Одно из свойств арифметических прогрессий

• 1 слайд

  МАОУ «СОШ № 1» с углублённым изучением отдельных предметов имени И. А. Куратова г.Сыктывкара.
  Исполнитель: Лукина Серафима
  Руководитель: Карпова Людмила Александровна
  2011 год.
  Одно из свойств
  арифметических прогрессий.
  

• 2 слайд

  Эпиграф
  Через математические знания, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий.
  Маркушевич А. И.
  

• 3 слайд

  
  Доказать одно из свойств арифметических прогрессий и воспользоваться им на практике.
  
  Цель исследовательской
  работы:
  
  

• 4 слайд

  Арифметическая прогрессия - это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
  аn = a1 + d(n – 1)
  d = an + 1 – аn
  а1 + аn
  Sn = x n
  2
  2а1 + d(n – 1)
  Sn = x n
  2
  

• 5 слайд

  
  
  7.32.
  1) Найдите сумму первых 20 совпадающих членов двух арифметических прогрессий:
  3, 8, 13, … и 4, 11, 18, … .
  
  2)Найдите сумму первых 10 совпадающих членов двух арифметических прогрессий:
  3, 7, 11, … и 1, 10, 19, … .
  

• 6 слайд

  Первый совпадающий член двух данных прогрессий можно найти, непосредственно выписав несколько последовательных членов каждой из них.
  d = НОК(d1; d2)
  d1 – разность первой прогрессии
  d2 – разность второй прогрессии
  
  « Действительно ли это так и можно ли это доказать?»
  
  

• 7 слайд

  1) НОК(Наименьшим общим кратным) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а, и b.
  Пример: НОК(6; 8) = 24
  
  2)Если НОД(а; b) = 1, т. е. числа а и b взаимно простые, то НОК(а; b) = a x b
  Пример: а = 3; b = 4
  НОД(3; 4) = 1
  НОК(3; 4) = 3 x 4 = 12
  
  

• 8 слайд

  
  
  Если а : b и а : c a : b x c
  НОК(Ra; Rb) = RНОК(а; b), где
  НОД(а; b) = 1
  

• 9 слайд

  Дано: (аn) и (bn) – арифметические прогрессии, соответственно с разностями d1 и d2, НОД(d1;d2) = 1;
  (сn) содержит совпадающие члены данных последовательностей, d – разность прогрессии
  Доказать: d = НОК(d1; d2) = d1 x d2
  
  Доказательство:
  1) см (сn) и (аn)
  с1 = аR = а1 + d1(R – 1)
  c2 = al = a1 + d1(l – 1)
  
  

• 10 слайд

  См d = c2 – c1 = al – aR = a1 – a1 + d1(l – R) =
  = d1(l – R) d : d1
  
  2)см (сn) и (bn)
  с1 = bm = b1 + d2(m – 1)
  c2 = bp = b1 + d2(p – 1)
  см d = c2 – c1 = d2(m – p) d : d2
  Вывод:
  1)d : d1
  d : d1 x d2 d = НОК(d1; d2)
  d : d2 НОД(d1;d2) = 1
  
  
  

• 11 слайд

  См примеры:
  1) 12 : 4
  12 = НОК(4; 3);см НОД(4;3) = 1
  12 : 3
  Получено 12 = НОК(4; 3) = 4 x 3
  2) см 24 : 6
  24 = НОК(6; 8); см НОД(6; 8)=1
  24 : 8
  24 = НОК(6;8) = 6 x 8
  Значит: если НОД(d1; d2) = 1,
  то d = НОК(d1;d2) = d1 x d2
  
  

• 12 слайд

  Примечание:
  Свойство НОК:
  Если а и b – не взаимно простые числа,
  НОК(Ra; Rb) = RНОК(а; b),
  НОД(а; b) = 1
  См пример:
  НОК(6;8) = НОК(2 x 3; 2 x 4) = 2НОК(3; 4) =
  = 2 x 12 = 24
  
  
  

• 13 слайд

  7.32.
  1)Найдите сумму первых 20 совпадающих членов двух арифметических прогрессий:
  3, 8, 13, … 4, 11, 18, … .
  
