Методические указания для выполнения самостоятельной работы 1 и 2 курс спо

.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ БУРЯТИЯ

ГБПОУ  «КОЛЛЕДЖ ТРАДИЦИОННЫХ ИСКУССТВ НАРОДОВ ЗАБАЙКАЛЬЯ» СОДНОМОВА Ж.К САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА МАТЕМАТИКА (МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ) . С. ИВОЛГИНСК

Введение

Цель разработки: оказание помощи обучающимся в выполнении самостоятельных работ по предмету «математика».

Пояснительная   записка

Самостоятельные  занятия  служат  связующим  звеном  между  теорией  и  самостоятельной работой. Они необходимы для закрепления теоретических знаний, полученных на уроках теоретического обучения, а так же для получения самостоятельных знаний.  Самостоятельные задания выполняются студентом самостоятельно, с применением знаний и умений, полученных на уроках, а так же с использованием необходимых пояснений,  полученных от преподавателя  при выполнении самостоятельного задания. К самостоятельному занятию от студента требуется предварительная подготовка, которую он должен провести перед  занятием. Список литературы и вопросы, необходимые при подготовке, студент получает перед занятием из методических рекомендаций к самостоятельному занятию.

Самостоятельные задания разработаны в соответствии с учебной программой.  в  зависимости  от  содержания  они  могут  выполняться  студентами  индивидуально  или  фронтально.

Зачет  по  каждой  самостоятельной работе  студент  получает  после её выполнения, а также ответов на вопросы преподавателя, если таковые возникнут при проверке выполненного задания.

Результаты освоения учебной дисциплины:

Освоение содержания учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» обеспечивает достижение студентами следующих результатов:

а) Личностные:

- сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
- понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;

- развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;

- овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественнонаучных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

- готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;

- готовность и способность к самостоятельной, творческой и ответственной деятельности;

- готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;

- отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем.

б)Метапредметные:
- умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать всевозможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;

- умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;

- владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

- готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;

- владение языковыми средствами – умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;

- владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения;

- целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и интуиция, развитость пространственных представлений; способность воспринимать красоту и гармонию мира;

в) Предметные:

-сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;

- сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

- владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

- владение стандартными приёмами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;

- сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;

- владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;

- сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях вреальном мире, об основных понятиях элементарной теории вероятностей;
умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;

- владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ

НАТУРАЛЬНЫЕ, ЦЕЛЫЕ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1. Натуральные числа Понятие числа развивалось на протяжении многих столетий. Сначала в процессе счета появились натуральные числа.  Определение. Натуральными числами называются числа, полученные при счете. Обозначение: .  На множестве натуральных чисел можно ввести операции сложения и умножения. Это означает, что результатом введенной операции будет также натуральное число. Обозначения:  , где a – первое слагаемое, b – второе слагаемое, c – сумма,  , где a– первый сомножитель, b – второй сомножитель, c – произведение.      Замечание. В математике эти операции вводят аксиоматически, то есть определяется система аксиом, которым удовлетворяют операции сложения и умножения. 2. Целые числа Далее, в процессе развития понятия числа появилось число ноль и отрицательные числа, что дополнило ряд натуральных чисел. Определение. Целыми числами называются натуральные числа, им противоположные и ноль. Обозначение: . Определение. Числом, противоположным числу a называется число . Замечание. Нужно отметить, что в двух последних определениях дважды встречается понятие противоположного числа, определяемое одно через другое. Это некорректно с точки зрения математики. Как мы отмечали выше, корректное определение дается с помощью системы аксиом, на которых мы не останавливаемся, чтобы не усложнять содержание. В результате появления отрицательных чисел и нуля стало возможным введение операции вычитания, которая, если строго ее определить, есть операция сложения, в которой второе слагаемое заменяется противоположным по знаку: . Результатом введенной операции также будет целое число (даже если a и b– натуральные числа). Обозначения: , где a – уменьшаемое,b – вычитаемое, c – разность. 3. Рациональные числа В результате практических потребностей измерения величин появилось понятие дроби, в связи с этим появилось понятие рационального числа. Определение. Рациональными числами называются числа вида , где p – целое число, а q —  натуральное число. Обозначение: . Такое ограничение на знаменатель исключает появление нуля в знаменателе и многозначности в определении числа. В результате определения рационального числа появилось понятие обратного к натуральному числу a числа. Определение. Число  называется обратным к числу . Определив понятие рационального числа в виде дроби, можно ввести операцию деления на множестве рациональных чисел, как умножения на обратное число: . Результатом введенной операции будет рациональное число (даже если a и b– натуральные числа). Обозначения: , где a– делимое, b – делитель, c – частное. 4. Действительные числа Кроме четырех арифметических операций существуют еще ряд операций – возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование, потенцирование и так далее. Не останавливаясь на определении этих операций, отметим только, что их результатом может быть число, не являющееся рациональным. Например, можно показать, что   нельзя представить в виде дроби вида , где p – целое число, а q —  натуральное число. Для такого числа можно написать приближенное значение в виде дроби с некоторой  степенью точности. Такие числа носят название иррациональных. Доказано, что между двумя любыми сколь угодно близкими по значению рациональными числами существует бесконечное число иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел (обозначается множество действительных чисел через R). Имеет место следующее соответствие между множествами чисел: . 5. Простые и составные числа Натуральные числа можно разбить на два класса – простые и составные числа. Определение. Натуральное число n называется простым числом, если оно не имеет других делителей, кроме единицы и самого этого числа. Существуют таблицы простых чисел. Запишем несколько первых их них: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,… Определение. Натуральное число n называется составным числом, если его можно представить в виде произведения двух множителей, каждый из которых больше единицы. Самым маленьким составным числом является число .  Как же узнать, будет ли данное число составным или простым? Как разложить составное число на простые множители? Укажем некоторые известные правила. I. Натуральное число является составным числом, если оно делится на некоторое меньшее его число, отличное от единицы. В школьном курсе математики предлагается следующий алгоритм разложения числа на простые множители: Шаг.1. Записать данное число. Справа от него провести вертикальную линию. Шаг 2. Найти наименьший, отличный от единицы простой делитель b  числа и записать его справа от заданного числа. Записать под заданным числом частное c от деления на b. Шаг 3. Если c=1, то получено разложение на простые множители. Если , перейти к шагу 2. Пример. Разложить число 660 на простые множители. Получим , так как последовательно имеем:           II. Каждое составное число n имеет делитель больший единицы и такой, что его квадрат не превосходит n. Поэтому делители составного числа n следует искать среди чисел, квадраты которых не больше, чем n что значительно сокращает количество делений. Пример. Выяснить, является число 157 простым или составным. Так как , то простые делители следует искать среди чисел 2, 3, 5, 7, 11. Проверкой убеждаемся, что ни одно из этих чисел не является делителем числа 157, значит, это число является простым. III. Метод Ферма разложения числа на множители Этот метод был предложен французским математиком П.Ферма и основан на следующем факте: если число n можно представить в виде разности квадратов, то разложение числа n на множители получено, так как . Будем последовательно строить числа вида  и проверять, являются ли они квадратом некоторого числа. Можно упростить вычисления, получив следующее число  из предыдущего  добавлением числа 2a+1. Это следует из тождества . Пример. Разложить число 1363 на множители методом Ферма. Так как , то начальное значение a равно 37 и первый член последовательности равен . Число 6 не является полным квадратом, поэтому получим число a+1 путем прибавления к предыдущему значению числа . Получим . Поэтому имеем: . Ответ. .

 КОРНИ, СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ

Справочные сведения

    Логарифмом положительного числа b по основанию а ( записывают log_a b), где а  > 0, a 1, называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Равенство , где а  > 0, a 1, b > 0, называют   основным логарифмическим тождеством.

x = log_ab – корень уравнения a^x = b, где а  > 0, a 1, b > 0.

Логарифм числа по основанию 10 называется десятичным логарифмом:  log₁₀ b = lg b.

Логарифм числа по основанию е называется натуральным логарифмом:  log_е b = ln b.

Примеры с решениями

1.                Вычислить: 1)  2)  3)

Решение. 1) , так как 3⁴ = 81.     

2) Пусть . Тогда по определению логарифма , или , откуда ,.

3) Пусть . Тогда по определению логарифма , откуда , , , .

2.                Найти: 1)  2)  3)

Решение. 1) По определению логарифма (согласно основному логарифмическому тождеству)                2)  

3)

   3.   Вычислить:

1)            2)              3)

Решение.

1)

2)

3)  

Логарифмические уравнения и их системы

Справочные сведения

     Определение. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим уравнением.

     Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение 

                                                      log_ax = b,                                                            (1)

где a и  b – данные числа, а х – переменная величина. 

     Если а > 0 и , то такое уравнение имеет единственный корень  x = a^b.

     Решение более сложных логарифмических уравнений сводится либо к решению алгебраических уравнений, либо к решению уравнений вида (1).

Способы решения логарифмических уравнений

1.                Способ непосредственного применения определения логарифма.

Пример 1. Решим уравнение log_x( х³ – 5х + 10 ) = 3.

           Решение. По определению логарифма можно написать:    х³ – 5х + 10 = х³, откуда: х = 2.

           Проверка: log₂(2³ - 52 + 10) = log₂8 = 3.                                  Ответ: 2.

     Известно, что областью определения логарифмической функции является множество положительных действительных чисел. Поэтому часто при решении логарифмических уравнений вначале определяется

область допустимых значений переменной (ОДЗ). Затем решается данное уравнение и найденные значения переменной проверяются на принадлежность ОДЗ.

2.                Способ приведения уравнения к виду log_a f(x) = log_a g(x) c последующим применением потенцирования.

           Пример 2. Решим уравнение: lg( x + 5) – lg( x² – 25 ) = 0.

Решение. Найдем ОДЗ. Для этого решим систему неравенств:

  Отсюда имеем: .

Преобразуем данное уравнение:   lg( x + 5) = lg( x² – 25 ).

Потенцируя, имеем: х + 5 = х² – 25 или  х² – х – 30 = 0, откуда х₁ = 6, х₂ = - 5. Но  .

Ответ: 6.

3.                Способ введения новой переменной.

Пример 3. Решим уравнение :

Решение. Пусть log₂ х = у, тогда вместо исходного уравнения получим: у² – у – 2 = 0.

