Методические материалы проекта "Удивительные треугольники"

Слайд.1

Тема моего проекта «Удивительные треугольники». 

Слайд.2

В  ходе его выполнения передо мной стояли задачи: узнать историю треугольника и найти информацию о том, где встречаются треугольники в окружающем нас мире.

Слайд.3

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника.

Слайд.4

Первые упоминания о треугольнике и его свойствах ученые находят в египетских папирусах, которым более 4000 лет. В Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня - это теорема Пифагора и формула Герона, которым более 2000 лет. Вся геометрия со времён «Начал» Евклида покоится на «трёх китах» - трёх признаках равенства треугольников.

Слайд.5

За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии. Тригонометрия ("тригон"- по-гречески означает "треугольник"). С ней древние научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды.

Слайд.6

Знать жаждет любой школьник,
Что такое треугольник.
Треугольник - это клин,
Треугольником трамплин
Высится над миром,
Клином в небе журавли
Пролетают мимо.
Праздничная елка -
Тоже  "треуголка".
Парус в море, всех ветров
На земле поборник,
С виду - треугольник.
И беляш, и пирамида -
Треугольнейшего  вида.

Я коротко познакомлю вас с понравившимися мне треугольниками.

Слайд.7

Треугольник Пенроуза — одна из основных невозможных фигур, известная также под названиями невозможный треугольник и трибар. Был открыт в 1934 году шведским художником Оскаром Реутерсвардом, который изобразил его в виде набора кубиков.

Слайд.8

13-метровая скульптура невозможного треугольника из алюминия была воздвигнута в 1999 году в городе Перт (Австралия)

Слайд.9

Самой известной математической работой Блеза Паскаля является трактат об «арифметическом треугольнике», образованном биномиальными коэффициентами (треугольник Паскаля), который имеет применение в теории вероятностей и обладает удивительными и занимательными свойствами.

Слайд.10

Треугольник Рёло – это область пересечения трех окружностей, построенных из вершин правильного треугольника. Треугольник широко распространён и в архитектуре. Конструкция из двух дуг треугольника Рёло образует стрельчатую арку готического стиля.

Слайд.11

Чтобы не ошибиться при строительстве пирамиды, древние египтяне прежде всего размечали на земле её основание в виде квадрата. Прямые углы квадрата они «чертили» с помощью верёвки. На ней завязывали узлы, делившие её на равные 12 равных частей. Верёвку натягивали в виде треугольника со сторонами, отношение между которыми равнялось 3:4:5. Угол, противоположенный самой длинной стороне, всегда оказывался прямым.

Слайд.12

Бермудский треугольник – одно из самых мистических мест на нашей планете, изучить природу которого до сих пор не удалось человеку. Это загадочное место находится в Атлантическом океане, между тремя географическими точками: Пуэрто-Рико, Флоридой и Бермудскими островами. Эти точки образуют геометрические «вершины» Бермудского треугольника.

С 1945 года, это «дьявольское морское место» считается очень опасным для мореплавателей. Здесь происходило множество необъяснимых явлений. Дрейфующие суда с мертвыми экипажами, бесследные исчезновения самолетов и морских судов, выход из строя навигационных приборов, датчиков, радиопередатчиков, часов – вот, чем прославился на весь мир этот морской треугольник.

Слайд.13

Треугольники встречаются в строительстве железнодорожных мостов. Треугольники делают надёжными конструкции высоковольтными линии электропередач. Три металлические или деревянные планки, закреплённые в их концах так, чтобы получился контур треугольника. Его  изменить нельзя. Это объясняется свойством жёсткости: если заданы стороны треугольника, то форма его уже не изменится. Это свойство широко применяется на практике. В частности в строительстве.

Слайд.14

Поворотный треугольник — это соединение железнодорожных путей в виде треугольника, устраиваемое для разворота локомотива на 180°. Поворотные треугольники наиболее распространены на железных дорогах США.

Слайд.15

Треугольники встречаться на дорогах – это дорожные знаки,

которые называются предупреждающими знаками.

Слайд.16

Параллактический треугольник – сферический треугольник на небесной сфере, вершинами которого являются полюс , зенит  и светило.

Слайд.17

Треугольник Петрова — приём в русских шашках, названный в честь знаменитого шашиста Александра Дмитриевича Петрова. При помощи такого приёма достигается ловля одинокой дамки тремя дамками.

Слайд.18

Треугольник - удушающий приём, одно из самых сильных удушений ногами. В данном приёме делается своеобразный замок ногами на шею противника.  Этот приём используется в дзюдо, бразильском джиу-джитсу, боевом самбо.

