Открытый урок по теме "Производная и её применение"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ  БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ   УЧРЕЖДЕНИЕ «КОЛЫВАНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №2» МБОУ  «Колыванская СОШ № 2» 633160 РФ, Новосибирская обл. р.п. Колывань, пр-кт  Революционный.  21 [e-mail]    тел/факс  [phone]

«Производная и её применение»

(урок математики, 10 класс)

Короткова Елена Николаевна, учитель математики,

 первой квалификационной категории,

стаж работы 20 лет

                                                 р.п. Колывань, 2018

Пояснительная записка

Цели урока: 

·        Обучающие:  систематизировать знания и умения по теме «Производная»: формулы и правила дифференцирования, геометрический и физический смысл производной, применение производной.

·        Развивающие:  развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, способность к «видению» проблемы, формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли.

·        Воспитательные: воспитывать умение работать с имеющейся информацией, слушать товарищей,  точно, однозначно и лаконично формулировать свои ответы.

 План урока:

·        Организационный момент. (1 минута)

·        Проверка уровня знаний и умений, уровня познавательной самостоятельности учащихся. (40 минут)

·        Подведение итогов урока. (4 минуты)

 Оборудование:      Компьютер,  мультимедийный проектор, индивидуальные  карточки –задания, карточка для работы в группе, лист самооценки самостоятельной работы.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний и  умений.

Технология: урок с применением    информационно-коммуникативных технологий.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, проблемный.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая

Вид урока по форме проведения: урок – игра.

Продолжительность: 45 минут.    Учебник: А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник  для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)   М.: Мнемозина, 2013

Конспект урока

I.                  Организационный  момент.   Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

Учитель:  Здравствуйте, ребята, садитесь. У нас сегодня на уроке присутствуют гости, давайте с ними поздороваемся.    

Ребята, если вы правильно  отгадаете ключевое слово, то узнаете тему нашего урока.

1) С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;

2) Имеет физический, геометрический смысл;

3) Бывает первой, второй, … ;

4) Обозначается штрихом.

Молодцы, тема нашего занятия “ Производная, всемогущая ”.

Как вы думаете, ребята, какова цель нашего урока? (Дети формулируют цель.)

Цель нашего урока – повторить основные направления применения производной для решения различных (избранных) задач дифференциального исчисления.

Я желаю вам на уроке удачи, точных расчетов и вычислений.   

Активизация знаний учащихся.  На одном из первых уроков изучения производной вы мне задали вопрос:

Мы изучили  производную. А так ли это важно в жизни? Применяется ли  производная в различных областях науки?

Постараемся ответить на этот вопрос сегодня на уроке.

А чтобы у вас была путеводная звезда, к которой бы вы шли, я выдвинула гипотезу  /читаю гипотезу, /

«Дифференциальное исчисление - это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники».

В ходе урока вы  подтвердите, либо отвергните данную гипотезу.

II. Актуализация знаний, умений, навыков. Ребята, у вас на столах лежат оценочные листы, за каждый правильный ответ, выполненное решение вы будете начислять себе по одному баллу.

Приложение 1. Оценочный лист

№	Этап урока	Баллы
1	Разминка д/з
2	Цветок понятий
3	«Корзинка правил»
4	Найди соответствие
5	Значение производной в точке
6	Задачи-картинки. Работа в парах
7	Геометрический смысл производной
8	Физический смысл производной
9	Работа лабораторий
10	Свойства функций и свойства производной
11	По графику
	Средний балл:
	Оценка:

Учитель: Принято, что к соревнованию человек готовится, и свой день обычно начинает с зарядки, т.е. с разминки. Проведем разминку перед практической частью и мы.

1.     Для этого возьмем кроссворд, который вам нужно было дома разгадать

по теме: «Производная»

По горизонтали
2. Производная чего равна нулю…
3. Как называется число, к которому стремится отношение приращения функции к соответствующему приращению аргумента, при стремлении приращения аргумента к нулю
4. Какой смысл производной заключается в том, что скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени  (Механический)
5. Процесс изучения какого-либо объекта, например, функции.

По вертикали
1. Точки максимума и минимума называют точками  (Экстремума)
2. Точки области определения, в которых производная функции не существует, называются….. точками
4. Промежутки возрастания (убывания) функции это промежутки…

 Ставим баллы за правильно выполненное домашнее задание.

2. Цветок понятий  (ассоциативный куст)

Предлагаю составить цветок понятий: для этого нужно назвать понятия,  которые ассоциируются с темой «Производная».

Благодаря вашим понятиям у меня получился вот такой ассоциативный цветок.

Ставим баллы за ответы.

3.  «Корзинка правил» Вспомним правила нахождения производных. Необходимо  заполнить   пустые  места  в  равенствах,  записанных  на  доске)   2 учащихся выходят к доске

(U*V)^! =……                       …..= (U^!V –V^!U)/V²                              (kx+b)^!=

 (C*U)^!  =  ....                                             ( U + V)^!  =…….                            …=f¹(g(x))*g¹(x)

Ставим баллы за ответы.

Прежде чем приступить к повторению основных направлений применения производной, проверим нашу готовность к вычислению производных.

4.  «Найди соответствие»

А	Б	В	Г	Д	Е	Ж

Учитель:  Укажите соответствие между функцией и её производной: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. В таблице под каждой буквой, укажите номер её возможного значения. Ответ записать числом

№	Функция f(x)		Производная
А.	k	1
Б.		2	0
В.		3
Г.	sin x	4
Д.	cos x	5	- sin x
Е.	tg x	6	cos x
Ж.		7

Проверяем:               на слайде 2 136 574   Ставим баллы в оценочные листы.

 Учитель:  Мы освоили приемы нахождения простейших производных суммы, разности, произведения и частного элементарных функций. Сейчас постараемся применить полученные знания при решении задач.

5.     «Значение производной в точке»  Предлагаю,  вам задание, выполнив которое вы узнаете, как   И.Ньютон называл производную функции.

С
Я	f(x) = 2 cosx	f!(-/3) -?
Ю
Ф
К	f (x) = ( х-3)(2х +5)
И	f (x) =3 – sin 2 x	f1 (/2) -?
Л	f (x) = (2х+3)12	f! (-2) -?

	- 12	36	3	8	2

                                                        Ответ: ФЛЮКСИЯ – производная функции

Ставим баллы в оценочные листы.

6.     Учитель:     «Задачи-картинки».    

Работа в парах:  пусть каждый знает,
Кто из вас быстрей решает?
Мне – таблицы вам раздать,
Вам – в них плюсы расставлять.

Каждая пара получает задание-таблицу, в клетках которой нужно знаком «+» указать соответствие “функция – график производной этой функции”.  Приготовить заполненную таблицу с пояснениями. Система оценки: каждый правильный ответ – 0,5 балла.   (максимум за задание – 3 балла). Проверка осуществляется с помощью слайда с устными комментариями.                                 (Ответы к заданию на слайде):

График                Производной Функция
у' = 2 – 3х2	+
у' = х2 + 2			+
у' = х		+
у' = 2 - х				+
у = 2х – 7 у' = 2						+
у = 2х + х4 у' = 2 + 4х3					+

Ставим максимально 3 балла в оценочные листы.

7.     Геометрический смысл производной

Учитель:    Предлагаю работу по вариантам по 1 к доске (карточки )

1 вариант     Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке t = 3 и определите вид угла между касательной и положительным направлением оси Ox.       (Ответ: tgα = 21, угол α - острый)

2 вариант     Найти угловой коэффициент касательной к графику функции  y = f(x) в точке с абсциссой х0Ответ: k= -3

Учитель:    Какие знания вы применяли при выполнении данных заданий?

В чем заключается геометрический смысл производной? Производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси  и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой :                 и     Геометрический смысл:  k = f¹(х)

Учитель:    Теперь поработаем с графиками:

а) На рисунке изображен график функции у = f (х) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀ 

                   

Ответ: 4.                                                                  Ответ: -1.