Решив полученное квадратное уравнение, имеем:  у₁ = 2, у₂ = - 1.

Теперь найдем искомые значения х:

log₂  х = 2, х₁ =  4;                         log₂  х = -1, х₂ =   .

ОДЗ: х > 0. Оба найденные значения х принадлежат ОДЗ.                      Ответ: 4; .

4.                Способ почленного логарифмирования.

Пример 4. Решим уравнение:

           Решение. Перепишем это уравнение в следующем виде:  или

           Теперь почленно прологарифмируем это уравнение по основанию 2:

           . Применяем свойства логарифмов:

             

           Решаем это уравнение способом введения новой  переменной.  Получаем:

           1) log₂ х = 3, х₁ =  8;     2) log₂ х = -1, х₂ =   .

           Выполняем проверку:

1)              

2)                                                                 Ответ:  8; .              

5.                 В практике встречаются логарифмические уравнения, содержащие логарифмы с разными

            основаниями.  В таких случаях применяется формула перехода к новому основанию:                                                                                                                                       

                                            

            Пример 5. Решим уравнение:

            Решение. ОДЗ:   

            Используем формулу перехода к новому основанию:   тогда данное    

           уравнение имеет вид:         или  

           Тогда:    откуда  получаем, что  х = 2.                            

                                                                                                            Ответ: 2.

6.                Показательно-логарифмические уравнения.

Чаще всего такие уравнения решаются способом логарифмирования обеих частей уравнения и приведением к логарифмическим уравнениям.     

           Пример 6. Решим уравнение:  

            Решение.  Перепишем это уравнение в виде:    Воспользуемся      

           основным   логарифмическим  тождеством  , имеем:

                

           Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3: Тогда

            откуда:    и     или  х₁ =   и  х₂ =  9.

           Проверка:   

                                                           Ответ:              

     При решении систем логарифмических уравнений в основном применяются те же способы, что и при решении систем алгебраических уравнений  ( способы  подстановки,  алгебраического  сложения, введения  новых  переменных и др.) 

         Пример 6. Решим систему уравнений:  

         Решение. Для первого уравнения применяем свойства показательной функции, а второе        

         уравнение потенцируем:               

        Введем новые переменные:

         получим систему рациональных уравнений:  

      Решаем систему  методом подстановки, получаем: а = 5 и b = 6. Тогда:  

      или  х = 25 и у = 36.

       Проверка:         

      Вывод: пара чисел (25;36) действительно является решением системы.                                                                       

                                                                                                                                      Ответ: (25;36).

Логарифмические неравенства

Справочные сведения

     Определение. Неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим неравенством.

     Всякое значение переменной , при котором данное логарифмическое неравенство обращается в

верное числовое неравенство, называется  решением логарифмического неравенства.

     Решить логарифмическое неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

     Решение логарифмических неравенств в основном сводится к решению неравенств вида

  или  

     Для решения таких неравенств, учитывая область определения логарифмической функции и ее свойства, применяют следующие утверждения:

1)               при а > 1 неравенство   равносильно системе неравенств:

                                                             (1)

2)               при 0 < а < 1 1 неравенство   равносильно системе неравенств:

                                                              (2)

Примеры с решениями

     Пример 1. Решим неравенство  

     Решение. Преобразуем правую часть неравенства:     Здесь а = , поэтому

     используем систему неравенств вида (2):          или          

    Решением последней системы будет промежуток                                  Ответ:

     Пример 2. Решим неравенство  

     Решение. Используем свойства логарифмов:   

     В полученном неравенстве а = 10 > 1, поэтому используем систему неравенств вида (1):

       отсюда:         

     Изображая решение каждого неравенства системы по отдельности на координатной прямой,                                  находим  общую часть – промежуток                                                                     Ответ:

Прямые и плоскости в пространстве

Справочные сведения

Основные определения и теоремы

1.                Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2.                Прямые, которые не пересекают и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

3.                Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.

4.                Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

5.                Признак параллельности прямой и плоскости: Если прямая, принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

6.                Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

7.                Признак параллельности плоскостей: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

8.                Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

9.                Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

10.            Теорема о трех перпендикулярах: Для того, чтобы прямая лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной.

11.            Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

12.            Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

13.            Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

14.            Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.

15.            Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

16.            Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.

17.            Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

18.            Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.

Угол между прямыми

·                   Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.

·                  

·                   Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

Пример 1. В единичном кубе A…D₁ найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁.

Решение.

1-й способ.

Прямая AD₁ параллельна прямой BC₁ и, следовательно, угол между прямыми AB₁ и BC₁ равен углу B₁AD₁. ТреугольникB₁AD₁ равносторонний и, значит, угол B₁AD₁ равен .

2-й способ.

Введем систему координат, считая началом координат точку A, осями координат – прямые AB, AD, AA₁.Вектор  имеет координаты (1, 0, 1). Вектор  имеет координаты (0, 1, 1). Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла  между векторами  и . Получим  и, значит, угол  равен . Следовательно, искомый угол между прямыми AB₁ и BC₁ равен .

Ответ: .

Пример 2.

В единичном кубе A…D₁ найдите угол между прямыми DA₁ и BD₁.

Решение.

1-й способ.

Рассмотрим ортогональную проекцию AD₁ прямой BD₁ на плоскость ADD₁. Прямые AD₁ и DA₁ перпендикулярны. Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что прямые DA₁ и BD₁ также перпендикулярны, т.е. искомый угол между прямыми DA₁ иBD₁ равен .

2-й способ.

Введем систему координат, считая началом координат точку A, осями координат – прямые AB, AD, AA₁.Вектор  имеет координаты (0, -1, 1). Вектор  имеет координаты (-1, 1, 1). Скалярное произведение этих векторов равно нулю и, значит, искомый угол между прямыми DA₁ и BD₁ равен .

Ответ: .

Угол между прямой и плоскостью

·                   Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

·                  

Пример 3.

В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AF и плоскостью BCC₁.

Решение.

Пусть O — центр нижнего основания призмы. Прямая BO параллельна AF. Так как плоскости ABC и BCC₁ перпендикулярны, то искомым углом будет угол OBC. Так как треугольник OBC равносторонний, то этот угол будет равен .

Ответ: .

Пример 4.

В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой CC₁ и плоскостью BDE₁.

Решение.

Так как прямые BB₁ и CC₁ параллельны, то искомый угол будет равен углу между прямой BB₁ и плоскостью BDE₁. Прямая BD, через которую проходит плоскость BDE₁, перпендикулярна плоскости ABB₁ и, значит, плоскость BDE₁ перпендикулярна плоскости ABB₁. Следовательно, искомый угол будет равен углу A₁BB₁, т.е. равен .

Ответ: .

Угол между двумя плоскостями

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Величина двугранного угла принадлежит промежутку .Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку .Построение линейного угла двугранного угла, образованного плоскостями  и : Строим два перпендикуляра  и  к прямой пересечения плоскостей; а его величина находится из прямоугольного треугольника или из некоторого треугольника с применением теоремы

косинусов:

Пример 5.

В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями AFF₁ и DEE₁.

Решение.

1-й способ. Так как плоскость FCC₁параллельна плоскости DEE₁, то искомый угол равен углу между плоскостями AFF₁ и FCC₁. Так как плоскости AFF₁ и FCC₁ перпендикулярны плоскости ABC, то соответствующим линейным углом будет угол AFC, который равен .

2-й способ.

Так как плоскость AFF₁ параллельна плоскости BEE₁, то искомый угол равен углу между плоскостями BEE₁ и DEE₁. Так как плоскостиBEE₁ и DEE₁ перпендикулярны плоскости ABC, то соответствующим линейным углом будет угол BED, который равен .

Ответ: .

Расстояние от точки до прямой

·                   Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.

·                   Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.

·                   Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Пример 6

В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой D₁F₁.

Решение.

Так как прямая D₁F₁ перпендикулярна плоскости AFF₁, то отрезок AF₁ будет искомым перпендикуляром, опущенным из точки A на прямуюD₁F₁. Его длина равна .

Ответ: .

Расстояние от точки до плоскости

·                   Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

·                   Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.

·                   Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

·                   Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.

·                   Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Пример 7.

В единичном кубе A…D₁ найдите расстояние от точки A до плоскости BDA₁.

Решение.

1-й способ.

Пусть O — середина отрезка BD. Прямая BD перпендикулярна плоскости AOA₁. Следовательно, плоскости BDA₁ и AOA₁перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки A на плоскость BDA₁, является высота AH прямоугольного треугольника AOA₁, в котором AA₁ = 1,Для площади S этого треугольника имеют место равенства  Откуда находим AH = 

2-й способ.

Пусть O — середина отрезка BD. Прямая BD перпендикулярна плоскости AOA₁. Следовательно, плоскости BDA₁ и AOA₁перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки A на плоскость BDA₁, является высота AH прямоугольного треугольника AOA₁, в котором AA₁ = 1,Треугольники AOA₁ и HOA подобны по трем углам. Следовательно, AA₁ : OA₁ = AH : AO. Откуда находим AH =

3-й способ.

Пусть O — середина отрезка BD. Прямая BD перпендикулярна плоскости AOA₁. Следовательно, плоскости BDA₁ и AOA₁перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки A на плоскость BDA₁, является высота AH прямоугольного треугольника AOA₁, в котором AA₁ = 1,Откуда  и, следовательно, Ответ: 

Элементы комбинаторики

Справочные сведения

    Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения.

Правило суммы: пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A₁, A₂, …, A_n , содержащих m₁, m₂, …, m_nэлементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно m₁ + m₂ + … + m_n.

Пример. Если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу с первой или второй полки, можно X+Yспособами.

Пример. Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?

Решение: По правилу суммы получаем 17+13=30 вариантов.

Кортеж - конечная последовательность (допускающая повторения) элементов какого-нибудь множества.

Правило произведения: пусть имеется n множеств A₁, A₂, …, A_n содержащих m₁, m₂, …, m_n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, т. е. построить кортеж (а₁, а₂, ..., а_n), где а_i Î А _i1 (i = 1, 2, …, n), равно m₁ · m₂ · … · m_n.

Пример. Если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.

Пример. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

Решение. Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3=36 вариантов переплета.

Выборки. Если из множества предметов выбирается некоторое подмножество, то его называют выборкой. Выборки бываютупорядоченные и неупорядоченные.

В упорядоченной выборке существенен порядок, в котором следуют ее элементы, другими словами, изменив порядок элементов, мы получим другую выборку.