  Решение:
  1) S20 - ?
  2) (аn): 3, 8, 13, 18, …
  (bn): 4, 11, 18, …
  (сn): 18, …
  
  
  
  

• 14 слайд

  
  3) d1 = a2 – a1 = 8 – 3 = 5
  d2 = b2 – b1 = 11 – 4 = 7
  
  4) см НОД(5; 7) = 1
  d = НОК(d1; d2) = НОК(5; 7) = 7 x 5 = 35
  
  
  2a1 + d(n -1)
  5) Sn = x n
  2
  
  
  
  

• 15 слайд

  2 x 18 + 35(20 – 1)
  S20 = x 20 =
  2
  
  36 + 35 x 19 701
  = x 20 = x 20 = 7010
  2 2
  
  Ответ: S20 = 7010
  

• 16 слайд

  2) Найдите сумму первых 10 совпадающих членов двух арифметических прогрессий:
  3, 7, 11, … и 1, 10, 19, …
  
  Решение:
  1) S10 - ?
  2) (an): 3, 7, 11, 15, 19, …
  (bn): 1, 10, 19, …
  (сn): 19, …
  
  

• 17 слайд

  3) d1 = a2 – a1 = 7 – 3 = 4
  d2 = b2 – b1 = 10 – 1 = 9
  
  4) см НОД(4; 9) = 1
  d = НОК(d1; d2) = 4 x 9 = 36
  
  2a1 + d(n – 1)
  5) Sn = x n
  2
  

• 18 слайд

  2 x 19 + 36(10 – 1)
  S10 = x 10 =
  2
  
  38 + 36 x 9 362
  = x 10 = x 10 = 1810
  2 2
  
  Ответ: S10 = 1810
  

• 19 слайд

  12.98.
  В арифметической прогрессии 3; 6; 9; … содержится 463 члена, в арифметической прогрессии 2; 6; 10; … содержится 351 член. Сколько одинаковых членов содержится в этих прогрессиях.
  Решение:
  1) n - ?
  (аn): 3, 6, 9, … (463 члена)
  (bn): 2, 6, 10, … (351 член)
  (сn): 6, …
  

• 20 слайд

  
  2) d1 = a2 – a1 = 6 – 3 = 3
  d2 = b2 – b1 = 6 – 2 = 4
  
  3) cм НОД(3; 4) = 1
  d = НОК(d1; d2) = НОК(3; 4) = 3 x 4 = 12
  
  4) cм аn = а1 + d(n – 1)
  а463 = 3 + 3(463 – 1) = 1389
  b351 = 2 + 4(351 – 1) = 1402
  
  
  

• 21 слайд

  5) сn = c1 + d(n – 1); n - ?
  6 + 12(n – 1) 1389
  6 + 12(n – 1) 1402
  6 + 12n – 12 1389
  6 + 12n – 12 1402
  12n 1395
  12n 1408
  n 116, 25
  n 117, 33
  n = 116
  Ответ: 116 одинаковых членов содержится в этих прогрессиях.
  
  

• 22 слайд

  В заключении строки из романа А. С. Пушкина «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «…Не мог он ямба от хорея, как мы не бились, отличить».Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.
  
  

• 23 слайд

  Ямб – стихотворный размер с ударениями на чётных слогах стиха (н: Мой дядя самых честных правил), т. е. ударными являются второй, четвёртый, шестой, восьмой и т. д. слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2, 4, 6, 8… .
  
  

• 24 слайд

  Хорей – стихотворный размер с ударением на нечётных слогах (н: Буря мглою небо кроет). Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но её первый член равен единице, а разность по-прежнему равна двум: 1; 3; 5; 7, … .
  

• 25 слайд

  Практическая значимость
  
  1)Моя работа может использоваться на уроках алгебры при изучении темы «Арифметические прогрессии».
  
  2)Данное исследование поможет учащимся при написании ГИА и ЕГЭ.
  
  
  
  

• 26 слайд

  Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе;
  Сборник задач по алгебре(8-9 класс) М.Л. Галицкого, А. М. Гольдмана, Л. И. Звавича;
  Учебник для 9 класса с углублённым изучением математики Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюка, К. И. Нешкова;
  Пособие для учителя «Делимость целых чисел» В. Д. Яковлева;
  Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики(для 9 класса) под редакцией Н. Я. Виленкина.
  
  Источники: