Опорные конспекты по геометрии для 7 класса.

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №1.   

 

1.  Аксиома принадлежности

1.1.  Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

1.2.  Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2.  Аксиома взаимного расположения точек на прямой и плоскости 2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2.  Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Аксиома измерения отрезков

2.3.  Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумму длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

3.  Луч. Аксиома откладывания

Луч — это часть прямой, ограниченная одной точкой. Поэтому он бесконечен в одну сторону. Два луча называются дополнительными, если они имеют общее начало и дополняют друг друга до прямой.

3.1.  На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один.

3.2.  От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.

3.3.  Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

4.  Угол. Биссектриса угла. Аксиома измерения углов

4.1.  Два луча, выходящие из одной точки, образуют угол. Равными называются углы, которые совпадают при наложении. 

4.2.  Биссектрисой угла называется луч, который выходит из вершины и делит его на два равных угла.

4.3.  Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

5.  Виды углов. Измерение углов.

Развернутый угол – угол, стороны которого являются дополнительными полупрямыми, т.е. 180^о.

Прямой угол – угол, градусная мера которого  равна половине развернутого угла, т.е. 90^о. Острый угол – угол,  градусная мера которого  меньше 90^о. Тупой угол – угол,  градусная мера которого  больше 90^о.

6.  Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами.   Сумма смежных углов равна 180°.

7.  Вертикальные углы — два угла, стороны одного из которых являются дополнительными лучами сторон другого.   Вертикальные углы равны.

8.  Теорема существовании  перпендикуляра, проведённого к прямой.

Из точки, лежащей  на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой, и при том,  единственный.

9.  Теорема о единственности перпендикуляра, проведённого к прямой.

Из точки, не лежащей  на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой, и при том,  единственный. 10. Теорема о двух перпендикулярах.

Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

ОПОРНЫЙ  КОНСПЕКТ № 2. 

1.   Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, МОЖНО провести прямую, параллельную данной.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ЕДИНСТВЕННАЯ прямая, параллельная данной.

2.   Две прямые и секущая. Виды углов.

При пересечении двух прямых третьей, которая называется секущей, образуется 4 пары накрест лежащих углов, 4 пары соответственных и 4 пары односторонних.

3 и 5; 4 и 6 — внутренние накрест лежащие углы;

1 и 7; 2 и 8 — внешние накрест лежащие углы;

1 и 5; 2 и 6; 4 и 8; 3 и 7 — соответственные углы; 3 и 6; 4 и 5 — внутренние односторонние углы; 2 и 7; 1 и 8 — внешние односторонние углы.

3.     Теорема о двух прямых, параллельных третьей. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Если бы они пересекались, то через одну точку проходили бы две прямые, параллельные третьей.

Теорема о пересечении параллельных прямых. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. 

4.     Перпендикуляр к одной из параллельных прямых будет перпендикуляром и к

другой.  

5.     Признаки параллельности прямых. Если накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.  

6.     Свойства углов при параллельных прямых и секущей. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180^о.

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ  № 3.                

1. Аксиома существования треугольника, равного данному.

Каким бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Свойства равных треугольников

1.   В равных треугольниках соответствующие стороны равны.

2.   В равных треугольниках соответствующие углы равны.

3.   Периметры равных треугольников равны.

4.   Площади равных треугольников равны.

5.   Против равных сторон лежат равные углы.

6.   Против равных углов лежат равные стороны.

2.   Признаки равенства треугольников:

•       Первый признак — по двум сторонам и углу между ними.

•       Второй признак – по двум углам и прилежащей стороне.

•       Третий признак – по трём сторонам.

             

3.   Медиана, биссектриса и высота треугольника.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной и точкой пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника.

4.   Равнобедренный треугольник.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами, третья сторона — основанием.

5.   Свойства равнобедренного треугольника.

1.   В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 

2.   Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины к основанию, является высотой и медианой.

6.   Признак равнобедренного треугольника.

По двум углам: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Есть еще три признака равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если:

    высота треугольника является и медианой;        высота треугольника является и биссектрисой;     медиана треугольника является и биссектрисой.

7.   Равносторонний треугольник.

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ № 4.

 

1.   Сумма углов треугольника.  Сумма углов треугольника равна 180°.

2.   Виды треугольников.

3.   Признаки равенства прямоугольных треугольников.

1.                 По двум катетам. Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2.                 По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

3.                 По катету и противолежащему острому углу. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

4.                 По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

5.                 По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

4.   Особенные прямоугольные треугольники.

Свойство катета, лежащего против угла 30°. 

Катет, лежащий против угла 30^о, равен половине гипотенузы. 

Свойство прямоугольного треугольника с углом 𝟒𝟓^о.

Прямоугольный треугольник с углом 45^о равнобедренный.

5.   Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к данной прямой..

Расстояние между параллельными прямыми. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

6.   Внешний угол треугольника.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с углом треугольника.  Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.  

7.   Свойство точек биссектрисы угла. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла. 8. Неравенство треугольника. Длина любой стороны треугольника меньше суммы

двух других его сторон, т. е.  а < b + с,   b < а + с,   с < а + b.
Отсюда следует:  Длина ломаной больше отрезка, соединяющего ее концы.

9. Соотношения между сторонами и углами треугольника.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. 

Отсюда следует: 1) Катет меньше гипотенузы. 2) Перпендикуляр меньше наклонной.

Краткое описание документа:

Опорные конспекты по геометрии для 7 класса. Конспекты представляют собой сжатое изложение теоретического материала по четырём основным темам курса геометрии 7 класса: 1. Начальные геометрические сведения. 2. Параллельные прямые. 3. Треугольники. 4. Окружность. Задачи на построение. По каждой теме приведён подробный список теоретических фактов. Данные опорные конспекты можно применять при изучении нового материала, повторении курса в 7 классе и вводном повторении в начале 8 класса.