 

Ответ: 2)

 

Ответ: 2)                           Ставим баллы за ответы в оценочные листы.

8.  Физический смысл производной.

Учитель:    Что вам необходимо знать о производной, чтобы решить данную задачу?       На слайде 5

Материальная точка движется прямолинейно по закону  s(t) = 6t² - 48t + 17, где  s(t) — расстояние от точки отсчета в метрах,   t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени  t = 9с.        

Ответ учащихся: Необходимо знать физический смысл производной: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.   

Учитель:  вызвать желающего решить к доске.       

Решение.

1. Найдем производную функции   s(t)=6t² – 48t +17:

s¹(t) = 12t – 48

2. Найдем значение производной в точке t = 9: s¹(9)=12*9 – 48=60

           Ответ: 60 м/с.              Оцените свою работу на уроке (лист самооценки).

Учитель: Давайте вспомним, что характеризует  производная в физике? Учащиеся: В физике производная характеризует скорость прямолинейного движения.

 III. Применение знаний и умений в новой ситуации.

1.     Учитель:     а в каких науках вы ещё можете встретить задачи на скорость?

Учащиеся: на уроке химии – скорость химической реакции.

Вопрос: Какое определение  в химии вы даете скорости химической реакции? И как это записать?

Учащиеся: Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени.   Если С=С(t),где С-концентрация некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t. Отношение приращения ∆С/∆t- есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆t.

Учитель:     А как записываете?    ( ∆С/∆t ) 

На языке математики концентрация – это функция, а время – аргумент.

Скорость химической реакции v(t) = С’(t) производной концентрации вещества, вступившего в химическую реакцию.

Учитель: Какой вывод можно сделать? Мы с вами вывели химический смысл производной, теперь решая химические задачи на нахождение скорости химической реакции вы будете использовать производную.  Давайте попробуем решить задачу: (слайд) Пусть количество вещества,  вступившего в химическую реакцию,  задается зависимостью:    C(t) = t²/2 + 3t –3 (моль).
Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

      Решение:

v (t) = C‘(t);             v (t) = t + 3;         v (3) = 3+3 = 6.        Ответ: 6 моль/с.

Учитель: С точки зрения химиков важно изучать скорость химической реакции?

Ученики: Скорость химической  реакции –важна химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно,  другие идут очень медленно.

2.                 Применяется ли производная  в других областях науки? На этот вопрос помогут  ответить  3 группы (лабораторий), которые работали дома по применению производной в различных отраслях науки.

1-я группа  - применение производной в биологии;

2-я группа – применение производной в географии;

3-я группа – применение производной в экономике;

Слово предоставляем исследователям. (Выступление групп).

1-я группа - Биологический смысл производной.

Биологический смысл производной связан с популяциями. Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой.

Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у = x(t). Пусть ∆t - промежуток времени от некоторого начального значения t до t+∆t. Тогда  ∆у = x(t+∆t)-x(t) изменение числа особей организмов. Отношение ∆у/∆t - является средней скоростью размножения или, как принято говорить, средней производительностью жизнедеятельности популяции.

На языке математики популяция микроорганизмов – это функция, а время – аргумент.

ВЫВОД:  Значит,  скорость роста популяции есть производная   численности популяции в момент времени t.

Слайд13:  Задача: Пусть зависимость между числом особей популяции микрooрганизмов   x(t)   и временем  t её размножения задана уравнением:         x (t) = 3000 + 100t².              Найти скорость роста популяции    в момент t = 1 c.

2-я группа- «Географический смысл производной» заключается в росте численности населения. Предлагаю вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.

Пусть у = у(t)- численность населения.

Рассмотрим прирост населения за  Dt=t-t₀

Dy=k *Dt, где  к=к_р – к_с –коэффициент прироста                                                                                                                                                                                                                                    

(к_р – коэффициент рождаемости,  (к_с – коэффициент смертности)

Dy/Dt=k

При Dt®0 получим lim Dy/Dt=у’ (t)      Вывод: Рост численности населения равен производной численности населения в момент времени t.             