Слайд.19

Треугольник - музыкальный инструмент, принадлежащий к группе ударных. Представляет собой металлический пруток, согнутый в треугольник с незамкнутым концом. Его применяют в симфоническом оркестре.

Слайд.20

Выводы

В процессе реализации  проекта  я  узнал, что треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура.  Одна из первых фигур, свойства которых человек узнал еще в глубокой древности, поэтому эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. В ходе работы я понял, что  мы встречаем треугольники повсюду: в архитектуре, в музыке и даже в борьбе. Треугольник – распространённая фигура, также с ним связаны загадки и тайны природы. Таким образом, я подтвердил свою гипотезу, что без треугольников и в жизни, и в математике просто не обойтись.

• 1 слайд

  МКОУ «Высоковская СШ»
  
  Выполнил обучающийся
  7 класса Александров Александр
  Руководитель: Яковская С.А.
  "Удивительные треугольники"
  Проект
  

• 2 слайд

  Цель:
  Систематизировать и расширить знания о треугольниках.
  Задачи проекта:
  изучить исторические сведения о треугольниках;
  найти информацию о том, где встречаются треугольники в окружающем нас мире.
  Гипотеза:
  без треугольников и в жизни,
  и в математике не обойтись.
  
  

• 3 слайд

  Что такое треугольник?
  Треугольник — это геометрическая фигура, которая образована тремя отрезками, соединяющие три точки, не лежащие на одной прямой.
  Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.
  

• 4 слайд

• 5 слайд

  
  В глубокой древности вместе с астрономией появилась наука «тригонометрия».
  
  Слово «тригонометрия»
  произведено от греческих
  
  
  «треугольник»
  
  «меряю»
  
  
  
  Буквальное значение – «наука об измерении треугольников»
  

• 6 слайд

  Треугольники в повседневной жизни
  

• 7 слайд

  Треугольники в архитектуре
  
  

• 8 слайд

  13-метровая скульптура невозможного треугольника из алюминия была воздвигнута в 1999 году в городе Перт (Австралия)
  

• 9 слайд

  Треугольник Паскаля
  Самой известной математической работой Блеза Паскаля является трактат об «арифметическом треугольнике», образованном биномиальными коэффициентами (треугольник Паскаля), который имеет применение в теории вероятностей и обладает удивительными и занимательными свойствами.
  

• 10 слайд

  Треугольник Рёло
  Треугольник Рёло – это область пересечения трех окружностей, построенных из вершин правильного треугольника. Они имеют радиус, равный стороне этого же треугольника. Он относится к разряду простых фигур (как круг), обладающих постоянной шириной. То есть если к нему провести две параллельные опорные прямые, то независимо от выбранного направления, расстояние между ними будет неизменным, в любой точке независимо от их длины.
  

• 11 слайд

  Пирамида Хеопса
  

• 12 слайд

  Бермудский треугольник
  Бермудский треугольник – одно из самых мистических мест на нашей планете, изучить природу которого до сих пор не удалось человеку.
  Это загадочное место находится в Атлантическом океане, между тремя географическими точками: Пуэрто-Рико, Флоридой и Бермудскими островами. Эти точки образуют геометрические «вершины» Бермудского треугольника.
  Вот такая вот странная загадка этого места с условными границами простой геометрической фигуры. Загадка, которую вряд ли когда-нибудь удастся решить.
  

• 13 слайд

• 14 слайд

  Поворотный треугольник — это
  соединение железнодорожных
  путей в виде треугольника,устраи-
  ваемое для разворота локомотива
  на 180°. Поворотные треугольники
  наиболее распространены на
  железных дорогах США,в России
  поворотных треугольников отно-
  осительно немного.
  
  Поворотный треугольник
  

• 15 слайд

  Треугольники встречаться на дорогах – это дорожные знаки, которые называются Предупреждающие знаки
  ДОРОЖНЫЕ ЗНАКИ
  Дорожные знаки
  

• 16 слайд

  Параллактический треугольник – сферический треугольник на небесной сфере, вершинами которого являются полюс (P), зенит (Z), и светило (X).Используется в астронавигации.С помощью него можно определить координаты места наблюдения, а также рассчитать моменты времени восхода и захода светил применительно к месту наблюдения, определить местное звёздное время.
  
  Параллактический треугольник
  

• 17 слайд

  Треугольник Петрова — приём в
  русских шашках ,названный в честь
  знаменитого шашиста Александра
  Дмитриевича Петрова. При помощи
  такого приёма достигается ловля
  одинокой дамки тремя дамками. За
  рубежом носит название «способ
  Монтеро», «классический метод».
  Впервые опубликован в «Книге для
  играющих в шашки» Педро Руизо
  Монтеро в 1591 году.
  
  Треугольник Петрова
  

• 18 слайд

  Треугольник - удушающий приём,
  одно из самых сильных удушений
  ногами. В данном приёме делается
  своеобразный замок ногами на шею
  противника. Этот приём был создан
  в начале XX века дзюдоистом Цутанэ
  Одой. Этот приём используется в
  дзюдо, бразильском джиу-джитсу,
  боевом самбо, а также в ММА
  Прием «Треугольник»
  

• 19 слайд

  Треугольник - музыкальный инструмент,
  принадлежащий к группе ударных.
  Представляет собой металлический
  пруток, согнутый в треугольник с незам-
  кнутым концом. Этот инструмент считает-
  ся достаточно простым и чаще всего его
  применяют в симфоническом оркестре,
  где для исполнения некоторых сочинений известных композиторов он выступает в роли ведущего инструмента.
  
  Музыкальный инструмент
  

• 20 слайд

  Вывод
  В процессе реализации проекта я узнал, что треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которых человек узнал еще в глубокой древности, поэтому эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. В ходе работы я понял, что мы встречаем треугольники повсюду: в архитектуре, в музыке и даже в борьбе. Треугольник – распространённая фигура, также с ним связаны загадки и тайны природы. Таким образом, я подтвердил свою гипотезу, что без треугольников и в жизни, и в математике просто не обойтись.
  

• 21 слайд

  Интернет – сайты:
  http://ru.wikipedia.org
  http://www-formula.ru
  http://with-art.livejournal.com
  http://www.ufolog.ru, http://www.yourfight.ru
  
  Литература
  Демпан И.Я. Мир чисел: «Рассказы о математике»- Издание 4-е 1982г
  Нагибин Ф.Ф.,Канин Е. С.Математическая шкатулка. Москва «Просвещение» 1984 г.
  Е . Е. Семёнов. Изучаем геометрию. Москва « Просвещение »1987г.
  Л.А.Бахтина. Час занимательной математики. Москва «Народное образование» 2003г.
  Ю.В.Прохоров , С.А .Теляковский. «Научное издательство –Большая Российская Энциклопедия». Москва 1996 г.
  

МКОУ «Высоковская СШ»

Проект

«Удивительные треугольники»

Выполнил обучающийся 7 класса

Александров Александр.

Руководитель:  Яковская С.А.

2018

Цель:

систематизировать и расширить знания о треугольниках.

 Задачи:

·       изучить исторические сведения о треугольниках;

·       найти информацию о том, где встречаются треугольники в окружающем нас мире.

Проблемные вопросы;

Где в жизни нам приходится сталкиваться с треугольником?

Можно ли представить жизнь без треугольника?

Зачем нам нужен треугольник?

Гипотеза:

без треугольников и в жизни, и в математике не обойтись.

Введение

Треугольник (в евклидовом пространстве) — это геометрическая фигура, которая образована тремя отрезками, соединяющие три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Треугольник — это многоугольник, у которого имеется три угла.

Мы знакомы с разными многоугольниками: треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д. Почему же именно треугольник считают символом геометрии? Потому что треугольник – это многоугольник с наименьшим количеством сторон. Действительно, построить многоугольник с двумя сторонами не получится. Ведь для того чтобы получился многоугольник нужна третья сторона.

Самым простым многоугольником является треугольник. Но простым – не значит не интересным. Треугольник - неотъемлемая часть окружающего нас мира, так как используется в быту и различных устройствах.

История треугольника

С древнейших времен и до наших дней математики занимаются изучением треугольника.

Крупнейший древнегреческий историк Геродот (V век до нашей эры) оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. С этого и началась геометрия – "землемерие" (от греческого "гео" – "земля" и "метрео" "измеряю"). Древние землемеры выполняли геометрические построения, измеряли длины и площади. Астрологи рассчитывали расположение небесных светил – все это требовало весьма обширных познаний о свойствах плоских и пространственных фигур, и в первую очередь о треугольнике. Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в египетских папирусах, которым более 4000 лет, в старинных индийских книгах и других древних документах. Уже тогда была известна теорема, получившая впоследствии название теоремы Пифагора, которая применялась для построения прямых углов на местности с помощью веревочного треугольника со сторонами 3, 4, 5 (египетский треугольник). Древнегреческий ученый Герон впервые применил знак «∆» вместо слова «треугольник».
Учение о треугольнике развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до нашей эры Фалесом, затем в школе Пифагора. Древние греки решили упорядочить накопленные сведения о треугольнике и написали много трудов. Наиболее совершенной оказалась работа Евклида "Начала"(365-300 до н.э.).  "Начала" Евклида состоят из тринадцати книг (отделов, или частей). В  1-ой книге рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга теоремой Пифагора.

 Архимед (287-212 гг. до н. э.) родился в городе Сиракузы на острове Сицилия. Основные работы Архимеда касались различных практических приложений математики (геометрии), физики, гидростатики и механики. 
Важнейшей заслугой Фалеса в области математики: перенесение им из Египта в Грецию первых начал теоретической элементарной геометрии. Фалес Милетский жил в самом конце 7 - первой половине 6 в. до н. э. Фалес был уроженцем греческого торгового города Милета, расположенного в Малой Азии на берегу Эгейского Моря.
Рене Декарт заложил основы аналитической геометрии. Геометрия Декарта оказала огромное влияние на развитие математики, и почти 150 лет алгебра и аналитическая геометрия развивались преимущественно в направлениях, указанных Декартом.
Понселе Жан Виктор (1788-1867) , французский математик и инженер, заложил основы проективной геометрии. В 1822 году французский математик и механик Жан Виктор Понселе опубликовал «Трактат о проективных свойствах фигур».
Леонард Эйлер - один из величайших математиков XVIII столетия, родился в 1707 г. Им были открыты новые теоремы о свойствах треугольника.

Как известно, с давних времен, существует целая наука тригонометрия ("тригон"- по-гречески означает "треугольник"). С ее помощью можно было, измерив одну сторону и два угла треугольника, найти длины всех его сторон. Но еще ранее с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Тригонометрия, как отдельный предмет, впервые рассматривается в труде азербайджанского математика и астронома Насиреддина Туей (1201-1274) «Трактат о полном четырехстороннике». В Европе аналогичное открытие сделал немецкий ученый Иоганн Мюллер (1436-1476) в сочинении «О треугольниках всех видов».
Красивая теорема Наполеона. «Если на сторонах треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры будут вершинами равностороннего треугольника».
Открытие в геометрии треугольника есть и в прошлом веке. В 1904 году американский математик Эдвард Морли вывел теорему о трисектрисах угла, теоремы о замечательных точках треугольника.

Треугольники вокруг нас

Треугольники в архитектуре

Треугольник Пенроуза — одна из основных невозможных фигур, известная также под названиями невозможный треугольник и трибар.

Был открыт в 1934 году шведским художником Оскаром Реутерсвардом, который изобразил его в виде набора кубиков. В 1980 году этот вариант невозможного треугольника был напечатан на шведских почтовых марках.

13-метровая скульптура невозможного треугольника из алюминия была воздвигнута в 1999 году в городе Перт (Австралия).

Треугольник Паскаля

Самой известной математической работой Блеза Паскаля является трактат об «арифметическом треугольнике», образованном биномиальными коэффициентами (треугольник Паскаля), который имеет применение в теории вероятностей и обладает удивительными и занимательными свойствами. Мартин Гарднер пишет в книге «Математические новеллы» (М., Мир, 1974): «Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике».

Треугольник Рёло

Треугольник Рёло – это область пересечения трех окружностей, построенных из вершин правильного треугольника. Они имеют радиус, равный стороне этого же треугольника. Он относится к разряду простых фигур (как круг), обладающих постоянной шириной. То есть если к нему провести две параллельные опорные прямые, то независимо от выбранного направления, расстояние между ними будет неизменным, в любой точке независимо от их длины.

 Франц Рёло впервые показал возможность связи между основами механики и конструирования. То есть связал теорию и практические проблемы конструирования. Что позволило создавать механизмы в совокупности их функциональных возможностей с внешней привлекательностью/эстетичностью. Отсюда Рёло стали считать поэтом механики. Что позволило последователям в корне пересмотреть имеющиеся в ней теории. Треугольник широко распространён и в архитектуре. Конструкция из двух дуг треугольника Рёло образует стрельчатую арку готического стиля. А окна в форме Рёло стоят в Брюгге в церкви Богоматери. Как орнамент он присутствует и на оконных решетках швейцарской коммуны Отрив и цистерцианского аббатства.

Пирамида Хеопса

Чтобы не ошибиться при строительстве пирамиды, древние египтяне прежде всего размечали на земле её основание в виде квадрата. Прямые углы квадрата они «чертили» с помощью верёвки. Но верёвка была не простая. На ней завязывали узлы, делившие её на равные 12 равных частей. Верёвку натягивали в виде треугольника со сторонами, отношение между которыми равнялось 3:4:5. Угол, противоположенный самой длинной стороне, всегда оказывался прямым. Почему? Это объясняет теорема Пифагора, самая популярная, быть может, из всех теорем.

