 83 слайд

  Решение. Имеется три утверждения:
  
  Вадим изучает китайский;
  Сергей не изучает китайский;
  Михаил не изучает арабский.
  
  Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны.
  При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.
  
  Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.
  
  Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.
  

• 84 слайд

  Пример 7. В поездке пятеро друзей — Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей.
  
  Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение:
  
  Дима сказал: "Моя фамилия — Мишин, а фамилия Бориса — Хохлов".
  Антон сказал: "Мишин — это моя фамилия, а фамилия Вадима — Белкин".
  Борис сказал: "Фамилия Вадима — Тихонов, а моя фамилия — Мишин".
  Вадим сказал: "Моя фамилия — Белкин, а фамилия Гриши — Чехов".
  Гриша сказал: "Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона — Тихонов".
  
  Какую фамилию носит каждый из друзей?
  

• 85 слайд

  Решение. Обозначим высказывательную форму "юноша по имени А носит фамилию Б" как АБ, где буквы А и Б соответствуют начальным буквам имени и фамилии.
  Зафиксируем высказывания каждого из друзей:
  ДМ   и   БХ;
  АМ   и   ВБ;
  ВТ   и   БМ;
  ВБ   и   ГЧ;
  ГЧ   и   АТ.
  Допустим сначала, что истинно ДМ. Но, если истинно ДМ, то у Антона и у Бориса должны быть другие фамилии, значит АМ и БМ ложно. Но если АМ и БМ ложны, то должны быть истинны ВБ и ВТ, но ВБ и ВТ одновременно истинными быть не могут.
  Значит остается другой случай: истинно БХ. Этот случай приводит к цепочке умозаключений:
   
  БХ истинно
  БМ ложно
  ВТ истинно
  АТ ложно
  ГЧ истинно
  ВБ ложно
  АМ истинно.
  Ответ: Борис — Хохлов, Вадим — Тихонов, Гриша — Чехов, Антон — Мишин, Дима — Белкин.
  

Краткое описание документа:

Презентация создана в качестве иллюстрации учебного материала по теме "Математическая логика". За основу взят учебник Шауцуковой (глава 4). Для общеобразовательных классов. Рассмотрены основные понятия математичкой логики на примере элементарных физических схем. Приведены законы Логики и следствия из них. Разбор примеров на упрощение выражений.