Методическая разработка на тему "Графики с параметрами" (подборка материалов для дополнительных занятий)

Материалы к занятиям по внеурочной деятельности
«Параметрические метаморфозы»
(общеинтеллектуальное направление)

Предмет: алгебра и начала математического анализа, геометрия.

Класс 11

Содержание

1.      Введение

2.      Занятие 1. Элементарные функции и их графики

3.      Занятие 2. Декартова и полярная системы координат

4.      Занятия 3-4. Программные среды, построение графиков функций, содержащих параметры

5.      Занятия 5. Преобразования графиков функций с изменением и без изменения масштаба

6.      Занятие 6. Новое и интересное

a.       Математический цветник Гвидо Гранди

b.      Фигуры Лиссажу

7.      Занятия 7-10. Задания, содержащие параметры, из ЕГЭ

8.      Выводы

                                                                Введение

            График функции — понятие в математике, которое даёт представление о геометрическом образе функции, переводе информации с языка формул на графический язык, позволяющее считывать свойства функции с графика.

Бесспорно, что это знание позволит упростить решение широкого круга задач.

В школьном курсе учащиеся познакомились с различными видами функциональных зависимостей.

Попробуем проанализироватьм, как влияют параметры на поведение графиков этих функций. Графер, Живая Математика, m.wolframalpha.com к нашим услугам.

Из графиков уравнений в школьном курсе изучают только уравнение окружности. Полезно расширить знания в этой области. Например, познакомиться с кривми (розами) Гвидо Гранди.

Возможно, полученные сведения помогут учащимсям сориентироваться при выполнении заданий, связанных с параметрическими уравнениями и функциями.

Цели занятий:

Познакомиться с влиянием значения параметров  на вид графика функции.

Смоделировать группы параметрически измененных функций.

Изучить новые  виды графиков уравнений и функций.

Расширить возможности при решении задач ЕГЭ.

Задачи:

Освоить построение графиков параметрически заданных функций в программе Живая Математика. Смоделировать группы параметрически измененных функций

Проанализировать влияние параметров на вид графиков

Использовать полученные знания при решении экзаменационных задач.

                              Занятие 1.  Элементарные функции и их графики

Функции Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу единственное число y, зависящее от x.  Обозначение: y = f(x)  Независимая переменная x – аргумент функции f. Число y, соответствующее x – значение функции f в точке x. График функции График функции f – множество всех точек (x; y) координатной плоскости, где y=f(x), а x «пробегает» всю область определения функции f. 

  

Занятие 2. Декартова и полярная системы координат

                                              Декартова система координат

Декартова (прямоугольная) система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

                          .

                                                  Полярная система координат

Помимо декартовой системы координат – существуют и другие подходы к построению координатной сетки плоскости и пространства. В частности, широкое распространение получила полярная система координат.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата также называется полярным углом или азимутом и равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

Радиальная координата может принимать значения от 0 до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°.

Занятия 3-4. Знакомство с программными средами  Графер, Живая Математика, m.wolframalpha.com. Изучение возможностей построения и преобразования графиков в этих программах.

Занятие 5.       Преобразования графиков функций с изменением и без изменения масштаба

Y=kx k Крутизна
Y=kx+m K Крутизна m Сдвиг по оси У
Y=k|x| k Сжатие
Y=ax^2+bx+c a Крутизна и направление ветвей -b/2a Ось параболы C/a Знак произведения корней
Y=k(x+m)^2+n k Крутизна и направление ветвей M Смещение вдоль оси х n Смещение вдоль оси y
Y=k√(x+a)+b k Направление и крутизна графика
Y=m*x^k k Симметричность функции
Y=a*cos (b(x+f))+g a Амплитуда b Частота g  Сдвиг по оси У f Сдвиг по оси Х

В программе Живая Математика есть возможность задавать функции параметрически и анимировать изменение графика функции в зависимости от значения параметра.

Этой возможностью можно пользоваться для анализа поведения функций.

Занятие 6.  Новое и интересное

Математический цветник Гвидо Гранди

Итальянский геометр Гвидо Гранди (1671-1742) создал РОЗЫ – радующие глаз правильные плавные линии, которые предопределены специально подобранными математическими зависимостями, описываемыми уравнениями в полярных координатах: г=a sin(кϕ), где а и k – некоторые параметры. Параметр а влияет на длину «лепестков» кривых, то есть радиус «цветка».

Правые части уравнений, которые задают кривые Гвидо Гранди, не могут превышать величины a, поэтому вся кривая располагается внутри круга радиуса a.

Поскольку sin(kϕ) является периодической функцией, то розы состоят из равных лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен a.

От параметра k зависит количество лепестков «розы». Если модуль k — целое число, то роза состоит из k лепестков при k нечетном и из 2k лепестков при k четном. Если модуль k — рациональное число, равное m/n
(n >1), то роза состоит из m лепестков в случае, когда оба числа m и n нечётные, и из 2m лепестков, если одно из этих чисел является четным; при этом, в отличие от первого случая, каждый следующий лепесток будет частично перекрывать предыдущий. Если модуль k — число иррациональное, то роза состоит из бесчисленного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.

 На рисунках изображены эти кривые при различных значениях параметра k.

Представленные на рисунках  розы Гранди, построены в программе Живая Математика.

С именем итальянского геометра Гвидо Гранди связывают появление математического дизайна. Задавая параметр k, можно получить замкнутые кривые, которые могут служить элементами декора или орнамента. Современные информационные технологии и методы компьютерной геометрии позволяют создавать не только плоские художественные графические формы с использованием математических алгоритмов, но и объёмные декоративные элементы на основе универсальных математических моделей.

Можно немного поэкспериментировать с розами Гранди. Возможно, что полученные кривые подтолкнут учащихся к новым выводам!

Занятие 7. Фигуры Лиссажу

Фигуры Лиссажу — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу. Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний.

где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз

Вид кривой сильно зависит от соотношения a/b. Когда соотношение равно 1, фигура Лиссажу имеет вид эллипса, при определённых условиях она имеет вид окружности (A = B, δ = π/2 радиан) и отрезка прямой (δ = 0). Ещё один пример фигуры Лиссажу — парабола (a/b = 2, δ = π/2). При других соотношениях фигуры Лиссажу представляют собой более сложные фигуры, которые являются замкнутыми при условии a/b — рациональное число.

                Занятия 8-10. Задания, содержащие параметры, из ЕГЭ

На этих занятиях можно разобрать несколько заданий из вариантов ЕГЭ, подкрепляя их оформлением в программных средах. Приведу пример трех таких заданий

Задание 1

При каких значениях параметра а уравнение   = а*х – 1  будет иметь одно решение.

Проиллюстрируем задание построением графиков левой и правой частей уравнения.

По графикам видно, что при  решений нет, при  и при а=а₂,  где а₂, одно решение, при  два решения. Не составляет труда найти точные значения а₁ и  а₂.  Получаем а₁=и  а₂=.

Ответ: .

Задание 2

При каких значениях параметра а уравнение  будет иметь одно решение.

Приведем уравнение к виду  и проиллюстрируем задание построением графиков левой и правой частей уравнения.

По графикам видно, что при  решений нет, при   одно решение. Других случаев по количеству решений нет.  Не составляет труда найти точное значение а₁.  Получаем а₁=.

Ответ: .

Задание 3.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение

Заметим, что, если (х;у) решение системы уравнений, то и (-х;у) решение системы уравнений (свойство четности). Значит, единственное решение может быть вида (0;у). Подставив х=0 в первое уравнение, получаем, что а=0 или а=4. То есть при а=0 и а=4 решением является пара вида (0;у). Будет ли оно единственным? Если а=0, то система
  имеет три решения (см.рисунок). Значит, а=0 не подходит.

Если а=4, то  имеет единственное решение (0;2), так как при остальных значениях х для первого уравнения у>2, а для второго у<2 (см. рисунок)

Ответ; а=4

Графическая иллюстрация к заданию 1.