Пример. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить следующие трехзначные числа 123, 431, 524, ...и т.д. Это упорядоченные трехэлементные выборки, так как 123 и 132 - разные числа.

Пример. Из 20 учащихся класса выбрать двух дежурных. Любая пара дежурных представляет собой неупорядоченную двухэлементную выборку, так как порядок их выбора не важен.

Размещения

Размещениями из n элементов по m элементов (m < n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по mэлементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Число размещений без повторений из n по m (n различных элементов) вычисляется по формуле:

(3.1)

Размещениями с повторениями из n элементов по m называются упорядоченные m-элементные выборки, в которых элементы могут повторяться.

Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:

(3.2)

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буквы могут повторяться?

Решение.

1.                            Получатся следующие наборы: БА, БР, АР, АБ, РБ, РА.

По формуле (3.1) получаем:  наборов. 

2.                            Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АБ, АР, РР, РБ, РА.

По формуле (3.2) получаем:  наборов.

Пример. Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния: "красный", "желтый", "зеленый"?

Решение. Выпишем несколько комбинаций: КККЖЗЗ, ЗЗЗЗЗЗ, КЖЗКЖЗ... Мы видим, что состав выборки меняется и порядок элементов существенен (ведь если, например, в выборке КЖЗКЖЗ поменять местами К и Ж, ситуация на дороге будет другой). Поэтому применяем формулу (3.2) и вычисляем число размещений с повторениями из 3 по 6, получаем  комбинаций.

Перестановки

Перестановками из n элементов называются размещения из этих n элементов по n (Перестановки - частный случай размещений).

Число перестановок без повторений (n различных элементов) вычисляется по формуле:

(3.3)

Число перестановок c повторениями (k различных элементов, где элементы могут повторяться m₁, m₂, …, m_k раз и m₁ + m₂ +… + m_k = n, где n - общее количество элементов) вычисляется по формуле:

(3.4)

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие перестановки из этих букв можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буква А повторяется два раза?

Решение.

1.                            Получатся наборы: БАР, БРА, АРБ, АБР, РАБ, РБА.

По формуле (3.3) получаем:  наборов. 

2.                            Получатся наборы: БАРА, БРАА, БААР, ААРБ, ААБР, АБАР, АРАБ, АРБА, АБРА, РАБА, РААБ, РБАА.

По формуле (3.4) получаем:  наборов.

Пример. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы цифры в числе не повторялись?

Решение. Из данных шести цифр можно составить Р₆ = 6! = 720 перестановок. Но числа, начинающиеся на нуль, не являются шестизначными. Такие числа отличаются друг от друга перестановкой пяти остальных цифр, значит, их будет Р₅ = 120. Поэтому шестизначных чисел будет 720 - 120 = 600 чисел.

Пример. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?

Решение. Первая линия шахматной доски представляет собой 8 клеток, на которых и надо расположить эти 8 фигур. Различные варианты расположения будут отличаться только порядком фигур, значит, это будут перестановки с повторениями Р₈ (2,2,2).

По формуле (3.4) получаем:  способов.

Сочетания

Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по mэлементов, которые различаются хотя бы одним элементом (отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов).

Число сочетаний без повторений (n различных элементов, взятых по m) вычисляется по формуле:

(3.5)

Число сочетаний c повторениями (n элементов, взятых по m, где элементы в наборе могут повторяться) вычисляется по формуле:

(3.6)

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие сочетания из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) можно брать по два одинаковые буквы.

Решение.

1.                            Получатся наборы: БА (БА и АБ - один и тот же набор), АР и РБ

По формуле (3.5) получаем: наборов. 

2.                            Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АР, РР.

По формуле (3.6) получаем: наборов.

Пример. Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Надо выбрать двух человек из 20. Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть Иванов-Петров или Петров-Иванов - это одна и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.

По формуле (3.5) получаем:  способов.

Пример. В хлебном отделе имеются булки белого и черного хлеба. Сколькими способами можно купить 6 булок хлеба?

Решение. Обозначая булки белого и черного хлеба буквами Б и Ч, составим несколько выборок: ББББББ, ББЧЧББ, ЧЧЧЧЧБ, ... Состав меняется от выборки к выборке, порядок элементов несущественен, значит это - сочетания с повторениями из 2 по 6. По формуле (3.6) получаем  способов.

Cделаем проверку и выпишем все варианты покупки: ББББББ, БББББЧ, ББББЧЧ, БББЧЧЧ, ББЧЧЧЧ, БЧЧЧЧЧ, ЧЧЧЧЧЧ. Их действительно 7.

Схема определения вида комбинации:

Рис. 1.

Координаты и векторы

Справочные сведения

    Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором . У такого вектора конец и начало совпадают.

!!! Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
 и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
 В частности, наш вектор  можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .

Длиной или модулем ненулевого вектора  называется длина отрезка . Длина нулевого вектора  равна нулю.

Длина вектора обозначается знаком модуля: , 

Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки:

Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор.

Итак, свободный вектор – это множество одинаковых  направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.

Действия с векторами. Коллинеарность векторов

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора  и :

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор  от конца вектора :

Суммой векторов  и  является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов  представляет собой вектор результирующего пути  с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор  отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Умножение вектора на число

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация:  (векторы сонаправлены) или  (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора  на число  является такой вектор , длина которого равна , причём векторы   и  сонаправлены при  и противоположно направлены при .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель  отрицательный,  то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах  или , то длина вектора уменьшается. Так, длина вектора  в два раза меньше длины вектора . Если множитель  по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в  раз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например, . Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно  коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор.

4) Векторы  сонаправлены. Векторы  и  также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы  и :

Векторы  и  ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны.

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: .

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости.

Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: . Координатные векторы нельзя переставлять местами.

Любой вектор  плоскости единственным образом выражается в виде:
, где  – числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение  называется разложением вектора  по базису .

Координаты векторов переставлять нельзя. Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору , строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору . Действительно,  и  – это ведь два разных вектора.

Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости  и , то вектор  имеет следующие координаты:

Если даны две точки пространства  и , то вектор  имеет следующие координаты:

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора .

Пример 1

Даны две точки плоскости  и . Найти координаты вектора 

Решение: по соответствующей формуле:

Как вариант, можно было использовать следующую запись: 

Или

Ответ: 

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.

Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости  и , то длину отрезка  можно вычислить по формуле 

Если даны две точки пространства  и , то длину отрезка  можно вычислить по формуле 

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты:  и , но более стандартен первый вариант

Пример 2

Даны точки  и . Найти длину отрезка .

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ: 

Как найти длину вектора?

Если дан вектор плоскости , то его длина вычисляется по формуле .

Если дан вектор пространства , то его длина вычисляется по формуле .

Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора.

Пример 3

Даны точки  и . Найти длину вектора .

Решение: Сначала найдём вектор :

По формуле  вычислим длину вектора:

Ответ: 

Основы тригонометрии

Справочные сведения

Основное тригонометрическое тождество.

Следствие:

Пример 1: Найдите значения cos α, tg α, ctg α, если sin α = .

Ответ: Так как , то .

Используя соотношения  и  имеем:  и .

Тригонометрические формулы.

Основные формулы приведения

Пример 2: Найти значение cos 315°.

cos 315° = cos (270° + 45°) =  . По таблице находим, что .

Следовательно, получаем, что .

Пример 3: Привести к тригонометрической функции острого угла

sin 162° = sin (90° + 72°) =  sin ( + 72°) =  cos 72°.

cos 830° =  cos (2 · 360° + 110°) = cos l10° = cos (90° + 20°)= cos ( + 20°) = – sin 20°.

ctg 2281° =ctg (6 · 360° + 121°)= ctg l21° = ctg (90° + 31°) = ctg ( + 31°) = – tg 31°.

Формулы сложения	Примеры
Формулы двойного угла
Формулы понижения степени
Формулы суммы и разности синусов и косинусов
Произведения тригонометрических функций

Тригонометрические функции половинного аргумента.

Рассмотрим следующие тождества: , .

Если из первого тождества вычтем второе, то получим .

Откуда .

Если сложить тождества, то получим . Откуда .

Если разделим почленно  на , то получим .

Пример 4: Найти , если

Ответ:

Пример 5: Упростите выражение

Ответ: Используя формулу, получим . Для преобразования используем формулу двойного угла . Тогда

Тригонометрические неравенства.

Тригонометрическим неравенством называется неравенство, в котором неизвестное входит под знак тригонометрических функций непосредственно или в виде линейной функции неизвестного, причем над тригонометрическими функциями выполняются только алгебраические действия.

К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся:

1. Неравенство sin x > а.

Если а < - 1, то решением неравенства будет любое действительное число.

Если -1 < а < 1, то решениями неравенства будут  arcsin а + 2kπ < х < π – arcsin a + 2kπ,

Если а > 1, то неравенство решений не имеет.

2. Неравенство sin х < а.

Если а < - 1, то неравенство решений не имеет.

Если -1 < а < 1, то решениями неравенства будут π -arcsin а + 2nπ < х <2π + arcsin а + 2nπ, .

Если а > 1, то неравенство верно при всех действительных значениях х.

3.Неравенство cos x > а.

Если а < - 1, то неравенство верно при всех действительных значениях х.

Если -1 < а < 1, то решениями неравенства будут - arccos а + 2kπ < x < arccos a + 2kπ, .

Если a > 1, то неравенство решений не имеет.

4. Неравенство cos x < а.

Если а < - 1, то неравенство решений не имеет.

Если -1 < а < 1, то решениями неравенства будут arccos а + 2nπ < х < 2π - arccos a + 2nπ, .

Если а > 1, то неравенство верно при всех значениях х.

5. Неравенство tg х > а.

Это неравенство имеет решения при любых действительных значениях а, причем

.

6. Неравенство tg х < а. Это неравенство имеет решения при любых действительных значениях а, причем .

           7. Неравенство ctg х > а. Это неравенство имеет решения при любых действительных значениях а, причем

           8. Неравенство ctg x < а. Это неравенство имеет решения при любых действительных значениях а, причем

Функции, их свойства и графики. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции

Справочные сведения

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Постоянная функция

Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , гдеC – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С. Постоянную функцию также называют константой.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C). Для примера покажем графики постоянных функций y=5,y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.

Свойства постоянной функции.

·                   Область определения: все множество действительных чисел.

·                   Постоянная функция является четной.

·                   Область значений: множество, состоящее из единственного числа С.

·                   Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).

·                   Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.

·                   Асимптот нет.

·                   Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.

Корень n-ой степени, n - четное число

Начнем с функции корень n-ой степени при четных значениях показателя корня n.

Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций  и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.

Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.

Свойства функции корень n-ой степени при четных n

·                   Область определения: множество всех неотрицательных действительных чисел .

·                   При x=0 функция  принимает значение, равное нулю.

·                   Эта функция общего вида (не является четной или нечетной).

·                   Область значений функции: .

·                   Функция  при четных показателях корня возрастает на всей области определения.

·                   Эта функция имеет выпуклость, направленную вверх, на всей области определения, точек перегиба нет.

·                   Асимптот нет.

·                   График функции корень n-ой степени при четных n проходит через точки (0,0) и(1,1).

Корень n-ой степени, n - нечетное число

Функция корень n-ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций  и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.

При других нечетных значениях показателя корня графики функции  будут иметь схожий вид.

Свойства функции корень n-ой степени при нечетных n

·                   Область определения: множество всех действительных чисел.

·                   Эта функция нечетная.

·                   Область значений функции: множество всех действительных чисел.

·                   Функция  при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения.

·                   Эта функция вогнутая на промежутке  и выпуклая на промежутке , точка с координатами (0,0) – точка перегиба.

·                   Асимптот нет.

·                   График функции корень n-ой степени при нечетных n проходит через точки (-1,-1),(0,0) и (1,1).

Степенная функция

Степенная функция задается формулой вида .

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции  при нечетных положительных значениях показателя a, далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.

Степенная функция с нечетным положительным показателем

Рассмотрим степенную функцию  при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,….

На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций  – черная линия,  – синяя линия,  – красная линия,  – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x.

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем

·                   Область определения: .

·                   Область значений: .

·                   Функция нечетная, так как .

·                   Функция возрастает при .

·                   Функция выпуклая при  и вогнутая при  (кроме линейной функции).

·                   Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).

·                   Асимптот нет.

·                   Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

 

 

Степенная функция с четным положительным показателем

Рассмотрим степенную функцию  с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,….

В качестве примера приведем графики степенных функций  – черная линия,  – синяя линия,  – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола.

Свойства степенной функции с четным положительным показателем

·                   Область определения: .

·                   Область значений: .

·                   Функция четная, так как .

·                   Функция возрастает при , убывает при .

·                   Функция вогнутая при .

·                   Точек перегиба нет.

·                   Асимптот нет.

·                   Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

 

Степенная функция с нечетным отрицательным показателем

Посмотрите на графики степенной функции  при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,….

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций  – черная линия,  – синяя линия,  – красная линия,  – зеленая линия. При а=-1имеем обратную пропорциональность, графиком которой является гипербола.

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем

·                   Область определения: .
При x=0 имеем разрыв второго рода, так как  приа=-1,-3,-5,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

·                   Область значений: .

·                   Функция нечетная, так как .

·                   Функция убывает при .

·                   Функция выпуклая при  и вогнутая при .

·                   Точек перегиба нет.

·                   Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, так как

при а=-1,-3,-5,….

·                   Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

 

Степенная функция с четным отрицательным показателем

Перейдем к степенной функции  при а=-2,-4,-6,….

На рисунке изображены графики степенных функций  – черная линия,  – синяя линия,  – красная линия.

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем

·                   Область определения: .
При x=0 имеем разрыв второго рода, так как  приа=-2,-4,-6,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

·                   Область значений: .

·                   Функция четная, так как .

·                   Функция возрастает при , убывает при .

·                   Функция вогнутая при .

·                   Точек перегиба нет.

·                   Горизонтальной асимптотой является прямая y=0, так как

при а=-2,-4,-6,….

·                   Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы

Обратите внимание! Если a - положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество . Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Рассмотрим степенную функцию  с рациональным или иррациональным показателем a, причем .

Приведем графики степенных функций  при а=11/12 (черная линия), а=5/7 (красная линия),  (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).

При других значениях показателя степени a,  графики функции  будут иметь схожий вид.

Свойства степенной функции при .

·                   Область определения: .

·                   Область значений: .

·                   Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

·                   Функция возрастает при .

·                   Функция выпуклая при .

·                   Точек перегиба нет.

·                   Асимптот нет.

·                   Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

 

Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы

Рассмотрим степенную функцию  с нецелым рациональным или иррациональным показателем a, причем .

Приведем графики степенных функций, заданных формулами  (черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).

При других значениях показателя степени a,  графики функции  будут иметь схожий вид.

Свойства степенной функции при .

·                   Область определения: .

·                   Область значений: .

·                   Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

·                   Функция возрастает при .

·                   Функция вогнутая при , если ; при , если .

·                   Точек перегиба нет.

·                   Асимптот нет.

·                   Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

 

Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.

Обратите внимание! Если a - отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество  соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Переходим к степенной функции , кгода .

Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при , приведем примеры графиков функций  (черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).

Свойства степенной функции с показателем a, .

·                   Область определения: .
 при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.

·                   Область значений: .

·                   Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

·                   Функция убывает при .

·                   Функция вогнутая при .

·                   Точек перегиба нет.

·                   Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.

·                   Функция проходит через точку (1;1).

 

Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.

Приведем примеры графиков степенных функций  при , они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.

Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы

·                   Область определения: .
 при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.

·                   Область значений: .

·                   Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

·                   Функция убывает при .

·                   Функция вогнутая при .

·                   Точек перегиба нет.

·                   Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.

·                   Функция проходит через точку (1;1).

При а=0 и  имеем функцию  - это прямая из которой исключена точка (0;1)(выражению 0⁰ условились не придавать никакого значения).

 

Показательная функция

Одной из основных элементарных функций является показательная функция.

График показательной функции , где  и  принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.

Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, .

Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала .

Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы

·                   Областью определения показательной функции является все множество действительнйх чисел: .

·                   Область значений: .

·                   Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.

·                   Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения.

·                   Функция вогнутая при .

·                   Точек перегиба нет.

·                   Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности.

·                   Функция проходит через точку (0;1).

Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, .

В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций  – синяя линия и – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.

Свойства показательной функции с основанием большим единицы

·                   Область определения показательной функции: .

·                   Область значений: .

·                   Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

·                   Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при .

·                   Функция вогнутая при .

·                   Точек перегиба нет.

·                   Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к минус бесконечности.

·                   Функция проходит через точку (0;1).

 

 

Логарифмическая функция

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при .

График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.

Начнем со случая, когда .

Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6– красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы

·                   Область определения логарифмической функции: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.

·                   Область значений: .

·                   Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

·                   Логарифмическая функция убывает на всей области определения.

·                   Функция вогнутая при .

·                   Точек перегиба нет.

·                   Горизонтальных асимптот нет.

·                   Функция проходит через точку (1;0).

Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы ().

Покажем графики логарифмических функций  – синяя линия,  – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы

·                   Область определения: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.

·                   Областю значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал .

·                   Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

·                   Функция возрастает при .

·                   Функция выпуклая при .

·                   Точек перегиба нет.

·                   Горизонтальных асимптот нет.

·                   Функция проходит через точку (1;0).

 

Тригонометрические функции, их свойства и графики

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода , где Т - период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по-порядку.

Функция синус y = sin(x).

Изобразим график функции синус, его называют "синусоида".

Свойства функции синус y = sinx.

·                   Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при .

·                   Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: .

·                   Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

·                   Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть .

·                   Функция синус - нечетная, так как .

·                   Функция убывает при ,

возрастает при .

·                   Функция синус имеет локальные максимумы в точках ,
локальные минимумы в точках .

·                   Функция y = sinx вогнутая при ,
выпуклая при .

·                   Координаты точек перегиба .

·                   Асимптот нет.

Функция косинус y = cos(x).

График функции косинус (его называют "косинусоида") имеет вид:

Свойства

 функции косинус y = cosx.

·                   Область определения функции косинус: .

·                   Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи: .

·                   Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

·                   Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: .

·                   Функция косинус - четная, так как .

·                   Функция убывает при ,
возрастает при .

·                   Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках ,
локальные минимумы в точках .

·                   Функция вогнутая при ,
выпуклая при .

·                   Координаты точек перегиба .

·                   Асимптот нет.

Функция тангенс y = tg(x).

График функции тангенс (его называют "тангенсоида") имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx.

·                   Область определения функции тангенс: , где , Z – множество целых чисел.
Поведение функции y = tgx на границе области определения 
Следовательно, прямые , где , являются вертикальными асимптотами.

·                   Наименьший положительный период функции тангенс .

·                   Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

·                   Область значений функции y = tgx: .

·                   Функция тангенс - нечетная, так как .

·                   Функция возрастает при .

·                   Функция вогнутая при ,

выпуклая при .

·                   Координаты точек перегиба .

·                   Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Функция котангенс y = ctg(x).

Изобразим график функции котангенс (его называют "котангенсоида"):

Свойства функции котангенс y = ctgx.

·                   Область определения функции котангенс: , где , Z – множество целых чисел.
Поведение на границе области определения 
Следовательно, прямые , где  являются вертикальными асимптотами.

·                   Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи: .

·                   Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

·                   Область значений функции котангенс: .

·                   Функция нечетная, так как .

·                   Функция y = ctgx убывает при .

·                   Функция котангенс вогнутая при ,
выпуклая при .

·                   Координаты точек перегиба .

·                   Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

 

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки "арк" обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Функция арксинус y = arcsin(x)

Изобразим график функции арксинус:

Свойства функции арксинус y = arcsin(x).

·                   Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно: .

·                   Область значений функции y = arcsin(x): .

·                   Функция арксинус - нечетная, так как .

·                   Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при .

·                   Функция вогнутая при , выпуклая при .

·                   Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.

·                   Асимптот нет.

Функция арккосинус y = arccos(x).

График функции арккосинус имеет вид:

Свойства функции арккосинус y = arccos(x).

·                   Область определения функции арккосинус: .

·                   Область значений функции y = arccos(x): .

·                   Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.

·                   Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при .

·                   Функция вогнутая при , выпуклая при .

·                   Точка перегиба .

·                   Асимптот нет.

 

Функция арктангенс y = arctg(x).

График функции арктангенс имеет вид:

Свойства функции арктангенс y = arctg(x).

·                   Область определения функции y = arctg(x): .

·                   Область значений функции арктангенс: .

·                   Функция арктангенс - нечетная, так как .

