Краевое
Государственное Казенное Общеобразовательное Учреждение
«Вечерняя
(сменная) Общеобразовательная Школа №1»
Открытый
урок по геометрии
«Правильные
многогранники»
для
учащихся 11 классов
Разработал:
учитель математики
Ремизов
Валерий Александрович
Рубцовск
2020
Тип урока:
Изучение нового материала.
Цель: Познакомить
учащихся с новым типом выпуклых многогранников – правильными многогранниками.
Задачи:
Образовательные: дать
понятие правильных многогранников, выяснить сколько их существует, каковы их
названия и где они применяются.
Воспитательные: воспитывать культуру взаимоотношений в группе,
способствовать развитию устойчивого интереса к математике через применение
информационных технологий.
Развивающие: способствовать развитию логического
мышления, выражать речью результаты мыслительной деятельности, способствовать
овладению учащимися умениями практической самостоятельной работы.
План урока
1 Организационный этап
Здравствуйте!
Сегодня у нас открытый урок. К нам в гости пришли директор школы, заместители
директора, учителя математики. Есть в школьной геометрии такие темы, которые
ждёшь с нетерпением. К таким темам можно отнести «Многогранники». Здесь не
только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих
неповторимыми свойствами. Ни одни геометрические тела не обладают таким
совершенством и красотой, как многогранники. На уроке мы узнаем много
интересного, нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например, какие
многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова
характеристика? И многие – многие другие вопросы. А начать мне бы хотелось со
связи космоса с математикой.
Существует
гипотеза, в соответствии с которой Земля является огромным кристаллом. Впервые
предложение о том, что Земля не шар, а кристалл – твёрдое тело, имеющее
упорядоченное, симметричное строение, высказали греческие учёные: математик
Пифагор и философ Платон. Современная наука и исследования космоса опровергли
данную гипотезу. А из каких фигур состоит модель Земли? А какие из них являются
фигурами на плоскости? А какие в пространстве?
Каким
общим словом можно назвать такие фигуры? (многогранники).
Правильно,
откройте тетради, запишите число и тему сегодняшнего урока: «Правильные
многогранники».
2 Актуализация опорных знаний
На сегодняшний день вы уже имеете
первоначальные сведения из геометрии. Давайте с вами вспомним, с чего
начинается изучение геометрии. (С точки, прямой, отрезка, луча, угла,
окружности).
Назовите фигуры, которые можно
отнести к фигурам на плоскости (треугольник, квадрат, прямоугольник, трапеция),
к фигурам в пространстве (параллелепипед, куб, пирамида).
А теперь давайте вспомним, что мы
называем правильными многоугольниками (это многоугольники, у которых все
стороны и все углы равны). Приведите примеры (квадрат, пятиугольник).
Многоугольники простейшие фигуры на
плоскости. Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве.
Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа
многоугольников, называемых гранями. Многогранники бывают выпуклыми и
невыпуклыми. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от любой плоскости,
содержащей любую его грань. А у невыпуклого многогранника можно отыскать такую
грань, что проходящая через неё плоскость «разрежет» его на части.
Сейчас внимание! Тест:
«Многогранники» (слайд 10)
1
Боковыми гранями пирамиды являются:
А)
параллелограммы
Б)
треугольники
В)
квадраты
2
Четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы,
называется:
А)
квадрат
Б)
параллелограмм
В)
параллелепипед
3
Многогранники бывают
А)
вогнутыми
Б)
выпуклыми
В)
выгнутыми
4
Выберите верное утверждение:
А)
концы ребер многоугольника называют основой
Б)
концы рёбер многоугольника называют вершинами
В)
начала рёбер многоугольника называют вершинами
5
Боковая поверхность призмы состоит из:
А)
треугольников
Б)
ромбов
В)
параллелограммов
Ответы: (слайд 11)
3 Изучение нового материала.
Выпуклый многогранник называется
правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем
же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число
рёбер.
Существует пять типов правильных
выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр,
икосаэдр.
У правильного тетраэдра грани –
правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр
представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.
У куба все грани – квадраты; в каждой
вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный
параллелепипед с равными рёбрами.
У октаэдра грани – правильные
треугольники, но в отличии от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре
ребра.
У додекаэдра грани – правильные пятиугольники.
В каждой вершине сходится по три ребра.
У икосаэдра грани – правильные
треугольники, но в отличии от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по
пять рёбер.
