«Нестандартные подходы обучения решению математических задач»

МАСТЕР-КЛАСС

«Нестандартные подходы обучения

решению математических задач»

Модернизация школы предполагает новое современное качество образования. Это формирование новой системы универсальных знаний, умений, навыков, а также опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся.

Умение решать текстовые задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины усвоения учебного материала. Решение задач необходимо рассматривать не только как средство формирования математических знаний, но и как цель обучения и как средство развития общеучебного умения рассуждать.

Сегодня дети привыкают получать готовую информацию, видеть часто сменяющуюся яркую картинку развлекательного характера, не утруждаясь мыслительными процессами. Преобладает клиповое сознание и созерцание.

Мы, показывая образец, разучиваем способы решения по шаблону, доводим до автоматизма навык решения задач определённого вида, что само по себе тоже необходимо. Но, приступая к другому виду задач, дети забывают предыдущие. Каждая новая задача для большинства учащихся является трудной. Поэтому развитие логики, мышления - залог успешного обучения математике.

Основная идея в организации обучения при решении математических текстовых задач состоит в том, чтобы ребёнок не просто усваивал готовые знания, изложенные учителем, а «открывал» новые знания в процессе собственной деятельности.

Однако практика работы учителя такова, что в каждом классе найдутся ученики, имеющие проблемы при решении задач. Этому сопутствуют разные причины, и учителю о них надо знать. Причины могут быть психологическими и педагогическими.

слайды 2, 3

Возможные

психологические причины

Возможные

педагогические

причины

• слабое понимание грамматических конструкций;

• несформированность умения ориентироваться на систему признаков;

• низкий уровень развития образного и логического мышления;

• низкий уровень развития интеллекта.

• фрагментарное восприятие задачи;

• слабая ориентировка в решении задачи;

• нуждается в помощи выделения главного вопроса в задаче;

• затруднение в выделении величин и числовых данных;

• затруднение в нахождение неизвестного компонента в задаче;

• затруднение в нахождение результата в задаче.

Определить круг проблем учителю поможет простейший диагностический дидактический материал. Результат поможет уточнить конкретные затруднения каждого ученика, что ляжет в основу коррекционной работы. Примеры заданий для такой работы представлены в Приложении 1

Полученные данные фиксируются в таблице. (Слайды 4,5 )

Задачи диагностики затруднений у учащихся: (Слайд 6)

• • выявить умения выделять части задач;

  • выявить умения выбора арифметического действия по ключевым словам к задачам;

  • выявить умения решения простых задач.

Таким образом, выделена группа учащихся с низким уровнем решения задач:

ученик затрудняется самостоятельно проанализировать содержание задачи; не может выделить условие, вопрос задачи (или только при помощи наводящих вопросов учителя). Соответственно он не может самостоятельно наметить и составить план решения задачи, значит, не способен самостоятельно выполнить и решение задачи, сформулировать ответ или выполняет операцию неосознанно.

Могут также выявиться у других учащихся частичные проблемы. Диагностика умений решать текстовые задачи определит для учителя меры помощи (обучающая помощь, направляющая помощь, стимулирующая помощь), составляется план коррекции и развития навыка решения задач.

Справочные материалы

При совместной работе учителя и ученика формируется папка «Справочные материалы по решению задач», где собраны различные памятки и инструкции. (Слайды 7, 8, 9, 10)

Карточка-опора может служить ориентиром при работе с ключевыми словами задачи, помочь при выборе действия. (Слайды 11, 12 )

Алгоритм работы по решению типовых задач: (Слайд 13)

1. Осознанное чтение

2. Беседа по условию

3. Краткая запись

4. Анализ и синтез в поиске решения задачи

5. Решение задачи

6. Проверка решения

7. Работа над задачей после её решения

Четвёртый пункт - это составление граф-схемы там, где это возможно, т.е. в большинстве типовых задач. (Слайд 14)

Представив себя учеником, видящим такую граф-схему, мне подумалось, что нагляднее заменить круги конкретными словами, взятыми из условия задачи.

	Было
	Прод.	Ост.
Цена	Кол-во
Поставив числа в схему, установив порядок действий,	выполняем решение по

действиям или выражением. Но, постепенно от граф-схемы я перешла к составлению словесного выражения. Это тот же синтез или анализ, только запись ведётся в строчку и под ней сразу же выполняется решение задачи. (Щелчок)

Было – Решил = Осталось

10 - 7 = 3

К этому нужно готовить детей с 1-го класса.

