Методические указания по выполнению практической работы №2 по информатике для студентов 1 курса

МИНИСТРЕСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

в г. Саратове

Филиал СамГУПС в г. Саратове

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 1

 ПО ДИСЦИПЛИНЕ ОУД.07 ИНФОРМАТИКА

 для студентов первого курса специальностей

23.02.01 Организация перевозок и управление на транспорте (по видам)

(для железнодорожного транспорта)

27.02.03 Автоматика и телемеханика на транспорте (железнодорожном транспорте)

ЧАСТЬ 2

Саратов 2016 г.

ОДОБРЕНО          Цикловой методической комиссией «Математика, информатика и ИКТ» Протокол №____                               «___»______________2016 г. Председатель ЦМК _____________С.И. Полкова	Методические указания составлены в соответствии с требованиями ФГОС среднего общего образования (приказ Минобрнауки РФ от 17.05.2012 № 413), на основе Рабочей программы учебной дисциплины ОУД.07 Информатика, утвержденной зам. директора по УР 30.08.2016 г.
	УТВЕРЖДАЮ                            Зам. директора по УР                          __________Т.В. Моисеева                    «____»______________2016 г.

Составитель:  Авдеева И.Н., преподаватель высшей квалификационной категории филиала СамГУПС в г. Саратове

Рецензент: Смурыгина А.В., преподаватель высшей квалификационной категории  филиала СамГУПС в г. Саратове

Методические указания по выполнению практической работы № 1 по дисциплине ОУД.07 Информатика разработаны для студентов первого курса очного отделения техникума специальности 23.02.01 Организация перевозок и управление на транспорте (по видам) (для железнодорожного транспорта), 27.02.03 Автоматика и телемеханика на транспорте (железнодорожном транспорте) по теме «Представление информации в различных системах счисления».

Методические указания содержат необходимый теоретический материал по данной теме, основные определения, формулы, контрольные вопросы и задания для самостоятельной внеаудиторной работы студентов, а также примеры перевода чисел из одной системы счисления в другую и выполнения арифметических операций в позиционных системах счисления.

СОДЕРЖАНИЕ
1	Представление числовой информации с помощью систем счисления	4
1.1	Римская непозиционная система счисления	4
1.2	Позиционные системы счисления	5
1.3	Десятичная система счисления	5
1.4	Двоичная система счисления	6
1.5	Позиционные системы счисления с произвольным основанием	7
2	Перевод чисел в позиционных системах счисления	7
2.1	Перевод чисел в десятичную систему счисления	7
2.2	Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему	8
2.3	Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему	8
2.4	Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в десятичную систему	8
3	Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы	9
3.1	Алгоритм перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления	9
3.2	Алгоритм перевода правильных десятичных дробей в двоичную систему счисления	9
3.3	Перевод чисел из системы счисления с основанием p в систему с основанием q (общий случай)	10
4	Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно	12
4.1	Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления	12
4.2	Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления	13
4.3	Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную	14
5.	Арифметические операции в позиционных системах счисления	15
5.1	Сложение чисел в двоичной системе счисления	15
5.2	Вычитание чисел в двоичной системе счисления	16
5.3	Умножение чисел в двоичной системе счисления	17
5.4	Деление чисел в двоичной системе счисления	17

РЕЦЕНЗИЯ

на методические указания по выполнению

практической работы №1 часть 1,2 по теме «Представление информации в различных системах счисления»

по дисциплине ОУД.07 Информатика (углубленный уровень)

Преподаватель филиала СамГУПС Авдеева И.Н.

Методические указания по выполнению практической работы №1 (часть 1,2) по дисциплине ОУД.07 Информатика (углубленный уровень) предназначены для студентов 1 курса специальностей  23.02.01 Организация перевозок и управление на транспорте (по видам), 27.02.03 Автоматика и телемеханика на транспорте (железнодорожном транспорте)  и используются студентами при выполнении данной практической работы.