·                   Функция возрастает на всей области определения, то есть, при .

·                   Функция арктангенс вогнутая при , выпуклая при .

·                   Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.

·                   Горизонтальными асимптотами являются прямые  при  и  при . На чертеже они показаны зеленым цветом.

Функция арккотангенс y = arcctg(x).

Изобразим график функции арккотангенс:

Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x).

·                   Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел: .

·                   Область значений функции y = arcctg(x): .

·                   Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.

·                   Функция убывает на всей области определения, то есть, при .

·                   Функция вогнутая при , выпуклая при .

·                   Точка перегиба .

·                   Горизонтальными асимптотами являются прямые  при  (на чертеже показана зеленым цветом) и y = 0 при .

Многогранники и круглые тела

Справочные сведения

Круглыми телами (или телами вращения) называются тела, получающиеся вращением плоской фигуры вокруг прямой, лежащей в той же плоскости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Цилиндр — это тело, получающееся при вращении прямоугольника вокруг одной из своих сторон.

Элементы цилиндра:

Сечения цилиндра:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Конус — это тело, получающееся при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.

Элементы конуса:

 

Сечения конуса:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Шар — это тело, получающееся при вращении полукруга вокруг своего диаметра.

Объемы круглых тел:

1.                            Объем цилиндра равен πR2hπR2h, где RR — радиус основания, а hh — высота.

2.                            Объем конуса равен πR2h3πR2h3, где RR — радиус основания, а hh — высота.

3.                            Объем шара равен 4πR334πR33, где RR — радиус шара.

Начала математического анализа

Пределы

1.Бесконечно малые функции:

Бесконечно большие функции:

Если , то;

Если , то

2.Первый замечательный предел:

; ;

3. Второй замечательный предел:

4. Эквивалентные бесконечно малые:

Производная

1. Основные правила дифференцирования

Функции нескольких переменных

1. Полный дифференциал:

2. Производная по направлению :

где .

Если,то в точке экстремум существует:

при -min;

при -max;

если ,то в точке экстремум не существует;

если,то необходимы дополнительные исследования.

5. Приближенные вычисления:

Интеграл и его применение

 

Справочные сведения

Применение интеграла

В физике.

Работа силы (A=FScosa, cosa ¹ 1)

Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно

d(mu2/2) = Fds

приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds – перемещение частицы за время dt. Величина

dA=Fds

называется работой, совершаемой силой F.

Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f(x) (f–непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S1(a) в S2(b). Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков, одинаковой длины Dx = (b – a)/n. Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f(x) –непрерывна, то при малом [a;x1] работа силы на этом отрезке равна f(a)(x1–a). Аналогично на втором отрезке f(x1)(x2–x1), на n-ом отрезке - f(xn–1)(b–xn–1). Следовательно работа на [a;b] равна:

А » An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn–1)Dx= ((b–a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn–1))

Приблизительное равенство переходит в точное при n®¥

b

А = lim [(b–a)/n] ( f(a)+...+f(xn–1))= ò f(x)dx (по определению)

n®¥ a

Пример.

Пусть пружина жесткости С и длины l сжата на половину свой длины. Определить величину потенциальной энергии Ер равна работе A, совершаемой силой –F(s) упругость пружины при её сжатии, то

l/2

Eп = A= – ò (–F(s)) dx

0

Из курса механики известно, что F(s)= –Cs.

Отсюда находим

l/2 l/2

Еп= – ò (–Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4

0 0

Ответ: Cl2/8.

Координаты центра масс

Центр масс – точка через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.

Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x;y |a£x£b; 0£y£f(x)} и функция y=f(x) непрерывна на [a;b], а площадь этойкриволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:

b b

x0 = (1/S) ò x f(x) dx; y0 = (1/2S) ò f 2(x) dx;

a a

Примеры.

Центр масс.

Найти центр масс однородного полукруга радиуса R.

Изобразим полукруг в системе координат OXY (рис. 9).

Рис. 9

Из соображений симметрии и однородности замечаем, что абсцисса точки M

xm=0

Функция, описывающая полукруг имеет вид:

y = Ö(R2–x2)

Пусть S = pR2/2 - площадь полукруга, тогда

R R

y = (1/2S) òÖ(R2–x2)dx = (1/pR2) òÖ(R2–x2)dx = –R –R

R = (1/pR2)(R2x–x3/3)|= 4R/3p

–R

Ответ: M(0; 4R/3p )

Путь, пройденный материальной точкой

Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью u=u(t) и за время T= t2–t1 (t2>t1) прошла путь S, то

t2

S=ò u(t)dt.

t1

В геометрии

Объём - количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1ди, 1м и т.д.).

Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле - объём тела.

Аксиомы объёма:

Объём - это неотрицательная величина.

Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих.

Найдем формулу для вычисления объёма (рис. 10):

выберем ось ОХ по направлению расположения этого тела;

определим границы расположения тела относительно ОХ;

введем вспомогательную функцию S(x) задающую следующее соответствие: каждому x из отрезка [a;b] поставим в соответствие площадь сечения данной фигуры плоскостью, проходящей через заданную точку x перпендикулярно оси ОХ.

разобьем отрезок [a;b] на n равных частей и через каждую точку разбиения проведём плоскость перпендикулярную оси ОХ, при этом наше тело разобьется на части. По аксиоме

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx

n®¥

Dx®0, а Sk®Sk+1, а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра Vц=SоснH.

Рис. 10

Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения на шаг разбиения, т.е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n®¥ называется интегралом a

ò S(x)dx

b

a

V= ò S(x)dx, где S(x) – сечение плоскости, проходящей через

b выбранную точку перпендикулярно оси ОХ.

Для нахождения объема надо:

1). Выбрать удобным способом ось ОХ.

2). Определить границы расположения этого тела относительно оси.

3). Построить сечение данного тела плоскостью перпендикулярно оси ОХ и проходящей через соответственную точку.

4). Выразить через известные величины функцию, выражающую площадь данного сечения.

5). Составить интеграл.

6). Вычислив интеграл, найти объем.

Объем фигур вращения

Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.

Функция S(x) у фигуры вращения есть круг.

Sсеч = pr2

Sсеч(x)=p f 2(x)

b

V= ò f 2(x)

a

Длина дуги плоской кривой

Пусть на отрезке [a;b] функция y = f(x) имеет непрерывную производную y’ = f ’(x). В этом случае длину дуги l “куска” графика функции y = f(x), xÎ[a;b] можно найти по формуле

b

l = ò Ö(1+f’(x)2)dx

a

Теория вероятностей

Справочные сведения

    Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать результат отличает случайное явление от детерминированного.

Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях. Случайность и хаос — не одно и то же. Оказывается, что и в случайных экспериментах наблюдаются некоторые закономерности, например свойство «статистической устойчивости»: если  — некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля  экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов , приближаясь к некоторому числу . Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию  произойти.

Пространство элементарных исходов.

Определение 1. Пространством элементарных исходов  («омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой  («омега»).

Определение 2. Событиями мы будем называть подмножества множества . Говорят, что в результате эксперимента произошло событие , если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество .

Замечание 2. Вообще говоря, можно назвать событиями не обязательно любые подмножества множества , а лишь элементы некоторого набора подмножеств. О смысле такого ограничения мы поговорим позднее.

Пример 1. Один раз подбрасывается кубик — игральная кость. Рассмотрим пространство элементарных исходов , элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.

Примеры событий:  — выпало одно или два очка;  — выпало нечётное число очков.

Пример 2. Два раза подбрасывается игральная кость. Или, что то же самое, один раз подбрасываются две игральные кости. Будем считать пространством элементарных исходов множество пар чисел , где  (сответственно, ) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании: .

Примеры событий: 
 — при первом подбрасывании выпало одно очко; 
 — при втором подбрасывании выпало одно очко; 
 — на костях выпало одинаковое число очков; 
 — на обеих костях выпало нечётное число очков.

Пример 3. На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно считать координату центра монеты. Пространство элементарных исходов — множество точек стола. Если нам не безразличен угол поворота монеты, то можно добавить к множеству положений центра величину этого угла. В этом случае  есть множество пар , где  — точка стола и  — угол поворота. Число элементарных исходов такого эксперимента несчётно.

Пример 4. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом. Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного, но счётного числа исходов: , где  р  означает выпадение решки, а  г  — герба при одном подбрасывании.

Определение 3.

1. Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, т.е. единственное событие, включающее все элементарные исходы — событие .

2. Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, т.е. событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» ). Заметим, что всегда .

Операции над событиями

В теории вероятностей существуют ровно те же операции над множествами, что и в теории множеств.

Определение 4.

1. Объединением  событий  и  называется событие, состоящее в том, что произошло либо , либо , либо оба события одновременно. На языке теории множеств  есть множество, содержащее как элементарные исходы из множества , так и элементарные исходы из множества .

2. Пересечением  событий  и  называется событие, состоящее в том, что произошли оба события  и  одновременно. На языке теории множеств  есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в пересечение множеств  и .

3. Противоположным (или дополнительным) к событию  называется событие , состоящее в том, что событие  в результате эксперимента не произошло. Т.е. множество  состоит из элементарных исходов, не входящих в .

4. Дополнением  события  до  называется событие, состоящее в том, что произошло событие , но не произошло . Т.е. множество  содержит элементарные исходы, входящие в множество , но не входящие в .

Определение 5.

1. События  и  называют несовместными, если .

2. События  называют попарно несовместными, если для любых , где , события  и  несовместны.

3. Говорят, что событие  влечёт событие , и пишут , если всегда, как только происходит событие , происходит и событие . На языке теории множеств это означает, что любой элементарный исход, входящий в множество , одновременно входит и в множество , т.е.  содержится в .

Вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов.

Пространство элементарных исходов назовём дискретным, если оно конечно или счётно:

Так, эксперименты из примеров 1, 2 и 4 (но не 3) приводят к дискретным пространствам элементарных исходов.

Замечание 3.

Множество счётно, если существует взаимно-однозначное соответствие между этим множеством и множеством всех натуральных чисел. Счётными множествами являются, например, множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество чётных чисел и т.д. Множество конечно,если оно состоит из конечного числа элементов.

Чтобы определить вероятность любого события на дискретном пространстве элементарных исходов, достаточно присвоить вероятность каждому элементарному исходу. Тогда вероятность любого события определяется как сумма вероятностей входящих в него элементарных исходов.