Бермудский треугольник

Бермудский треугольник – одно из самых мистических мест на нашей планете, изучить природу которого до сих пор не удалось человеку. Это загадочное место находится в Атлантическом океане, между тремя географическими точками: Пуэрто-Рико, Флоридой и Бермудскими островами. Эти точки образуют геометрические «вершины» Бермудского треугольника.

Уже много лет, а точнее - с 1945 года, это «дьявольское морское место» считается очень опасным для мореплавателей. Здесь происходило множество необъяснимых явлений. Дрейфующие суда с мертвыми экипажами, бесследные исчезновения самолетов и морских судов, выход из строя навигационных приборов, датчиков, радиопередатчиков, часов – вот неполный список того, чем прославился на весь мир этот морской треугольник.

Многие ученые, астрономы, физики, математики, географы, и даже военные службы пытались разгадать мистику загадочных явлений, однако эти исследования не стали успешными. На сегодняшний день человеческий мир владеет только обыкновенными догадками, которые не дают однозначного ответа – что это за странное географическое место, что видят люди, попадая туда, куда пропадают исчезнувшие корабли и самолеты. Вот такая вот странная загадка этого места с условными границами простой геометрической фигуры. Загадка, которую вряд ли когда-нибудь удастся решить.

Треугольники в строительстве

Треугольники встречаются в строительстве железнодорожных мостов. Треугольники делают надёжными конструкции высоковольтными линии электропередач. Три металлические или деревянные планки, закреплённые в их концах так, чтобы получился контур треугольника изменить нельзя. Это объясняется свойством жёсткости, если заданы стороны треугольника, то форма его уже не изменится. Это свойство широко применяется на практике. В частности в строительстве.

Поворотный треугольник

Поворотный треугольник — это соединение железнодорожных путей в виде треугольника, устраиваемое для разворота локомотива на 180°. Поворотные треугольники наиболее распространены на железных дорогах США, в России поворотных треугольников относительно немного.

Дорожные знаки

Треугольники встречаться на дорогах – это дорожные знаки,

которые называются предупреждающие знаки.

Параллактический треугольник

Параллактический треугольник – сферический треугольник на небесной сфере, вершинами которого являются полюс (P), зенит (Z), и светило (X). Используется в астронавигации. С помощью него можно определить координаты места наблюдения, а также рассчитать моменты времени восхода и захода светил применительно к месту наблюдения, определить местное звёздное время.

Треугольник Петрова

Треугольник Петрова — приём в русских шашках, названный в честь знаменитого шашиста Александра Дмитриевича Петрова. При помощи такого приёма достигается ловля одинокой дамки тремя дамками. За рубежом носит название «способ Монтеро», «классический метод». Впервые опубликован в «Книге для играющих в шашки» Педро Руизо Монтеро в 1591 году.

Прием «Треугольник»

Треугольник - удушающий приём, одно из самых сильных удушений ногами. В данном приёме делается своеобразный замок ногами на шею противника. Этот приём был создан в начале XX века дзюдоистом Цутанэ Одой. Этот приём используется в дзюдо, бразильском джиу-джитсу, боевом самбо.

Музыкальный инструмент

Треугольник - музыкальный инструмент, принадлежащий к группе ударных.  Представляет собой металлический пруток, согнутый в треугольник с незамкнутым концом. Этот инструмент считается  достаточно простым и чаще всего его применяют в симфоническом оркестре, где для исполнения некоторых сочинений известных композиторов он выступает в роли ведущего инструмента.

Выводы

В процессе реализации  проекта  я  узнал, что треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура.  Одна из первых фигур, свойства которых человек узнал еще в глубокой древности, поэтому эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. В ходе работы я понял, что  мы встречаем треугольники повсюду: в архитектуре, в музыке и даже в борьбе. Треугольник – распространённая фигура, также с ним связаны загадки и тайны природы. Таким образом, я подтвердил свою гипотезу, что без треугольников и в жизни, и в математике просто не обойтись.

Краткое описание документа:

Самым простым многоугольником является треугольник. Но простым – не значит не интересным. Треугольник - неотъемлемая часть окружающего нас мира, так как используется в быту и различных устройствах.

Проблемные вопросы, на которые нашлись ответы при выполнении проекта: Где в жизни нам приходится сталкиваться с треугольником? Можно ли представить жизнь без треугольника? Зачем нам нужен треугольник?

Цель проекта: систематизировать и расширить знания о треугольниках.Задачи: изучить исторические сведения о треугольниках; найти информацию о том, где встречаются треугольники в окружающем нас мире.