Методические указания составлены в соответствии с требованиями ФГОС среднего общего образования (приказ Минобрнауки РФ от 17.05.2012 № 413), с учетом Примерной программы общеобразовательной учебной дисциплины «Информатика» (рекомендовано ФГАУ ФИРО протокол №3 от 21 июля 2015г.) и содержат справочный теоретический материал по теме рабочей программы «Подходы к понятию и измерению информации. Информационные объекты различных видов. Универсальность дискретного (цифрового) представления информации Представление информации в двоичной системе счисления».

Методические указания включают в себя основные определения - понятие «информация», «информационный объект», «информационный процесс», «информационная технология», «система счисления», «позиционные и непозиционные системы счисления»; в них рассматриваются виды и свойства информации, единицы измерения информации; представлены формулы для перевода чисел из одной системы счисления в другую (двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления), кодировочные таблицы (КОИ-8, азбука Морзе, ASCII, кодирование букв русского алфавита), контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы студентов, а также примеры перевода чисел и примеры по выполнению арифметических операций в позиционных системах счисления.

Заключение: методические указания рекомендуется применять в учебном процессе для проведения практического занятия по теме «Представление информации в различных системах счисления» учебной дисциплины ОУД.07 Информатика (углубленный уровень) для студентов 1 курса специальностей  23.02.01 Организация перевозок и управление на транспорте (по видам), 27.02.03 Автоматика и телемеханика на транспорте (железнодорожном транспорте).

Преподаватель филиала                                                                А.В.Смурыгина

СамГУПС в г. Саратове

Практическая работа № 1 «Представление информации в различных системах счисления»

1. Представление числовой информации с помощью систем счисления

                Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Определение 1: Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемого цифрами.

                Все системы счисления делятся на большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от положения в числе, а в непозиционных – не зависит.

1.1 Римская непозиционная система счисления

                Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр в ней используются: I (1), V(5), X(10), L(50), С(100), D(500), М(1000).

                Значение цифры не зависит от ее положении в числе. Например, в числе XXX(30) цифра Х встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину – число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

                Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется. Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом: MCMXCVIII = 1000+(1000-100)+(100-10)+5+1+1+1.

1.2 Позиционные системы счисления

                Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр. Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте 60 секунд, а в часе – 60 минут).

Определение 2: В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

                Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание.

Определение 3: В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.

Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так называемых арабских, цифр, и основание, равное 10, двоичная – две цифры и основание 2, восьмеричная – восемь цифр и основание 8, шестнадцатеричная – шестнадцать цифр (в качестве цифр используются и буквы латинского алфавита) и основание 16.

Позиционные системы счисления

Система счисления	Основание	Алфавит цифр
Десятичная	10	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Двоичная	2	0,1
Восьмеричная	8	0,1,2,3,4,5,6,7
Шестнадцатеричная	16	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А(10), В(11), С(12), D(13), E(14), F(15)

1.3 Десятичная система счисления

                Рассмотрим в качестве примера десятичное число 444. Цифра 4 встречается трижды, причем самая первая цифра 4 обозначает четыре единицы, вторая справа – четыре десятка и, наконец, третья справа – четыре сотни. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, - количество десятков, еще левее – сотен, затем тысяч и т.д. Соответственно имеем разряд единиц, разряд десятков и т.д. Число 444 записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10. В развернутой форме записи числа такое умножение записывается в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 444 в десятичной системе счисления будет выглядеть следующим образом: 444₁₀ = 4·10²+4·10¹+4·10⁰.

                Как видно из примера, число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа. Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания. Например, число 444,44 в развернутой форме записывается следующим образом: 444,44₁₀ = 4·10² + 4·10¹ + 4·10⁰ + 4·10^-1 + 4·10^-2.

Формула 1: В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А₁₀, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так: А₁₀ = a_n­1·10^n­1+…..+a₀·10⁰+a_­1·10^­1+a_-m·10^­m.

                Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево.

Например: 444,44₁₀ ·10 = 4444,4₁₀;

                   444,44₁₀ : 10 = 44,444₁₀.

1.4 Двоичная система счисления

                В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 и 1. Например, развернутая запись двоичного числа может выглядеть так: А₂ = 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ + 0·2^-1 + 1·2^-2.

Свернутая форма этого же числа: А₂ = 101,01₂.

Формула 2: В общем случае в двоичной системе запись числа А₂, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так:

А₂ = a_n­1·2^n­1+…..+a₀·2⁰+a_­1·10^­1+a_-m·2^­m.

                Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд соответственно вправо или влево.

Например: 101,01₂ ·2 = 1010,1₂;

                   101,01₂ : 2 = 10,101₂.

1.5 Позиционные системы счисления с произвольным основанием

                Возможно использование множества позиционным систем счисления, основание которых равно или больше 2. Так, в восьмеричной системе основание равно восьми, тогда записанное в свернутой форме восьмеричное число А₈ = 673,2₈ в развернутой форме будет иметь вид:

А₈ = 6 · 8² + 7 · 8¹ + 3 · 8⁰ + 2 · 8^-1.

                В шестнадцатеричной системе основание равно шестнадцати, тогда записанное в свернутой форме восьмеричное число А₁₆ = 8А,F₁₆ в развернутой форме будет иметь вид:

А₁₆ = 8 · 16¹ + А · 16⁰ + F · 16^-1. Если выразить шестнадцатеричные цифры через их десятичные значения (А = 10, F = 15), то запись числа примет вид: А₁₆ = 8 · 16¹ + 10 · 16⁰ + 15 · 16^-1.

2. Перевод чисел в позиционных системах счисления

2.1 Перевод чисел в десятичную систему счисления

                Преобразование чисел, представленных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, в десятичную выполнить достаточно легко. Для этого необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение.

2.2 Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления

                Возьмем целое двоичное число, например 110₂. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления: 110₂ = 1 ·2² + 1· 2¹ + 0· 2⁰ = 4 + 2 + 0 = 6₁₀. Возьмем дробное двоичное число, например 10,11₂. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления: 10,11₂ = 1 · 2¹ + 0 · 2⁰ + 1 · 2^-1 + 1 · 2^-2 = 2 + 0 + ½ + ¼ = 2,75₁₀.

2.3 Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления

                Возьмем целое восьмеричное число, например, 15₈. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления: 15₈ = 1·8¹ + 5·8⁰ = 8 + 1 = 9₁₀.

                Возьмем дробное восьмеричное число, например 67,5₈. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления: 67,5₈ = 6 · 8¹ + 7 · 8⁰ + 5 · 8^-1 = 48 + 7 + 5/8 = 55,625₁₀.

2.4 Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления

                Возьмем целое шестнадцатеричное число, например 19F₁₆. Запишем его в развернутой форме (при этом необходимо помнить, что шестнадцатеричная цифра F соответствует десятичному числу 15) и произведем вычисления:

19F₁₆ = 1 · 16² + 9 · 16¹ + F · 16⁰ = 256 + 144 + 15 = 415₁₀.

Пример 1: Перевести в десятичную систему счисления следующие числа: 1110₂, 110,1₂, 17₈, 223₈, 14,5₈, 32,21₈, 1А₁₆, ВF₁₆, 16С₁₆.

Решение:

1) 1110₂ = 1 · 2³ + 1 · 2² + 1 · 2¹ + 0 · 2⁰ = 8 + 4 + 2 + 0 = 14₁₀;

2) 110,1₂ = 1 · 2² + 1 · 2¹ + 0 · 2⁰ + 1 · 2^-1 = 4 + 2 + 0 + ½ = 6,5₁₀;

3) 19₈ = 1 · 8¹ + 9 · 8⁰ = 8 + 9 = 17₁₀;

4) 223₈ = 2 · 8² + 2 · 8¹ + 3 · 8⁰ = 128 + 16 + 3 = 147₁₀;

5) 14,5₈ = 1 · 8¹ + 4 · 8⁰ + 5 · 8^-1 = 8 + 4 + 5/8 = 12,625₁₀;

6) 32,21₈ = 3 · 8¹ + 2 · 8⁰ + 2 · 8^-1 + 1 · 8^-2 = 24 + 2 + ¼ + 1/64 = 26, 265625₁₀;

7) 1А₁₆ = 1 · 16¹ + А · 16⁰ = 16 + 10 = 26₁₀;

8) ВF₁₆ = В · 16¹ + F · 16⁰ = 11 · 16 + 15 · 1 = 176 + 15 = 191₁₀;

9) 16С₁₆ = 1 · 16² + 6 · 16¹ + С · 16⁰ = 256 + 96 + С = 352 + 12 = 364₁₀.

3. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

                Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную более сложен и может осуществляться различными способами. Рассмотрим один из алгоритмов перевода на примере перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную. При этом необходимо учитывать, что алгоритмы перевода целых чисел и правильных дробей будут различаться.

3.1 Алгоритм перевода целых десятичных чисел в двоичную

 систему счисления

1. Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя, то есть меньшее 2.

2. Записать полученные остатки в обратной последовательности.

Например, рассмотрим перевод десятичного числа 19 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:

Десятичное число/целое частное	Делитель (основание системы)	Остаток	Цифры двоичного числа
19	2	1	a0
9	2	1	a1
4	2	0	a2
2	2	0	a3
1	2	1	a4

В результате получаем двоичное число: А₂ = a₄ a₃ a₂ a₁ a₀ = 10011₂.

3.2 Алгоритм перевода правильных десятичных дробей в двоичную систему счисления

1. Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробных частей произведений на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

2. Записать полученные целые части произведения в прямой последовательности.

Например, рассмотрим перевод десятичной дроби 0,75 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:

Десятичная дробь/дробная часть произведения	Множитель (основание системы)	Целая часть произведения	Цифры двоичного числа
0,75	2	1	a-1
0,50	2	1	a-2
0,00	2

В результате получаем двоичную дробь: А₂ = 0, a_-1 a_-2 = 0,11₂.

3.3 Перевод чисел из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием q (общий случай)

                Перевод чисел из позиционной системы с произвольным основанием p в систему с основанием q производится по алгоритмам, аналогичным рассмотренным выше. Рассмотрим алгоритм перевода целых чисел на примере перевода целого десятичного числа А₁₀ = 424₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления, т.е. из системы с основанием p=10 в систему с основанием q=16.

                В процессе выполнения алгоритма необходимо обратить внимание, что все действия необходимо осуществлять в исходной системе счисления (в данном случае десятичной), а полученные остатки записывать цифрами новой системы счисления (в данном случае шестнадцатеричной).

Десятичное число/целое частное	Делитель (основание системы)	Остаток	Цифры двоичного числа
424	16	8	a0
26	16	10(А)	a1
1	16	1	a2

В результате получаем шестнадцатеричное число: А₁₆ = a₂ a₁ a₀ = 1А8₁₆.

Рассмотрим теперь алгоритм перевода дробных чисел на примере десятичной дроби А₁₀=0,40625 в восьмеричную систему, т.е. из системы счисления с основанием p = 10 в систему счисления q = 8.

                В процессе выполнения алгоритма необходимо обратить внимание, что все действия необходимо осуществлять в исходной системе счисления (в данном случае десятичной), а полученные остатки записывать цифрами новой системы счисления (в данном случае восьмеричной).

Десятичная дробь/дробная часть произведения	Множитель (основание системы)	Целая часть произведения	Цифры двоичного числа
0,40625	8	3	a-1
0,25	8	2	a-2
0,00	8

В результате получаем восьмеричную дробь: А₈ = a_-1 a_-2 = 0,32₈.

                Перевод чисел, содержащих и целую и дробную части, производится в два этапа. Отдельно переводится по соответствующему алгоритму целая часть и отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть от дробной отделяется запятой.

Пример 2: Перевести целые десятичные числа 9₁₀, 17₁₀ в двоичную систему счисления.

Решение: а) переведем десятичное число 9₁₀ в двоичную систему счисления:

Десятичное число/целое частное	Делитель (основание системы)	Остаток	Цифры двоичного числа
9	2	1	a0
4	2	0	a1
2	2	0	a2
1	2	1	a3

Ответ: 9₁₀ = 1001₂. Проверка (выполнить самостоятельно).

б) переведем десятичное число 17₁₀ в двоичную систему счисления:

Десятичное число/целое частное	Делитель (основание системы)	Остаток	Цифры двоичного числа
17	2	1	a0
8	2	0	a1
4	2	0	a2
2	2	0	a3
1	2	1	a4

Ответ: 17₁₀ = 10001₂. Проверка (выполнить самостоятельно).

4. Перевод чисел из двоичной системы счисления  в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно

Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2, может производиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной q = 2, восьмеричной q = 8 и шестнадцатеричной q = 16 системами счисления.

4.1 Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления

Для записи двоичных чисел используются две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны два варианта записи. Решаем показательное уравнение: 2 = 2^I. Так как 2 = 2¹, I = 1 бит. Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информации.

Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. Решаем показательное уравнение: 8 = 2^I . Так как 8 = 2³, то I = 3 бита. Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нулями.

Переведем таким способом двоичное число 101001₂ в восьмеричное: 101001₂→1∙2² + 0∙2¹ +1∙2⁰ →51₈. Для упрощения перевода необходимо заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры:

Двоичные триады	000	001	010	011	100	101	110	111
Восьмеричные цифры	0	1	2	3	4	5	6	7

Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в восьмеричное необходимо разбить его на триады слева направо и, если в последней, правой, группе окажется меньше  трех цифр, дополнить ее справа нулями. Далее необходимо триады заменить на восьмеричные числа. Например, преобразуем двоичное число А₂ = 0,110101₂ в восьмеричную систему счисления:

Двоичные триады	110	101
Восьмеричные цифры	6	5

Получаем: А₈ = 0,65₈.

4.2 Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления

Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи. Решаем показательное уравнение: 16 = 2^I. Так как 16 = 2⁴, то I = 4 бита. Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.

Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр. Например, переведем целое двоичное число А₂ = 101001₂ в шестнадцатеричное:

Двоичные триады	0010	1001
Шестнадцатеричные цифры	2	9

В результате получаем: А₁₆ = 29_16.

Переведем дробное двоичное число А₂ = 0,110101₂ в шестнадцатеричную систему счисления:

Двоичные триады	1101	0100
Шестнадцатеричные цифры	D	4

Получаем: А₁₆ = 0,D4_16.

                Для того, чтобы преобразовать любое двоичное число в восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления, необходимо произвести преобразования по рассмотренным выше алгоритмам отдельно для его целой и дробной частей.

4.3 Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления

Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных цифр. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа необходимо преобразовать в группу из трех двоичных цифр (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа – в группу из четырех цифр (тетраду). Например, преобразуем дробное восьмеричное число А₈ = 0,47₈ в двоичную систему счисления:

Восьмеричные цифры	4	7
Двоичные триады	100	111

Получаем: А₂ = 0,100111_2.

Переведем целое шестнадцатеричное число А₁₆ = АВ₁₆ в двоичную систему счисления:

Шестнадцатеричные цифры	А	В
Двоичные тетрады	1010	1011

В результате получаем: А₂ = 10101011_2.

Пример 3: Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления целые числа: 1111₂, 1010101₂.

Решение: а) 1111₂ → 001.111 → 17₈;  1111₂ → 1111 → F₁₆.

б) 1010101₂ → 001.010.101 → 125₈;  1010101₂ → 0101.0101 → 55₁₆.

Пример 4: Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления дробные числа: 0,01111₂; 0,10101011_2.

Решение: а) 0,01111₂ →0,001.111→0,17₈;  0,01111₂→0,0000.1111→0,F₁₆.

б) 0,10101011₂→0,010.101.011→0,253₈;   0,10101011₂ →1010.1011→0,АВ_16.

5. Арифметические операции в позиционных системах счисления

                Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам.

5.1 Сложение чисел в двоичной системе счисления

Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0 + 0 = 0               1 + 0 = 1

0 + 1 = 1               1 + 1 = 10

                Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда  наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания. Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие

Пример 1: Произведем сложение двух двоичных чисел 110₂  и 11₂:

   110₂

+

        11₂

  1001₂

Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим:

110₂ = 1·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 6₁₀;   11₂ = 1·2¹ + 1·2⁰ = 3₁₀;    6₁₀ + 3₁₀ = 9₁₀.

Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число: 1001₂ = 1·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 9₁₀. Сравним результаты – сложение произведено правильно.

5.2 Вычитание чисел в двоичной системе счисления

Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:

0 – 0 = _0             1 – 0 = 1

0 – 1 = 11             1 – 1 = 0

Вычитание из многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов.

Пример 2: Произведем вычитание двоичных чисел 110₂  и 11₂:

   110₂

-

        11₂

      11₂

5.3 Умножение чисел в двоичной системе счисления

В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

0 · 0  = 0               1 · 0 = 0

0 · 1  = 0               1 · 1 = 1

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя.

Пример 3: произведем умножение двоичных чисел 110₂  и 11₂:

   110₂

х

        11₂

    110

  110   

10010₂

5.4 Деление чисел в двоичной системе счисления

Операция деления выполняется по алгоритму, подобному выполнения операции деления в десятичной системе счисления.

Пример 4: произведем деление двоичного числа 110₂  на 11₂:

  110₂   11₂

-           10₂

  11₂

     0

Задания для самостоятельной внеаудиторной работы

I вариант

Задание № 1: Перевести в десятичную систему счисления  двоичные числа

Двоичное число	Десятичное число
102	102 =
1012	1012 =
10112	10112 =

Задание № 2: Перевести в десятичную систему счисления восьмеричные числа

Восьмеричное число	Десятичное число
188	188 =
1258	1258 =
11,58	11,58 =

Задание № 3: Перевести в десятичную систему счисления шестнадцатеричные числа

Шестнадцатеричное  число	Десятичное число
2С16	2С16 =
АD16	АD16 =
13FB16	13FB16 =

Задание № 4: Перевести десятичное число в двоичную систему счисления

Десятичное число	Деление	Двоичное число
1410		1410 =
12710		12710 =
234910		234910 =

II вариант

Задание № 1: Перевести в десятичную систему счисления  двоичные числа

Двоичное число	Десятичное число
112	112 =
1102	1102 =
11012	11012 =

Задание № 2: Перевести в десятичную систему счисления  восьмеричные числа

Восьмеричное число	Десятичное число
178	178 =
1238	1238 =
13,58	13,58 =

Задание № 3: Перевести в десятичную систему счисления шестнадцатеричные числа

Шестнадцатеричное  число	Десятичное число
3С16	3С16 =
ВD16	ВD16 =
15FB16	15FB16 =

Задание № 4: Перевести десятичное число в двоичную систему счисления

Десятичное число	Деление	Двоичное число
1510		1510 =
12910		12910 =
234710		234710 =

Задание № 5: Провести сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел 1010₂ и 10₂ и проверить правильность выполнения арифметических действий с помощью электронного калькулятора.

Задание № 6: Провести сложение восьмеричных чисел: 6₈ и 5₈, 17₈ и 43₈.

Задание № 7: Провести вычитание шестнадцатеричных чисел: F₁₆ и А₁₆, 43₁₆ и 17₁₆.

Задание № 8: Сложить числа: 17₈ и 17₁₆, 43₈ и 43_16.

Контрольные вопросы:

1. Дать определение понятиям «система счисления», «римская, позиционная и непозиционная системы счисления».
2. Описать алгоритм перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную, привести пример.
3. Описать алгоритм перевода чисел из восьмеричной системы счисления в десятичную, привести пример.
4. Описать алгоритм перевода чисел из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную, привести пример.
5. Описать алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, привести примеры.
6. Правило сложения чисел в двоичной системе счисления. Таблица сложения.
7. Правило вычитания чисел в двоичной системе счисления. Таблица вычитания.
8. Правило умножения чисел в двоичной системе счисления. Таблица умножения.
9. Правило деления чисел в двоичной системе счисления.