3-я группа - «Экономический смысл производной»

Экономический смысл производной связан с производительностью труда. Производительность труда измеряется количеством продукции, выпущенной работником за какое-то время.  В экономике очень часто объем произведенной продукции задается формулой. Например, пусть объем продукции выпущенной в течение дня задан формулой  у = -2t³ +10t² +50t – 16, где t – время, выраженное в часах.  Для нахождения производительности труда в определенный промежуток времени t0, необходимо найти предельное значение средней производительности за период времени Δt, т.е. у´(t).

На языке математики производительность - функция, а время - аргумент.

 ВЫВОД: производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции.  

Задача: Вычислить  производительность  труда во время каждого часа работы, при условии, что объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией у = -2t³ +10t² +50t – 16, t– время (ч).

Решение: 1. Найдем производную у´(t) = -6t² +20t + 50

2. Найдем значение производной в течение каждого часа:

t=1  y’(1) = -6*1² +20*1 + 50= 64

 t=2  y’(2) = -6*2² +20*2 + 50= 66

t=3  y’(3) = -6*3² +20*3 + 50= 56

t=4  y’(4) = -6*4² +20*4 + 50= 34

t=5 y’(5) = -6*5² +20*5 + 50= 0            Вывод: После второго часа работы производительность работы начинает падать. Такой результат является следствием усталости, ухудшением условий в помещении и много других факторов, влияющих на производительность труда. Можно сделать вывод, что продуктивными являются первые два часа работы.

Предлагаю вам в качестве домашнего задания задачи:

Вычислить  производительность  труда во время первых 4 часов работы, если объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией и сделать выводы.

1 группа: у = -t³ +10t² +40t – 16,  t– время, ч.

 2 группа: у = -2t² +10t+50,  t– время, ч.

3 группа: у = -3t³ +20t² +100t – 6,  t– время, ч.

 4 группа: y = -0,5t³ + 20t² + 30t -4,  t- время, ч.

Учитель: Сделайте вывод «Производная, всемогущая?»

Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники».

10.Теперь повторим свойства функций и свойства производных

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x).

1)    На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂, ..., x₉.  Среди этих точек найдите все точки, в     которых производная функции y = f(x) отрицательна.

2)По графику функции y=f¹(x) ответьте на вопросы:

Сколько точек максимума имеет эта функция?    (1)      назовите её?

Для этого определим знак производной на каждом из трёх интервалов. На интервале   -7< х<- 4 производная положительна – значит, на этом интервалах функция возрастает. На интервале

-4<х<0 производная отрицательна – значит, на этом интервале функция убывает. Значит х= - 4 - точка максимума

2. Назовите точки минимума функции.  (0)

На интервале  -4<х<0 производная отрицательна – значит, на этом интервале функция убывает. На интервале   0< х< 7 производная положительна – значит, на этом интервале функция возрастает. Значит,  х = 0 – точка минимума.

3.Сколько промежутков возрастания у этой функции?  (2)

4. Найдите длину промежутка убывания этой функции. (4) На интервале

-4<х<0 производная отрицательна – значит, на этом интервале функция убывает

III. Подведение итогов урока.  Выставление оценок.

Вы замечательно поработали. Надеюсь, этот материал вы не забудете, он пригодится вам в конце учебного года и на ЕГЭ.

- Вспомните, каковы были цели, поставленные нами в начале урока?

- Достигнуты ли цели?

- Что удалось?

- Какой этап урока вам показался наиболее интересным?

- Что не получилось?

Понравился ли вам урок?  Вернемся к оценочным листам, те, кто набрал от 10-12 баллов получают «5»,8-10 – «4»                  ДЗ вы получили.

Молодцы! Я хочу пожелать, чтобы у вас была только положительная производная, чтобы знания ваши только возрастали.

И в заключение  урока  я хочу вам прочитать стихотворение:

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись – радовать глаз,

Поэзия - пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,

а математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик   Морис Клайн.

Урок окончен. Спасибо за работу!