Определение 6. Поставим каждому элементарному исходу  в соответствие число  так, что

Назовём число  вероятностью элементарного исхода . Вероятностью события  назовём число

 ,

равное сумме вероятностей элементарных исходов, входящих в множество . В случае  положим .

Замечание 4. Позднее, познакомившись с аксиоматикой теории вероятностей, мы зададим вероятности событий непосредственно, а не через вероятности элементарных исходов. Тем более, что сложением вероятностей элементарных исходов можно получить лишь вероятность события, состоящего не более чем из счётного числа элементарных исходов (иначе само понятие суммирования не определено). Но на дискретном пространстве элементарных исходов определить вероятности событий так, как это сделано в определении 6, всегда возможно.

Перечислим очевидные в случае дискретного пространства свойства вероятности, которые мы скоро докажем сразу в общем случае.

1. 

 ;  ;  ;

2.  

Если  и  несовместны, то ;

3.  

В общем случае ;

4.  

Если , то .

Упражнение 8. Доказать свойства 1 — 4, пользуясь определением 6.

Рассмотрим частный случай такой вероятности — так называемую «классическую вероятность».

Классическое определение вероятности

Предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа  элементов:. Предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной . Эти соображения не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в эксперименте (симметричная монета, хорошо перемешанная колода карт, правильная кость).

Если событие  состоит из  элементарных исходов, то вероятность этого события равняется отношению :

где символом  обозначено число элементов конечного множества .

Определение 7. Говорят, что эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности, если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа  равновозможных исходов. В этом случае вероятность любого события  вычисляется по формуле

называемой классическим определением вероятности.

Формулу  читают так: «вероятность события  равна отношению числа исходов, благоприятствующихсобытию , к общему числу исходов». Полезно сравнить это определение с классической формулировкой Якоба Бернулли⁽¹⁾: «Вероятность есть степень достоверности и отличается от неё как часть от целого» (Ars Conjectandi, 1713 г.)

Мы видим теперь, что подсчёт вероятности в классической схеме сводится к подсчёту общего числа «шансов» и числа шансов, благоприятствующих какому-либо событию. Число шансов считают с помощью формул комбинаторики.

Рассмотрим описанные в параграфе 1 урновые схемы. Три схемы: с возвращением и с учётом порядка, без возвращения и с учётом порядка, а также без возвращения и без учёта порядка, удовлетворяют классическому определению вероятности. Общее число элементарных исходов в этих схемах подсчитано в теоремах 4, 2, 3 и равно соответственно , , . Четвёртая же схема — схема выбора с возвращением и без учёта порядка — имеет заведомо неравновозможные исходы.

Пример 5. Рассмотрим выбор двух шариков из двух или, что то же самое, дважды подбросим монету. Если учитывать порядок, то исходов получится четыре, и все они равновозможны, т.е. имеют вероятность по 1/4:

Если порядок не учитывать, то следует объявить два последних исхода одним и тем же результатом эксперимента, и получить не четыре, а три исхода:

Первые два исхода имеют вероятности по 1/4, а последний — вероятность 1/4+1/4=1/2.

Упражнение 9. Посчитать число элементарных исходов в примере 2 (при подбрасывании двух игральных костей). Каким станет пространство элементарных исходов, если порядок костей не учитывать? Посчитать число элементарных исходов в таком пространстве (пользуясьтеоремой 5 или прямым подсчётом). Убедиться, что их ровно . Равновозможны ли эти исходы? Посчитать вероятность каждого.

Гипергеометрическое распределение.

Пример 6. Из урны, в которой  белых и  чёрных шаров, наудачу и без возвращения вынимают  шаров, . Термин «наудачу» означает, что появление любого набора из  шаров равновозможно. Найти вероятность того, что будет выбрано  белых и  чёрных шаров.

Решение. При  или  искомая вероятность равна нулю, так как соответствующее событие невозможно. Пусть  и .

Результатом эксперимента является набор из  шаров. Можно не учитывать или учитывать порядок следования шаров, вероятность не должна зависеть от способа подсчёта.

Выбор без учёта порядка. Общее число элементарных исходов есть число -элементных подмножеств множества, состоящего из элементов:  (по теореме 3).

Обозначим через  событие, вероятность которого требуется найти. Событию  благоприятствует появление любого набора, содержащего  белых шаров и  чёрных. Число благоприятных исходов равно произведению (по теореме 1) числа способов выбрать  белых шаров из  и числа способов выбрать  чёрных шаров из , т.е. . Вероятность события  равна

(1)

Выбор с учётом порядка. Общее число элементарных исходов есть число способов разместить  элементов на  местах: по теореме 2,

При подсчёте числа благоприятных исходов нужно учесть число способов выбрать  белых и  чёрных шаров и число способов расположить эти шары среди . Можно, скажем, посчитать число способов выбрать  мест среди  (равное ), затем число способов разместить на этих  местах белых шаров (равное ), и затем число способов разместить на оставшихся  местах  чёрных шаров (равное ). Перемножив эти числа, получим

В рассмотренной задаче мы сопоставили каждому набору из  белых и  чёрных шаров вероятность  получить этот набор при выборе  шаров из урны, содержащей  белых и  чёрных шаров.

Определение 8. Соответствие между числом  и вероятностью

(где  таково, что ,  и ) называется гипергеометрическим распределением.

Здесь мы в первый, но далеко не в последний раз встретились с термином «распределение» вероятностей. Это слово всегда обозначает некий способ разделить (распределить) общую единичную вероятность между какими-то точками или множествами на вещественной прямой.

В гипергеометрическом распределении единичная вероятность распределена между подходящими целыми числами  неравномерно. Каждому целому числу сопоставлена своя вероятность . На вещественной прямой можно единичную вероятность распределить по-разному. Этим одно распределение отличается от другого: тем, на каком множестве чисел «распределена» общая единичная вероятность, и тем, какие веса, или вероятности, присвоены отдельным точкам или частям этого множества.

Уравнения и неравенства

Справочные сведения

Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием.

Основные тождественные преобразования:

·      Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение ( 3x+ 2 ) ² = 15x+10можно заменить следующим равносильным: 9x² + 12x + 4 = 15x + 10

·      Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »: 9x² + 12x + 4 – 15x –10 = 0, 

            после чего получим: 9x² – 3x – 6 = 0 .

·       Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю. Уравнение x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1. Умножив обе его части на x– 3 , мы получим уравнение ( x – 1 )( x – 3 ) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3. Последнее значение не является корнем заданного уравнения x – 1 = 0. Это так называемый посторонний корень. И наоборот, деление может привести к потере корня. Так, если ( x– 1 )( x – 3 ) = 0 является исходным уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении обеих частей уравнения на 

x – 3 .

·      Можно возвести обе части уравнения в нечетную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечетной степени. Необходимо помнить, что: а) возведение в четную степень может привестик приобретению посторонних корней; б)неправильное извлечение корня четной степениможет привести к потере корней.

Равносильность уравнений и неравенств

Аналитическая запись задачи о нахождении значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны, называется уравнением. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются обычно неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, - решениями (корнями) уравнения.

Уравнение с одним неизвестным в общем случае записывается в виде  f₁(x) = f₂(x),

Неравенство с одним неизвестным в общем случае записывается в виде f₁(x) <  f₂(x) (f₁(x) > f₂(x), f₁(x) £ f₂(x), f₁(x) ³ f₂(x)), где f₁(x)  и  f₂(x)  - произвольные функции. Решением неравенства с одной           переменной называют множество значений переменной, которые обращают его в верное числовое неравенство.

Решить уравнение (неравенство) – значит, найти все его решения или доказать, что уравнение (неравенство) решений не имеет.

Областью определения уравнения (неравенства) называется множество всех таких значений переменной, при которых функции f₁(x)  и  f₂(x) определены. Иными словами область определения уравнения (неравенства) – это пересечение областей определения функций f₁(x) и f₂(x).

Два уравнения (неравенства) называются равносильными, если совпадают множества всех их решений или оба они не имеют решений.

Если для данной пары уравнений (неравенств) любое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго уравнения (неравенства), то второе уравнение (неравенство) называется следствием первого. Если заменить уравнение (неравенство) его следствием, то множество решений второго уравнения (неравенства) будет содержать все решения исходного, и помимо этого может содержать еще некоторые числа, называемые посторонними корнями исходного уравнения (неравенства)

При решении уравнений (неравенств) обычно применяются различные преобразования, в результате которых данное уравнение (неравенство) сводится к более простому (или к совокупности более простых). Поэтому важно знать какие из преобразований сводят данное уравнение (неравенство) к равносильному уравнению (неравенству), какие приводят к уравнению (неравенству) – следствию, а какие к потере корней.

Теорема1.1. Если к обеим частям уравнения f₁(x) = f₂(x) (неравенства f₁(x) <  f₂(x))прибавить одно и тоже выражение g(x), которое определено при всех значениях переменной из области определения уравнения (неравенства), то получится уравнение f₁(x) + g(x)= f₂(x)+ g(x) (неравенство f₁(x)+ g(x) <  f₂(x)+ g(x)), равносильное данному.

Пример 1. 

Уравнение 3х²+2х-5=7х-1   равносильно уравнению   3х²+2х-5+(-7х+1)=7х-1+(-7х+1).

Уравнение х²=1 не равносильно уравнению х²+=1+. Нарушение равносильности произошло из за того, что выражение g(x)= определено не при всех х из области определения уравнения х²=1.

Теорема1.2. Если обе части уравнения f₁(x) = f₂(x) (неравенства f₁(x) <  f₂(x)) умножить или разделить на одно и тоже выражение g(x), которое определено при всех значениях переменной из области определения данного уравнения (неравенства) и нигде в данной области определения не обращается в нуль, то получится уравнение f₁(x)× g(x)= f₂(x)× g(x) (f₁(x)¤ g(x)= f₂(x)¤ g(x)) равносильное данному. В случае неравенства, если g(x)> 0 при всех х из области определения неравенства, получим неравенство f₁(x)× g(x)<  f₂(x)× g(x) ( f₁(x) ¤ g(x)<  f₂(x)¤ g(x)) равносильное данному; если g(x)< 0  при всех х из области определения неравенства, получим неравенство f₁(x)× g(x)>  f₂(x)× g(x)

 ( f₁(x) ¤ g(x)>  f₂(x)¤ g(x)) равносильное данному.

