Методическая разработка "Понятие логарифма "

Логарифмы и их свойства

Для различных целей  оказывается полезным представлять числа в виде   степени одного и того же основания, например:

для сравнения чисел  5²⁴   и  25¹⁰ ,

для решения уравнений  3^{1 – х}   =  81,

для упрощения вычислений над  действиями   7^-1 × (1/49)^-0,5 – 64^-(1/3) ×3^-2  

                                                                                     5^-1 – (1/9)^-0,5  

При этом обязательно надо знать свойства степеней!

a^m·aⁿ=a^m+n ;          a^m:aⁿ=a^m−n;                (a^m)ⁿ=a^m·n;                 (a:b)n=aⁿ:bⁿ.

Любое положительное число b может быть однозначно представлено в виде  степени а^х, т.е. а^х = b. Например:  

1.     5² = 25   показатель степени числа 5 чтобы получить 25 равен 2

2.     2¹⁰ = 1024  показатель степени числа 2 чтобы получить 1024 равен 10

3.     3⁵ = 243    показатель степени числа  3 чтобы получить 243 равен 5    и т.д.

4.     2^х = 16.    ВОПРОС: 2 в какой степени дает 16?   Ответ: …?

Итак  показатель степени числа 2 чтобы получить 16 равен 4.

5.     2^х = 32.  ВОПРОС: Чему равен показатель степени числа 2 чтобы получить 32?   Ответ:…?

Мы знаем   2¹ = 2, 

2² =  4.

Значит  2 в какой-то  степени будет равен 3?, т.е. 2^х = 3.

ВОПРОС: Кто скажет  2 в какой  степени будет равен 3?

Не знаете? И я не знаю, и никто не знает. Да потому что нет целой степени двойки такой, чтобы двойка в ней равнялась трем, т.е. 2^х = 3. Можем только заявить, что это число, заключенное в промежутке 1<x<2.

Математика решает данную проблему очень просто и элегантно – введением понятия логарифма.

Осмысливаем задачу: нам надо найти некое число х, в которое надо возвести 2, чтобы получить 3.

Вот и назовём этот показатель степени  х логарифмом 3 по основанию 2!  В математической форме эти слова выглядят так:

        x = log₂3. А произносится эта запись вот так: "Икс равен логарифму трех по основанию два."

        Число внизу (двойка) называется основанием логарифма. Пишется снизу так же, как и в показательном выражении 2^х. 

 Итак для удобства, для краткости показатель степени обозначают через log.  

Для наших примеров: log₅25=2,    log₂1024=10,    log₃243=5,   log₂16=4, log₂32=5, log₂3=x.

И для общего случая а^х = b        х называется логарифмом числа b по основанию а и обозначается   log_а b т.е.   х = log_а b.      

Определение. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Читайте вслух: log₂8=    (показатель степени числа 2 чтобы получить 8 равен…)                           log₆36=      (показатель 36 по основанию 6  равен …)

                   log₅(1/25)=      (показатель 1/25 по основанию 5   равен …)

Что следует из записей: 6³ = 216 …….?          9² = 81     …..?

                                 3⁴ = 81       ……?             5³ =  125   ….?

В качестве основания логарифмов может быть выбрано любое положительное число, отличное от 1.(а > 0, а  ≠ 1)

Например                 64 = 4³;         log₄64 = 3

                                                      64 = 8²;         log₈64 = 2

                                                      64 = 2⁶               log₂64 = 6

                                                      64 = (1/2)^–6     log_(1/2)64 = – 6       

                                                     64 = 5^x            log₅64 = x  

На определение логарифма возможны три типа упражнений:

log216 = …,      так как 2… = 16 log2(1/8) = …,  так как  2… = 1/8 log71 = …,   так как    7… = 1	Нахождение логарифма по данному числу и по данному основанию
log…64 = 4, так как     …4 = 64 log…(1/32)= - 5  так как  …-5 = 1/32	Нахождение основания логарифма по числу и логарифму.
log5… = 4, так как 54 = … log3… =  - 4,   так как 3-4 = …	Нахождение числа по логарифму и основанию.