Когда начинаем писать краткую запись, составляем решение задачи словами, а под ним – числами. Каждое такое выражение разбираем способом анализа и синтеза. (Слайд 15)

Такая работа закрепляет умение видеть взаимосвязь между данными и искомым: чтобы найти одно число, нужно знать два других или их сравнительные данные.

(Слайд 16)

В 3-4 классах использую опорные таблицы, помогающие видеть взаимосвязь трёх компонентов задачи и их взаимодействие между собой, что позволяет ученикам понимать логику этого взаимодействия и даёт им возможность составления разных задач:

1

Стоимость

Цена

Количество

предметов

2

Вместимость всех

Вместимость одного

Количество сосудов

сосудов

сосуда

3

Расход на 1 предмет

Общий расход

Количество предметов

4

Масса одного предмета

Общая масса

Количество предметов

5

Норма выработки

Время

Вся выработка

6

Расстояние

Скорость

Время

7

Длина прямоугольника

Ширина

Площадь

прямоугольника

(Слайд 17)

Чтобы выяснить степень усвоения материала, даю разноуровневые тесты, например:

1)Допиши над линией компонент:

Стоимость: __________ = Цена (Количество)

Норма за 1 час∙ ________= Вся выработка (Время)

______________− Взяли = Осталось (Было)

Было +_______________= Стало (Взяли)

2) Составь словесное выражение, добавив компоненты:

( ∙ ), норма выработки

Норма выработки * Время = Вся выработка

(:) цена

Стоимость : Цена = Количество

(+) осталось

Истратили + Осталось= Было

(- ) подарили

Было – Подарили = Осталось

Чтобы решение задач стало приятным и увлекательным занятием для детей, надо идти от потребностей детей. А это игра. Природа игры такова, что она даёт право на свободу поведения и создаёт атмосферу общей увлечённости. Игровая ситуация позволяет раскрыться самым неожиданным качествам человека. Конструктор интересен всем детям. Почему бы не придумать конструктор задач? Что мы и сделали с ребятами. В основу конструктора вошли детали - карточки ключевых слов-опор в задачах и ключевых слов - вопросов задач. (Слайд 18)

Конструктор выглядит следующим образом. Карточки из картона 30см на 10см.

1. Ключевые слова задачи, где полоска - это предполагаемое слово, а квадратик –число.

2)Ключевые вопросы к задаче.

Количество карточек по содержанию может увеличиваться, комплект должен быть как демонстрационный, так и индивидуальный.

(Слайд 19)

Как работать с конструктором? Например, дана задача « На первой полке стоит 20 книг, на второй – на 4 книги больше. Сколько книг стоит на двух полках?». Задачу конструктором можно выложить так:

Можно сделать вывод:

1.В задаче считаны и выделены ключевые слова и вопросы к ней.

2.Составнено условие задачи.

3.Смысл задачи понятен, решение будет выполнено.

(Слайд 20)

Дополнительные задания:

• наращивание: добавьте данные, чтобы задача решалась в 3, 4 действия;

• измените главный вопрос, чтобы последнее решение выполнялось вычитанием;

• разбить составную задачу на простые задачи;

• найдите на странице учебника задачу к модели;

• составьте задачу по заданной модели;

• найти ошибки в модели задачи и другое.

Рассмотрим пример наращивания данных к задаче (Слайд 21)

Задание: добавь данные к задаче, измени вопрос к задаче.

« На первой полке стоит 20 книг, на второй – на 4 книги больше. Сколько книг стоит на двух полках?».

на третьей полке…

на четвёртой полке..

- Давайте вместе попробуем выполнить это задание.

Работа с конструктором позволяет организовать плодотворную обучающую и творческую работу с каждым учеником и группами учащихся.

(Слайд 22)

«… рисунки, схемы и чертежи не только помогают учащимся в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами, но и побуждают активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач, помогают не только усваивать знания, но и овладевать умением применять их». (Л. Ш. Левенберг)

Какие же еще используем способы решения задач на уроке?

(Слайд 23)

Для развития наблюдательности, гибкости мышления, активизации познавательного процесса, использую задачи без вопросов.

Такие задачи превращают детей в детективов.

Задача. Однажды утром садовник, выйдя на крыльцо, увидел, что на одной яблоне висят 40 яблок, а на другой – 20 яблок и пять мальчиков, причём видно, что каждый съел по 6 яблок. Сосед не стал бранить мальчиков, а взял ручку, бумагу и что-то подсчитал. На доске его записи.