Теорема 1.3. Если обе части уравнения f₁(x) = f₂(x), где f₁(x)× f₂(x)³ 0 (неравенства f₁(x) <  f₂(x), где f₁(x)³ 0, f₂(x)³ 0), при всех значениях переменной из области определения уравнения (неравенства), возвести в одну и ту же натуральную степень n , то получится уравнение (f₁(x))ⁿ = (f₂(x))ⁿ (неравенство (f₁(x))ⁿ <  (f₂(x))ⁿ) равносильное данному.

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком  модуля.

Напомним определение модуля действительного числа а:

Модулем числа а называется само это число, если оно неотрицательное и противоположное ему число, если а отрицательное, т.е. |а| =

           При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применяются чаще всего следующие методы:

-                                                                       раскрытие модуля по определению;

-                                                                       возведение обеих частей уравнения в квадрат;

-                                                                       метод разбиения на промежутки.

Рассмотрим применение этих методов в решении конкретных уравнений, а затем сформулируем общие рекомендации.

Пример 2.1. Решить уравнение       |2х-3| = 5.

Решение.  1-ый способ. Используя определение модуля, получаем совокупность двух уравнений:  2х-3 = 5,  2х-3 = -5, решая которую получим  х₁= 4, х₂= -1.

2-ой способ. Обе части первоначального уравнения неотрицательны, возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим уравнение равносильное данному (теорема 1.3): |2х-3|² = 25. Учитывая, что квадрат модуля выражения совпадает с квадратом самого выражения, получим равносильное уравнение, уже не содержащее знак модуля: (2х+3)² = 25.Решая это квадратное уравнение, получим: х₁= 4,  х₂= -1.

Пример 2.2.  Решить уравнение   |2х-3| = х+1.

Решение. Это уравнение, так же как и первое может быть решено двумя способами.

1-ый способ. Используя определение модуля, получим совокупность двух систем:

Решая каждую из этих систем получим х₁ = 4, х₂ = 2/3.

2-ой способ. При решении этого уравнений вторым способом необходимо учесть, что выражение, стоящее в правой части уравнения, зависит от х, а поэтому может быть как неотрицательным, так и отрицательным, но по определению,  модуль это число неотрицательно, учитывая это первоначальное уравнение равносильно системе уравнений:

решив которую получим х₁ = 4, х₂ = 2/3.

Пример 2.3. Решить уравнение |2х-3| = |х+7|.

Решение. Более рациональным в этом случае является второй способ. Так как обе части уравнения неотрицательны, то при возведении в квадрат обеих частей, получим уравнение равносильное данному (теорема 3,п.1): (2х-3)²=(х+7)². Получили квадратное уравнение, решая которое находим х₁ = 10, х₂ = -4/3.

Замечание. 1. Уравнение вида |f(x)| = b, где b действительное число,

                        при b <  0  решений не имеет;

                        при b = 0  равносильно уравнению f(x) = 0;

                        при b > 0  равносильно совокупности уравнений f(x) = b, f(x) = -b.

2. Уравнение вида |f₁(x)| = |f₂(x)| равносильно уравнению (f₁(x))² = (f₂(x))²

Пример 2.4. Решить уравнение |3-х| - |х+2| = 5.

Решение. Это уравнение будем решать третьим методом.

1.                            Найдем значения переменной, обращающие в нуль выражения стоящие под знаком модуля, для чего решим уравнения 3-х=0 и  х+2=0, откуда получаем х₁= 3,  х₂= -2.

2.                            Нанесем эти значения на числовую прямую, тем самым, разбив ее на три промежутка.

                           

                                                        -2                  3

3.                            Определим знак каждого из выражений, стоящих под знаком модуля на каждом из полученных промежутков числовой прямой:

 

                          3-х            +                 +                  -    

                               х+2            -     -2         +       3        +

4.                            Решим уравнение с учетом полученных знаков на каждом промежутке числовой прямой:

1.                                                    если х< -2, имеем уравнение 3-х + х+2= 5, решив его получим верное числовое равенство 5 = 5, которое не зависит от переменной, но так как мы рассматривали это уравнение только для х< -2, то первоначальному уравнению будут удовлетворять только х< -2.

2.                                                    если  -2 £  х £ 3,  имеем уравнение 3 - х – х – 2 = 5, решив его, получим х=-2, причем –2 входит в рассматриваемый промежуток.

3.                                                    если х > 3, имеем уравнение   -3 + х – х -2= 5, решая его, получим числовое равенство   -5 = 5, которое ни при каких значениях неизвестных не является верным.

5.                            Объединим решения найденный на каждом из промежутков: из п.1 имеем промежуток (-µ; -2); из п.2 имеем х = -2.

6.                            Ответ: (-µ; -2].

Замечание. Уравнения вида  |f₁(x)| + |f₂(x)| + …+ |f_n(x)| = g(x), обычно решают третьим методом, используя алгоритм, рассмотренный в примере 4.

Пример 2.5. Решить уравнение   |х-|4-х||-2х=4.

Решение. Воспользовавшись определением модуля, раскроем внутренний модуль, стоящий в этом уравнении, получим совокупность двух систем:

                                                            

Вторая система равносильна системе:  которая решений не имеет. Для решения первой системы, опять воспользуемся определением модуля, получим совокупность двух следующих систем:              

т.е. совокупности                      

Первая из которых решений не имеет, а вторая имеет решение х = 0.

Ответ: х = 0.

Замечание. При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, также содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.

1.                            Иррациональные уравнения

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Следует отметить, что

1.                            Все корни четной степени, входящие в уравнения, являются арифметическими. Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение равно нулю, то корень также равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно.

2.                            Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения. При этом корень отрицателен, если подкоренной выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если подкоренное выражение положительно.

3.                            Функции y =  и  y =   являются возрастающими на своей области определения.

Используя эти свойства в некоторых случаях можно установить, что уравнение не имеет решения, не прибегая к преобразованиям.

Пример 3.1.  а) Уравнение  =, в соответствии со свойством 1, решений не имеет;

б) Уравнение +  = 0, в соответствии со свойством 3, решений не имеет, т.к. оба слагаемых в левой части уравнения могут быть только одновременно равны нулю, но 2х+3 = 0 при х = -3/2, а х+ 3 = 0 при х = -3;

 в) Уравнение -  = 2, в соответствии со свойством 1, решений не имеет. Действительно, первый слагаемое в левой части уравнения имеет смысл только при   4 – х ³ 0 или при х £ 4, второе слагаемое левой части имеет смысл только при  х - 6 ³ 0 или при  х ³ 6, следовательно, не существует такого х, при котором оба эти выражения имеют смысл;

г) Уравнение += 2, в соответствии со свойством 3, не имеет решений. Действительно, первое слагаемое левой части определено при  х ³ 0, второе слагаемое определено при  х ³ -9, поэтому левая часть определена при х ³ 0, но при таких значениях переменной второе слагаемое левой части принимает значения больше либо равные 3, следовательно, и вся левая часть уравнения принимает значения не меньшие 3, в то время как правая часть рана 2.

При решении иррациональных уравнений используются два основных метода: 1) возведение обеих частей уравнения в одну и туже степень; 2) введение новых переменных. Но иногда приходится применять и искусственные приемы решения таких уравнений.

При решении иррационального уравнения первым методом следует помнить, что при возведении обеих частей уравнения, содержащего корни четной степени, в одну и туже степень, получается уравнение, которое является следствием первоначального, в связи с этим, как было установлено в п. 1, в процессе решения могут появиться посторонние корни. При решении иррациональных уравнений часто используется формула   = f(x), применение которой в случае четного n может привести к расширению области определения уравнения. По этим (и по другим) причинам при решении иррациональных уравнений в большинстве случаев необходима проверка найденных решений.

Замечание. Проверки найденных решений можно избежать, если найти область определения первоначального уравнения и в процессе решения строго следить, если это возможно,  за равносильностью переходов от одного уравнения к другому. Рассмотрим основные методы решения иррациональных уравнений на примерах.

Пример 3.2.  Решить уравнение   = 6.

Решение. 1-ый способ.

Возведем обе части уравнения в квадрат: .

Приведем подобные члены и уединим радикал:  .

Обе части полученного уравнения опять возведем в квадрат:

                            8х² + 16х – 24 = 9х² – 186х + 961,

Решая полученное уравнение находим: х₁ = 5; х₂ = 197.

           Сделаем проверку найденных решений, т.к. в процессе решения мы проводили неравносильные преобразования. Подставим х₁ = 5 в первоначальное уравнение, получим = 6, т. е. получим верное числовое равенство 6 = 6. Таким образом х₁ = 5 является корнем первоначального уравнения.  Подставим х₂ = 197 в первоначальное уравнение, получим   = 6, это числовое равенство является неверным 34 ¹ 6, поэтому х₂ = 197 – посторонний корень.

Ответ: х = 5.

2-ой способ. Прежде чем решать уравнение, найдем область определения этого уравнения, для чего решим систему двух неравенств: , откуда х ³ 1. Затем приступаем к решению уравнения. Возведем обе части уравнения в квадрат (это преобразование в данном случае будет равносильным т.к. обе части уравнения неотрицательны). Приведем подобные члены и уединим радикал, опять придем к уравнению . Так как левая часть этого уравнения неотрицательна, то для того чтобы уравнение имело решения необходимо, чтобы и правая часть уравнения была неотрицательной, т. е.   -3х + 31 ³  0, откуда 

х £ 31/3…………….(*). Принимая это во внимание, опять возведем обе части уравнения в квадрат, решим полученное квадратное уравнение. Корень уравнения х₁ = 5 входит в область определения уравнения и удовлетворяет неравенству (*), а значит является корнем первоначального уравнения. Корень квадратного уравнения х₂ = 197 входит в область определения первоначального уравнения, но не удовлетворяет неравенству (*), а значит корнем первоначального уравнения не является.

Пример 3.3. Решить уравнение

Решение.  Возведем обе части уравнения в куб, воспользовавшись несколько видоизмененной формулой куба суммы двух чисел, а именно формулой

(a+b)³ = a³ +b³ +3ab(a+b). Получим:

В последнем уравнении, в соответствии с первоначальным уравнением, заменим  выражение  выражением . Получим: . Возведем в куб обе части последнего уравнения:  . Решим это уравнение:   Þ  , . Так как в процессе решения мы делали неравносильные преобразования, а именно заменяли выражение  выражением , то необходима проверка найденных решений. Подставляя найденные значения х в первоначальное уравнение , убеждаемся, что они ему удовлетворяют.

