Методический материал по математике на тему "Правильные и полуправильные многогранники"

«Правильные и полуправильные  многогранники »

Введение

В нашем мире много необычного и прекрасного. Нас окружают предметы, формы которых нас удивляют. Таковыми, например, являются правильные многогранники. Эти фигуры обладают и красотой, и совершенностью форм, и притягательностью.

С раннего детства мы уже встречаемся с правильными многогранниками, играя в кубики и развивающие конструкторы, решая головоломки Кубика-Рубика и его разновидностей. Архитекторы, строители и дизайнеры воплощают свои оригинальные идеи, используя эти фигуры.

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

В этом году на занятиях математики  мы изучали правильные многогранники, которые называют ещё Платоновыми телами. В учебных пособиях по геомет­рии  даны очень не богатые сведения о многогранниках. Задач на эту тему предлагается совсем немного, из-за чего возможности темы совершенно не раскрываются. А ведь она в теоретическом отношении очень богата, позволяет сформулиро­вать много интересных задач. Решение предложенных задач позволит увидеть, что опреде­ленные приемы построения помогают в значительной мере упростить как само построение, так и понимание свойств фигуры.

Я  решил больше узнать о правильных многогранниках, познакомиться с историей их появления, исследовать их роль в окружающем мире, и найти их практическое применение.

Гипотеза: правильные многогранники – гармоничные и выгодные фигуры и их можно широко использовать.

 Цель исследования: Познакомиться с новым типом выпуклых многогранников-правильными многогранниками и полуправильными многогранниками.

Задачи исследования:

- изучить литературные источники по данной теме;

- изготовить коллекцию правильных многогранников и отследить интерес к ним.

-найти примеры правильных многогранников в окружающей природе и в бытовой среде;

-доказать, что формы правильных многогранников применимы в быту.

Объект исследования: правильные многогранники.

Предмет исследования: значение и применение этих фигур

Методы исследования:

- поиск, сбор и обработка информации по теме

- наблюдение;

-практическая работа.

Глава 1.  ПРАВИЛЬНЫЕ И ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Многогранники - это простейшие фигуры в пространстве, как, например, многоугольники - простейшие фигуры на плоскости. Если рассматривать многогранник с точки зрения геометрии, то это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны и вершины граней называют рёбрами и вершинами самого многогранника.

Правильный многогранник это фигура, обладающая следующими свойствами:

- он выпуклый;

- все его грани являются равными правильными многоугольниками;

- в каждой его вершине сходится одинаковое число граней;

- все его двугранные углы равны.

Доказано существование только пяти правильных многогранников.

1.            Понятие правильного многогранника

• Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией

Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников , очень проста – каждая вершина может принадлежать трем и более граням.

Примеры: правильный гексаэдр(куб), правильный тетраэдр, правильный октаэдр, правильный икосаэдр, правильный додекаэдр.

2.Тетраэдр

Определение:

• Тетра́эдр (греч. τετραεδρον — четырёхгранник) — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Свойства:

• Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
• Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.
• Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части

Тетраэдры в микромире

• Молекула метана СН4
• Молекула аммиака NH3
• Алмаз C — тетраэдр с ребром равным 2,5220 ангстрем
• Флюорит CaF2, тетраэдр с ребром равным 3, 8626 ангстрем
• Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром равным 3,823 ангстрем
• Комплексные ионы [BF4] -, [ZnCl4]2-, [Hg(CN)4]2-, [Zn(NH3)4]2+
• Силикаты, в основе структур которых лежит кремнекислородный тетраэдр [SiO4]4

Тетраэдры в природе

Некоторые плоды, находясь вчетвером  на одной кисти, располагаются в вершинах  тетраэдра, близкого к правильному. Такая   конструкция обусловлена тем, что центры  четырёх одинаковых шаров, касающихся

друг друга, находятся в вершинах  правильного тетраэдра. Поэтому похожие

на шар плоды образуют подобное  взаимное расположение. Например,

таким образом могут располагаться   грецкие орехи.

Тетраэдры в технике

• Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
• Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
• Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр.

2.      Гексаэдр

Определение:

• Куб или правильный гексаэдр — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.

Свойства:

• Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками — эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям.
• В куб можно вписать тетраэдр двумя способами. В обоих случаях четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба и все шесть рёбер тетраэдра будут принадлежать граням куба. В первом случае все вершины тетраэдра принадлежат граням трехгранного угла, вершина которого совпадает с одной из вершин куба. Во втором случае попарно скрещивающиеся ребра тетраэдра принадлежат попарно противолежащим граням куба. Такой тетраэдр является правильным, а его объём составляет 1/3 от объёма куба.
• В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
• Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
• В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра — внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба .

3.      Октаэдр

• Определение:

Окта́эдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и греч. έδρα — «основание») — один из пяти выпуклых правильных многогранников, так называемых Платоновых тел.

Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Свойства:

• Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.
• Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
• В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
• Правильный октаэдр имеет симметрию Oh, совпадающую с симметрией куба

4.      Икосаэдр

Определение:

Икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сидение», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.

• Свойства:
• Икосаэдр можно вписать в куб, при этом шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
• В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, так что четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
• Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
• В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
• Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90.
• Собрать модель икосаэдра можно при помощи 20 тетраэдров.

5.      Додекаэдр

Определение:

Додека́эдр (от греч. δώδεκα — двенадцать и εδρον — грань) — двенадцатигранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

Свойство:

В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.

Названия этих фигур запомнить очень легко. В переводе с греческого «эдра» означает грань, «тетра» - 4, «гекса» - 6, «окта» - 8, «икоса» - 20, «додека» - 12.

Основными характеристиками многогранника являются число и вид граней, число вершин и число ребер. Эти характеристики для правильных многогранников представлены в таблице (Приложение 1)

Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

·         Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник, или платоново тело);

·         для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение, переводящее многогранник в себя), переводящая одну вершину в другую. В частности,

·         все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Доказано существование только пяти правильных многогранников.

Тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников.
Куб (гексаэдр) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов.
Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников.
Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.
Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников.

Звездчатые многогранники

Правильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые правильные или звёздчатые многоугольники. Коши установил, что существует всего 4 правильных звёздчатых тела, не являющиеся соединениями платоновых и звёздчатых тел, называемые телами Кепплера — Пуансо: все 3 звёздчатых формы додекаэдра и одна из звёздчатых форм икосаэдра. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кепплера — Пуансо.

Название	вид	Из каких фигур состоит	число вершин	число ребер
Кубооктаэдр		8 треугольников,, 6 квадратов	12	24
Икосододекаэдр		20 треугольников,  12 пятиугольников.	30	60
Усеченный икосаэдр		12 пятиугольников 20 шестиугольников.	60	90
усеченный куб		8 треугольников 6 восьмиугольников	24	36
Ромбокубооктаэдр		8 треугольников 18 квадратов	24	48
ромбоикосододекаидр		20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников	60	120
курносый куб		32 треугольника 6 квадратов	24	60
курносый додекаэдр		80 треугольников 12 пятиугольников	60	150

Глава 2 Исследование  закономерности между  ребрами, вершинами и гранями многогранников.

Изучив внимательно содержание таблицы мы увидели закономерность: если число ребер рассматриваемого многогранника увеличить на 2, то получится число, равное сумме числа граней и вершин этого многогранника. Сформулируем это правило так: « Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2», то есть Г + В = Р + 2 .

Правильный многогранник	ЧИСЛО ГРАНЕЙ + ВЕРШИН	ЧИСЛО РЕБЕР
ТЕТРАЭДР	4 + 4 = 8	6
КУБ	6 + 8 = 14	12
ОКТАЭДР	8 + 6 = 14	12
ДОДЕКАЭДР	12 + 20 = 32	30
ИКОСАЭДР	20 + 12 = 32	30

Характеристики правильных многогранников

Название многогранника	Вид	Число граней	Число вершин	Число ребер
Тетраэдр		4	4	6
Куб		6	8	12
Октаэдр		8	6	12
Икосаэдр		20	12	30
Додекаэдр		12	20	30

Таким образом, мы открыли формулу, которая впервые была выведена Рене Декартом в 1640 году, а позднее вновь открыта Эйлером в 1752 году, имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

ВЫВОД

• Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
• Правильный тетраэдр (четырехгранник) — многогранник, составленный из четырех правильных треугольников.
• Правильный гексаэдр (шестигранник) или куб — многогранник, составленный из шести правильных четырехугольников (квадратов).
• Правильный октаэдр (восьмигранник) — многогранник, составленный из восьми правильных треугольников.
• Правильный додекаэдр (двенадцатигранник) — многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников
• Правильный икосаэдр (двадцатигранник) — многогранник, составленный из двадцати правильных треугольников.