Пример 1.  Попробуйте вычислить устно. Если трудновато, то  вычислите через  показательное уравнение (в уме или письменно).

log₁₀100 =                      так как  10^х = 100             х =  

log₂(1/4) =                      так как 2^х = ¼                   х =   

log₂₅5 =                        так как  25^х = 5                х =  

log₅0,04 =                   так как  5^х = 0,04;  5^х = 4/100;   5^х = 1/25;  5^х = 5^-2;  х = -2

log₃81 = ;                      log₅25 = ;                        log₉1 = ;                        

log₆6 = ;                         16= ;                      =  ;    

8=   ;                      =  ;                       ;

Можно заметить, если число под знаком логарифма целое, а  основание – дробное число, или наоборот, то сам логарифм - число отрицательное.

Попробуйте обосновать формулы. Приведите примеры.                          log_a1=0                  log_aa=1                 =b

   Пример 2. Вычислите, составив показательное уравнение

 

                                                                                       х=4

                                                                                      х =2,5

                                                                                                                                                                                                                х =3,5

                                                                                                                                                                                                                х =-3

3. Следующие задания предназначены для выработки навыка логарифмирования.

	1 вар	2 вар	3 вар	4 вар
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

4. Решите уравнения: а) log₈ х = 1/3;      б) log_х 8 = -(3/4); 

в) log₆х = 2;           г) log₁₆х = ¾;                     д)log_х4 = -1/2;         е) log_х1000 = 6        

Логарифмы были созданы шотландским  математиком  Джон Непером  в начале 17 века.

Придумали логарифмы для упрощения, облегчения вычислений. Первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером,  помогали астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления.

Рассмотрим одну из таких таблиц.

21	22	23	24	25	26	27	28	29	210	211	212
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы. Так вот показатели степеней и называли логарифмами. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

21	22	23	24	25	26	27	28	29	210	211	212
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096
log2 2=1	log2 4=2					log2 128=7					log2 4096=12

 С помощью этой таблицы легко вычислить, например:                                              32*128 = 2⁵*2⁷ = 2¹² = 4096.                                                                                 

Оба числа 32 и 128 находятся в нижней строке. Оказывается,   если мы хотим перемножить два числа нижнего ряда, например,  32 и 128, нам достаточно сложить соответствующие показатели степеней  чисел верхнего ряда: над числом 32 стоит 2⁵, над числом 128 стоит 2⁷; сложим числа 5 и 7 (будет 12) и опустимся вниз – под 12 стоит 4096. Значит, 32·128 = 4096.

Пусть надо вычислить 16*64.  Используя эту таблицу получим: 4+6=10 значит, 16*64=1024. Мы от умножения перешли к сложению степеней, т.е. работали с показателем – логарифмом.

Аналогично выполняется и деление, только числа первого ряда нужно вычитать. Вычислите 512:32, при делении показатели вычитаются, т.е. 9-5=4, а под 4 стоит 16. Значит  512:32=16.

Таким образом, каждый раз, когда мы хотим выполнить действия с числами нижнего ряда, мы выполняем более простые операции с числами верхнего ряда. 

Краткое описание документа:

В материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ предлагаются задания, содержащие показательные и логарифмические задачи. Такого типа задания вызывают затруднения у учащихся. Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Поэтому перед учителем стоит задача – формировать у учащихся знания о логарифмах, логарифмической функции,их свойствах и графиках. Для этого объяснение понятие логарифма надо провести подробно, от простого к сложному. Формировать у учащихся умения изучать логарифмические функции, развивая тем самым общие логарифмические представления, которые помогут обучающимся при решении не только школьного курса задач, но и при подготовке к ЕГЭ.

На мой взгляд, в этой методической разработке дан наиболее удачный вариант введения понятия логарифма.