Ответ: , .

Пример 3.4. Решить уравнение   .

Решение. Уединение корня и возведение обеих частей в квадрат приведет к громоздкому уравнению четвертой степени. Поэтому не будем торопиться возводить в квадрат, а сначала выполним несколько равносильных преобразований: умножим обе части уравнения на 2 и перенесем все члены уравнения влево: . Положив  , получим: , откуда . Значит, первоначальное уравнение равносильно совокупности двух иррациональных уравнений: ,               

Решая полученные уравнения возведением обеих частей в квадрат, находим из первого , ; второе уравнение решений не имеет. После проверки найденных решений убеждаемся, что оба полученных корня удовлетворяют первоначальному уравнению.

Ответ: , .

2.                            Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

При решении показательных и логарифмических уравнений используются два основных метода: 1) переход от уравнения  или ……...(*) к уравнению ; 2) введение новых переменных. В некоторых случаях применяют искусственные приёмы. При решении уравнений первым методом используют различные приемы сведения любого показательного или логарифмического уравнения  к уравнениям вида  (*). Приведем некоторые из них:

1.                            уравнивание оснований степеней, стоящих в левой и правой частях уравнения;

2.                            логарифмирование обеих частей уравнения, если они положительны;

3.                            использование свойств степеней и логарифмов;

4.                            использование основного логарифмического тождества;

5.                            переход к новому основанию логарифмов

Использование первого метода основано на следующих теоремах о равносильности уравнений.

Теорема 5.1. Если   и , то уравнение   равносильно уравнению .

Теорема 5.2. Если   и , то уравнение  равносильно системе

                                  

Замечание. При решении логарифмического уравнения, используя теорему 5.2. не обязательно решать эту систему можно сначала решить систему неравенств , найдя тем самым область определения уравнения, затем решить первое уравнение этой системы и проверить все ли полученные решения удовлетворяют области определения уравнения.

Пример 5.1.  Решить уравнение  .

Решение.  Уравнение будем решать первым методом. Для этого уравняем основания степеней входящих в уравнение, для чего воспользуемся свойствами степеней: ; ; ; . Учтём также, что ; .

 В результате получим уравнение , которое по теореме 5.1. равносильно уравнению:  , откуда находим .

Ответ: .

Пример 5.2. Решить уравнение .

Решение. Уравнение будем решать первым методом. В данном случае уравнять основания степеней очень сложно. Так как обе части уравнения положительны, прологарифмируем их по основанию 3 (можно было и по основанию 5), получим: . Далее воспользуемся свойствами логарифма: ; , получим уравнение , которое является квадратным относительно х. Решая это уравнение, получаем два корня: .

Ответ: .

Пример 5.3. Решить уравнение .

Решение. Решать уравнение будем первым методом. Однако привести все степени, содержащиеся в уравнении к одному основанию, не удастся. Поэтому уменьшим число оснований, разложив числа 30 и 150 на множители: . Перенесем все члены, стоящие справа в левую часть уравнения, воспользуемся свойствами степени, сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители и вынесем эти множители за скобки: . Опять вынесем общий множитель за скобки: . Получили уравнение, которое равносильно совокупности двух уравнений, решив которую мы найдем корни уравнения:

       . Прологарифмируем обе части полученных уравнений в первом случае по основанию 5, во втором случае по основанию 6, и окончательно получим: , .

Ответ: , .

Пример 5.4. Решить уравнение   .

Решение.  Воспользовавшись свойствами степени,  перепишем уравнение в виде

                                               

К одному основанию в этом уравнении можно перейти разделив обе части уравнения либо на  либо на (это преобразование приведет к равносильному уравнению см. теорема 1.2). Разделим, например, на , получим уравнение . Это уравнение будем решать вторым методом: введем новую переменную , тогда уравнение примет вид: . Найдем корни этого квадратного уравнения . Теперь решим два показательных уравнения: ,  . Первое уравнение решений не имеет, во втором уравнении уравняем основания степеней и получим .

Ответ: .

Пример 5.5. Решить уравнение  .

Решение.  1) Найдем область определения данного уравнения, для чего решим систему неравенств         .

2) Уравнение будем решать первым методом. Воспользовавшись  свойством логарифмов , получим . По теореме5.2., переходим к уравнению , решая которое получаем , . Очевидно, что второй корень в область определения уравнения не входит.

Ответ: .

Пример 5.6. Решить уравнение .

Решение. 1) Найдем область определения уравнения:  и (т.к. неизвестное стоит в основании степени).

2) Воспользовавшись формулой перехода к новому основанию , приведем все логарифмы, содержащиеся в уравнении к одному основанию 4.

                                    .

Так как в уравнении теперь содержаться только логарифмы по одному основанию с одинаковым выражением под знаком логарифма, введем новую переменную, положив . В результате получим дробно-рациональное уравнение:

                , решая которое относительно t получим . Осталось решить уравнение , используя определение логарифма, получаем х = 4. Очевидно, что полученный корень входит в область определения уравнения.

Ответ: х = 4.

Замечание. Если перед решением логарифмического уравнения область определения уравнения не выяснялась, то после нахождения решений необходимо сделать проверку каждого полученного решения.

           Среди показательных и логарифмических уравнений выделяется класс уравнений, которые можно считать и показательными и логарифмическими одновременно. Такие уравнения называются показательно логарифмическими, в них переменная находится как под знаком логарифмической, ток и под знаком показательной функций. Рассмотрим примеры таких уравнений.

Пример 5.7. Решить уравнение  .

Решение. 1) Область определения этого уравнения .

2) Рассмотрим это уравнение как логарифмическое. Воспользовавшись определением логарифма,  придем к уравнению  . В этом уравнении заменим  и учитывая , получим уравнение . Найдем корни этого уравнения  и решим совокупность двух уравнений  и . Так как , то первое уравнение решений не имеет. Для нахождения решений второго уравнения прологарифмируем обе части этого уравнения по основанию 5 и получим уравнение   . Очевидно, что оба корня входят в область определения первоначального уравнения.

Ответ: .

           Решение показательных неравенств вида  и логарифмических неравенств вида , где , основано на следующих утверждениях.

Теорема 5.3. Если , то неравенство  равносильно неравенству . Если , то неравенство  равносильно неравенству .

Теорема 5.4. Если , то неравенство  равносильно системе , если , то это неравенство равносильно системе .

При решении показательных и логарифмических неравенств применяются те же методы и приемы, что и при решении уравнений.

Пример 5.8. Решить неравенство  .

Решение. 1) Найдем область определения данного неравенства, потребовав, чтобы выражения стоящие в знаменателях дробей были отличны от нуля: .

2) Преобразуем уравнение, используя свойства степени: . По теореме 5.3. это неравенство равносильно неравенству  . Перенесем все дроби в левую часть, приведем их к общему знаменателю, получим неравенство: . Решим это неравенство методом интервалов

                     

                      1                  5/3             7/3

получаем . Очевидно, что полученные интервалы входят в область определения неравенства.

Ответ: .

Пример 5.9. Решить неравенство

Решение.  1) Найдем область определения неравенства, для чего решим систему неравенств:          , откуда имеем  - область определения неравенства.

2) Используя свойства логарифмов  и , приведем все логарифмы, содержащиеся в уравнении к одному основанию 0,2:  . Учитывая, что разность двух логарифмов по одному основанию равна логарифму отношения выражений, стоящих под знаком логарифма имеем: . Так как , а при всех значениях неизвестной из области определения неравенства , получим следующее уравнение: . По теореме 5.4., учитывая область определения неравенства, это неравенство будет равносильно       , учитывая область определения неравенства, подучим .

Ответ. .

Рекомендуемая литература

Основные источники

1.      Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика. – М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2011

2.      Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач  по высшей математике. – М: Издательский центр «Академия», 2011

3.      Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2009

4.      Дадаян А.А. Математика: учеб.- М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005

Дополнительные источники

1.      Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2007

2.      Математика и информатика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / Виноградов Ю.Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В./ - М.: Издательский центр «Академия», 2009

3.      Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для образовательных учреждений нач. и сред. образования / В.А. Гусев, С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина. – М.: Издательский центр «Академия», 2011

4.      Спирина М.С. дискретная математика: учеб. – М.: Издательский центр «Академия», 2006

5.      Омельченко В.П. Математика. – Ростов-на-Дону.: Феникс, 2006

Критерии оценивания

Оценка “5”:

1. Знания, понимания, глубины усвоения обучающимся всего объёма программного материала.

2. Умения выделять главные положения в изученном материале, на основании фактов и примеров обобщать, делать выводы, устанавливать межпредметные и внутрипредметные связи, творчески применяет полученные знания в незнакомой ситуации.

3. Отсутствие ошибок и недочётов при воспроизведении изученного материала, при устных ответах устранение отдельных неточностей с помощью дополнительных вопросов учителя, соблюдение культуры письменной и устной речи, правил оформления письменных работ.

Оценка “4”:

1. Знание всего изученного программного материала.

2. Умений выделять главные положения в изученном материале, на основании фактов и примеров обобщать, делать выводы, устанавливать внутрипредметные связи, применять полученные знания на практике.

3. Незначительные (негрубые) ошибки и недочёты при воспроизведении изученного материала, соблюдение основных правил культуры письменной и устной речи, правил оформления письменных работ.

Оценка “3” (уровень представлений, сочетающихся с элементами научных понятий):

1. Знание и усвоение материала на уровне минимальных требований программы, затруднение при самостоятельном воспроизведении, необходимость незначительной помощи преподавателя.

2. Умение работать на уровне воспроизведения, затруднения при ответах на видоизменённые вопросы.

3. Наличие грубой ошибки, нескольких негрубых при воспроизведении изученного материала, незначительное несоблюдение основных правил культуры письменной и устной речи, правил оформления письменных работ.

Оценка “2”:

1. Знание и усвоение материала на уровне ниже минимальных требований программы, отдельные представления об изученном материале.

2. Отсутствие умений работать на уровне воспроизведения, затруднения при ответах на стандартные вопросы.

3. Наличие нескольких грубых ошибок, большого числа негрубых при воспроизведении изученного материала, значительное несоблюдение основных правил культуры письменной и устной речи, правил оформления письменных работ.

Оценка “1”:

Ставится за полное незнание изученного материала, отсутствие элементарных умений и навыков.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА

МАТЕМАТИКА

(МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ)