Методический семинар "Решение некоторых геометрических задач на основе свойств медианы треугольника"

«Решение некоторых геометрических задач на основе свойств медианы треугольника»

Постникова М.С.

Учитель математики МБОО «Ытык-Кюельская СОШ№1»

Для решения некоторых, на первый взгляд «сложных», геометрических задач достаточно найти тот самый способ,  который облегчает решение задачи.

Хотелось бы рассказать об одном таком способе, который облегчает решение некоторых задач.

Цель этого способа: выведение свойства равенства площадей треугольников на основе свойства медианы.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медианы:

1.       Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2.       Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

3.       Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольника.

Данный способ решения задач следует из второго свойства медианы. Если сторону треугольника разделить на несколько равных отрезков и из противолежащей вершины провести отрезки к концам данных отрезков, то получим столько треугольников с равными площадями, сколько равных отрезков на стороне.

Рассмотрим одну базовую задачу.

На стороне АС треугольника АВС взята точка К. При этом АК:КС = 1:3. Найти площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АСК равна 4 кв.см.

 

Ответ: площадь треугольника АВС равна 16 кв.см.

Рассмотрим сначала одну задачу из учебника «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасяна.

1задача.

Точки Д и Е лежат на сторонах АВ и АС треугольника АВС. Найдите площадь треугольника АДЕ, если АВ = 5см, АС = 6см, АД = 3см, АЕ = 2см, площадь треугольника АВС равна 10см².

1 способ решения (По теореме, если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы)    =  ,      =  ,   = 2().

2 способ решения (Из свойства медианы треугольника)

   = 5х + 5х + 5х = 10,   х = 2/3,     = 2 ()

Рассмотрим теперь, задачи из сборника по подготовке к ЕГЭ.

Задача №2

    Через точки M и N, делящие сторону АВ треугольника АВС на три равные части, проведены прямые, параллельные стороне ВС. Найдите площадь части треугольника, заключенной между этими прямыми, если площадь треугольника АВС равна 1.

Решение

 = 9а = 1,     а = 1/9,      искомая площадь = 3а = 1/3.

Задача №3

Точки M и N расположены на стороне ВС треугольника АВС, а точка К – на стороне АС, причем ВМ:МN:NС = 1:1:2 и СК:АК = 1:4. Известно, что площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь четырехугольника АМNК.

 

Решение

 =1,                  = 1/4 + 2/5 = 13/20. 

 Задача №4

На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты точки К, L, М соответственно, причем   АК:КВ = ВL:LС = СМ:МА = 1:2. Найдите площадь треугольника КLМ, если площадь треугольника АВС равна 1.

Решение:

       

2/9+2/9+2/9 = 2/3,      = 1-2/3= 1/3.