Материалы для учителя в помощь подготовки к ОГЭ-решение задач по геометрии повышенной сложности

Задача по геометрии повышенной сложности из вариантов ОГЭ – 2021 формат № 25

В трапеции ABCD известно, что углы ABC и BCD равны 23° и 67° соответственно. Точки M и N – середины оснований BC и AD соответственно. Средняя линия трапеции равна 32, а MN = 20. Найти AD.

 

Решение. Выполним дополнительное построение, проведем прямые

NE ǁ CD и NF ǁ AB и рассмотрим Δ ENF. По условию ∠АВС = 23°,

отсюда ∠NFE = ∠АВС = 23° (углы соответственные при параллельных прямых АВ и NF).

Так же, так как по условию ∠BCD = 67°, то и ∠NEF = ∠BCD = 67° (углы соответственные при параллельных прямых CD и NE).

В Δ ENF   ∠NFE + ∠NEF = 23° + 67° = 90°, значит ∠ ENF = 90°.

Δ ENF – прямоугольный и отрезок NM – медиана, проведенная к гипотенузе EF и по свойству медианы, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, имеем

MN = .

Так же EF = BC – (CE + FB) = BC – AD (CE = DN и FB = NA, поэтому

CE + FB = AD). Получили BC – AD = 40. Так же по условию, средняя линия трапеции равна 32, а это BС + AD = 2 ∙ 32 = 64. Выполняя почленное сложение этих равенств, получим 2ВС = 104 ⇒ ВС = 52,

отсюда AD = 64 – BC = 64 – 52 = 12.

Краткое описание документа:

Данный материал предназначен для учителей, которые готовят учеников к ОГЭ. Здесь представлены решения задач по геометрии повышенной сложности формата № 25, которые взяты из банка задач открытого типа ФИПИ.