6 × 5

(40

+ 20)

: 6

(40

+ 20)

- 6 × 5

40

+ 20

40

– 20

20 + 40 + 5

6 × 5 + 20

40

: 20

(40

+ 20)

: 5

(40 + 20) : (6 × 5)

20 + 5

6 × 5 + 20 + 40

(20

+ 40): 5

Объясните их. Хватит ли этих яблок нам с вами? По сколько? Будет ли остаток? Детям интересно.

А можно по-другому: дети видят рисунок и составляют свои выражения.

6 6

6

6 ⁶

20 ябл.

40 ябл.

Как на аукционе, победителем является тот, чьё выражение будет последним. Работа оценивается. Внимание непроизвольное, учащиеся очень активны, потому что это соревнование увлекает.

(Слайд 24)

Задачи с неопределённым условием учат внимательно читать задачу, отслеживать разные варианты зависимостей между данными.

Купили альбом, карандаши и краски. За всё уплатили 76 рублей. Альбом стоил 28 рублей, карандаши ¼. Сколько стоили краски?

Прочитав задачу, составили краткую запись и бодро начинают решать, но приостанавливаются перед неопределённостью: какой? ¼ от чего? Предлагаю составить все возможные варианты решения. (Щелчок)

76-28-28:4= (от альбома)

76-28-(76-28):4= (от красок)

76-28-76:4= (от всей покупки)

(Щелчок)

Или, например: два велосипедиста выехали одновременно из одного города. Скорость первого 15 км/ч, а второго 19км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4 часа?

Какая возникает неопределённость?

Неопределённость: в каком направлении движутся – в одном или противоположном?

Работу над такими задачами хорошо организовывать в парах.

Чтобы учащиеся видели в задаче не только числа, но и содержательный смысл, использую задачи-ловушки:

С неполным условием.

С лишними данными.

Числовые данные не соответствуют смыслу задачи.

Данные выражены разными величинами.

(Слайд 25)

Перед вами 4 задачи. Определите, какой тип ловушки использован.

1. Сколько взрослых выступало на сцене, если их было на 32 больше, чем детей (неполное условие).

2. В саду росло 15 яблонь, 12 слив, а груш в 2 раза больше, чем слив. Сколько груш в саду? (лишние данные).

3. Собрали 3 ведра смородины и 10 кг клубники. Сколько всего ягод собрали? (разные величины измерения).

4. В автобусе ехало 37 человек. Сколько человек осталось, когда на остановке вышли 40? (числовые данные не соответствуют смыслу задачи).

Такие задачи помогают убедить учащегося в необходимости смыслового анализа текста задачи. Не успев прочесть задачу, дети начинают арифметические действия с числами. Это и есть причина подавляющего большинства ошибок. Ребёнок должен понять, насколько важно не торопиться, а внимательно читать текст задачи несколько раз.

Мы уделяем большое внимание решению готовых задач из учебников и сборников, но практически не ведем работу по составлению новых и преобразованию решённых.

Каждая задача связана с другими задачами, которые можно из неё получить: аналогичная, обратная, частично изменённая. Этой связи не видят ученики.

(Слайд 26) Решив задачу, переходим к следующей, а ведь последний этап - это работа над задачей после её решения. Это преобразование решённых задач и составление новых. На что обычно не хватает времени на уроке.

Введение новых данных. Изменение вопроса. Изменение условия. Изменение условия и вопроса. Составление обратных задач.

Составление аналогичных задач. Сопоставление задач и т.д.

Такие задания можно выполнять в классе (хорошо в группе или паре), можно коллективно, а можно давать индивидуально и на дом. Дети представляют свои задачи классу, это ответственно, повышает их самооценку и организовывает.

Составление задач

1. По краткой записи, схеме, чертежу

2. По числовому выражению (12 + 8) : 4

3. По словесному выражению - Стоимость : Количество =Цена

4. По вопросу в 1-3 действия (наращивая данные)

5. По плану решения

6. По плану и действиям

Развиваются логика, воображение, фантазия, раскрывается творческий потенциал. Учащиеся стараются, т.к. есть возможность проявить себя авторски.

(Слайд 27) Очень нравится детям восстановление задачи по плану и действиям.

1) Сколько пассажиров в 3-х автобусах?

24 × 3=72 (п.)

2) Сколько из них детей?

72 : 4 = 18 (чел.)

3) Сколько мужчин и женщин?

72 – 18 = 54 (чел.)

4) Сколько мужчин и женщин отдельно?

54 : 2 = 27 (чел.)

Попробуйте восстановить задачу. (Щелчок)

«В трёх автобусах ехало по 24 пассажира в каждом. ¼ часть всех пассажиров были дети, а остальные – мужчины и женщины, причём мужчин было столько же, сколько женщин. Сколько мужчин и женщин отдельно ехали в автобусе?»

(Слайд 29) Э. В. Ильенков (советский философ):

«Очевидно, процесс усвоения знаний надо организовать так, как организует его жизнь.

А именно: чтобы ребенок постоянно был вынужден тренировать не столько память, сколько способность решать задачи, требующие самостоятельности суждения».

(Слайд 30) Какие задачи решаем мы? Ответ прост — мы решаем те задачи, решению которых нас научили. А школа учит решать закрытые задачи. Формула закрытой задачи: четкое условие + утвержденный способ решения + единственно правильный ответ. Шаг влево, шаг вправо от утвержденного способа решения (а значит, и мышления!) — снижение оценки. (Беседа по схеме)

Школа учит решать закрытые задачи. Жизнь требует решения открытых задач. Выбрать специальность и место учебы, поменять место жительства или найти новую работу, даже просто сделать покупку – все это становится открытой задачей. Потому, что появилось огромное пространство выбора. В этом пространстве нужно учиться жить.

На самом же деле нет такой области человеческой деятельности, в которой не было бы открытых задач. В технике, в науке, в быту, в искусстве, в отношениях людей…

Поэтому следует сказать несколько слов о различиях между закрытыми и открытыми задачами. Приведем примеры открытых задач.

Слайд 31

Открытые задачи позволяют включить учащихся в специально организованную, постепенно усложняющуюся образовательную деятельность, обеспечивающую развитие качеств личности: любознательность, стремление к фантазированию, дивергентное мышление, чувствительность к проблемам, изобретательности, оригинальность, эмоциональность и продуктивность.

Нельзя птицу учить летать в клетке. Нельзя вырастить “творческий мускул”, не вылетев на простор заданий “открытых” - допускающих разные подходы к решению, разную степень углубления в сущность проблемы, разные варианты ответов.

Боксеру ставят удар, певцу голос. Наша задача – научиться ставить сильное мышление. Поэтому я большое внимание уделяю творческим, открытым задачам.

Вот ещё задачи, которые мы решаем (Слайд 32 )

Вариант 1:
Из пришедших гостей только один не учится в третьем классе. Это может быть как мальчик, так и девочка. Значит, из пришедших 7 девочек или все 7 учатся в 3 классе или только 6.
Вариант 2:
Из пришедших 15 гостей 14 учатся в третьем классе, а 15-й - классный руководитель или кто-то из взрослых. Тогда все 7 пришедших девочек - третьеклассницы.

Сколько существует вариантов!
Решение таких задач помогает находить варианты решения проблемного вопроса, генерировать идеи, регулярная тренировка творческого мышления; на изобретательских задачах из разных областей человеческой деятельности и вырабатывается та самая способность применять знания в реальных ситуациях.

(Слайд 33 )

И в заключение хочется рассказать Вам притчу:

ПРИТЧА О ГАЛЬКЕ

Трое кочевников устраивались на ночлег в пустыне, как вдруг небо озарилось волшебным светом, и раздался голос Бога:

- Идите в пустыню. Соберите столько гальки и камешков, сколько сможете. И завтра вы будете восхищены.

И все. Свет померк, и наступила полная тишина. Кочевники были в ярости.

- Что это за бог? – говорили они. – Он предлагает нам собирать мусор?! Настоящий бог сказал бы нам, как уничтожить бедность и страдание. Он дал бы нам ключ к успеху и научил, как предотвратить войны. Он открыл бы нам великие тайны.

Но все же кочевники отправились в пустыню и собрали несколько камешков, небрежно бросив их на дно дорожных сумок. А потом отправились спать.

Утром они двинулись в путь. Не сразу один из них заметил что-то странное в своей сумке. Он запустил туда руку, и в ладони его оказался – нет, не бесполезный камень! – великолепный бриллиант. Кочевники стали доставать другие камешки и обнаружили, что все они превратились в бриллианты. Они были в восторге – пока не осознали, как мало камней они насобирали прошлым вечером.

Давайте подведем итоги.

Мы, учителя, в своей работе стараемся освоить новые методы работы, надеемся, что они принесут свои плоды.

Вы тоже в свои мешки положите камешки под названием «открытые задачи» и пусть в конце они превратятся в бриллианты.

Цель моего выступления будет достигнута, если хоть одному сидящему в зале учителю захотелось придумывать открытые задачи и решать их с учениками.

(Слайд 34 )

Приложение .

Карточка 1.

Цель: выявить умения выделять части задач.

Задача: Коле 12 лет, а Оля в 4 раза моложе. На сколько лет Коля старше Оли?

Соотнеси высказывания в левом столбике с высказываниями в правом столбике.

12 – (12 : 4)	Ответ
На 9 лет	Выражение

Карточка 2.

Цель: выявить умения выбора арифметического действия по ключевым задачам.

Соотнеси вопрос к задаче с арифметическим действием.

Карточка ученика 3.

Цель: выявить навык решения простых задач. (Виды задач нарастают по мере их изучения)

Приложение 2

Инструкция.

Работай по плану

1) Прочитай задачу.

2) Составь и запиши условие к задаче. Выдели главный вопрос задачи.

3) Запиши решение задачи.

4) Запиши ответ задачи.

Памятка по составлению краткой (текстовой) записи задачи.

1.Выдели ключевые слова.

2.Подумай, как выпишешь ключевые слова: словом, заглавной буквой,

числами I , II, III.

3.Выдели вопрос задачи.

4.Подумай, как записать вопрос: словом, знаком «?», ? на < , > ?

5.Можно ли задачу изобразить в виде схемы?

6.Запиши условие задачи.

Инструкция к решению задачи (например, на стр…. №...)

План.

1.Узнай, сколько привезли пачек учебников по истории.

2. Узнай, сколько привезли пачек учебников по географии.

3.Узнай, сколько всего привезли пачек учебников?

Вспомни, как найти неизвестный множитель.

Таблица по составлению условия задачи в таблице.

количество

Общая стоимость …

В одной коробке …

Всего …

Масса одного предмета

Общая масса …

Расход на один предмет

Всего израсходовано …

Норма (выработка за один час)

Всего израсходовано ..

Вопросы по разбору задачи:

1. Какой главный вопрос задачи?

2. Что достаточно знать, а что нет?

3. Какой новый вопрос возник?

4. Что достаточно знать, чтобы ответить на него?

Памятка

Ответь на вопросы:

1.Какой главный вопрос задачи?

2.Что нужно знать, чтобы на него ответить?

3.Что надо сделать с данными числами?

4.Что известно? Что неизвестно?

5.Найди неизвестное.

6.Напиши ответ.

Приложение 3.

Карточка - опора

п/п

Содержание работы

Управление обучением

1

Условие задачи

1.Выдели опорные слова в задаче.

2.Обрати внимание на выражения:

по ( х или : )

3.Помни:

Больше (меньше) на … -

Больше (меньше) в …:

Стало всего … +

Осталось … -

4.Составь краткую запись к задаче.

1.Подчеркни или выпиши

2.Словарь(слова-помощники)

Х

Привезли

Выступило

Наклеили

Пришили

Заготовили

Прочитал

:

Расселили

Разложили

Раздали

Расставили

Разбили

Разлили

3.Тест, схема, рисунок, таблица.

2

Суждение и решение к задаче

1.Прочитай и обозначь главный вопрос к задаче.

2.Выдели величины и числовые значения: «Я знаю …»

3.Составь план решения задачи.

4.Запиши решение задачи выражением.

5.Прочитай главный вопрос задачи и запиши ответ.

?...

1)

2)

Приложение 4.

Таблица результатов к карточке №1, №2.

п/п

Список

класса

Выделение частей задач

Соотношение знака действия

с вопросом задачи.

Коли-чество бал.

Вывод

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

9 - 10 баллов - высокий уровень решения задач (ВУ)

7 - 8 баллов – средний уровень (СУ) нуждается в направляющей и стимулирующей помощи учителя.

6 баллов и ниже – низкий уровень (НУ) нуждается в коррекции; требуется обучающая помощь.

Таблица результатов к карточке №3

п/п

Список

Класса

Результат решения простых задач

Количество

баллов

Итог

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

2

10 - 11 баллов - высокий уровень решения задач (ВУ)

7 - 9 баллов – средний уровень (СУ) нуждается в направляющей и стимулирующей помощи учителя.

6 баллов и ниже – низкий уровень (НУ) нуждается в коррекции; требуется обучающая помощь.

Краткое описание документа:

Умение решать текстовые задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины усвоения учебного материала. Решение задач необходимо рассматривать не только как средство формирования математических знаний, но и как цель обучения и как средство развития общеучебного умения рассуждать. В каждом классе найдутся ученики, имеющие проблемы при решении задач.

В статье раскрываются педагогические и психологические причины возникновения проблем при обучении решению задач в начальной школе. Приведены образцы памяток и инструкций для совместной работы учителя и ученика. Разработан алгоритм работы по решению типовых задач.Рассмотрены различные способы решения задач на уроке.