Почему же правильные многогранники
получили такие имена? Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и
в них указывается число граней:
«эдра» - грань,
«тетра» - 4,
«гекса» - 6,
«окта» - 8,
«додека» - 12,
«икоса» - 20.
Правильные
многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили
название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до
н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь)
определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух —
октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных
ассоциаций были следующие причины:
- жар огня
ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры);
- воздух состоит
из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом
можно почувствовать;
- вода выливается,
если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к
которым ближе всего икосаэдры);
- в
противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю,
что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность
плавному току воды.
По поводу пятого элемента,
додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его
бог определил для Вселенной и прибегнул к нему
в качестве образца»
Итак,
существует пять видов многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр,
икосаэдр. Запишите в тетрадях названия этих правильных выпуклых многогранников.
|
4 Закрепление изученного материала.
Изучая любые многогранники, естественнее всего
подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы
число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в
таблицу.
|
Правильный многогранник
|
Число
|
|
граней
|
вершин
|
рёбер
|
|
Тетраэдр
|
4
|
4
|
6
|
|
Куб
|
6
|
8
|
12
|
|
Октаэдр
|
8
|
6
|
12
|
|
Додекаэдр
|
12
|
20
|
30
|
|
Икосаэдр
|
20
|
12
|
30
|
|
Правильный
многогранник
|
Число
|
|
граней и
вершин
(Г + В)
|
рёбер
(Р)
|
|
Тетраэдр
|
4 + 4 = 8
|
6
|
|
Куб
|
6 + 8 = 14
|
12
|
|
Октаэдр
|
8 + 6 = 14
|
12
|
|
Додекаэдр
|
12 + 20 = 32
|
30
|
|
Икосаэдр
|
20 + 12 = 32
|
30
|
Анализируя
таблицу можно увидеть закономерность. Сформулируем её так: «Сумма числа
граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2», или
Г + В = Р +
2. Запишите в тетрадь.
Доказал
это удивительное соотношение один из величайших математиков Леонард Эйлер
(1707 – 1783), поэтому формула названа его именем: формула Эйлера. Этот
гениальный учёный, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России, и
мы с полным основанием и гордостью можем считать его соотечественником.
Самое удивительное в этой формуле, что она верна не
только для правильных многогранников, но и для всех многогранников!
Для закрепления изученного материала решим две
задачи, которые я для вас подобрал. Будем работать по группам.
1 группа – 1 задача, 2 группа – 2 задача. (слайд 15)
Задача 1. Из каждой
вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и
граней, если число рёбер равно 12?
Решение: (слайд 16)
Пусть у данного многогранника будет В
вершин, Р рёбер и Г граней. Тогда 3В = 2Р, учитывая, что Р = 12, имеем: В =
8. По теореме Эйлера
Г = 2 – В + Р, Г = 2 – 8 + 12 = 6.
Таким
образом, у данного выпуклого многогранника В = 8, Р = 12, Г = 6. Примером
такого многогранника является куб.
Задача 2. Из каждой
вершины выпуклого многогранника выходит четыре ребра. Сколько он имеет вершин
и граней, если число рёбер равно 12?
Решение: (слайд 16)
Пусть у данного многогранника будет В
вершин, Р рёбер и Г граней. Тогда 4В = 2Р, учитывая, что Р = 12, имеем: В =
6. По теореме Эйлера
Г = 2 – В + Р, Г = 2 – 6 + 12 = 8.
Таким
образом, у данного выпуклого многогранника В = 6, Р = 12, Г = 8. Примером
такого многогранника является октаэдр.
Молодцы!
Вы успешно справились с этим заданием.
|
|
|
|
5 Домашнее задание.
а) В учебнике на странице
68 повторить определение многогранника, какой многогранник называется выпуклым;
б) на странице 80
определение правильного многогранника, типы правильных многогранников;
в) на странице 81 теорему
Эйлера;
г) на странице 88, 90
решить №№ 57, 83.
6 Подведения итогов
занятия.
Вернемся к целям и
задачам урока, которые себе поставили. Давайте отметим то, что у нас получилось,
с какими новыми геометрическими телами мы сегодня познакомились? Все молодцы,
вы активно работали на разных этапах занятия.
7 Рефлексия (слайд 18).
- Что нового вы узнали на
уроке?
- С какими трудностями вы
столкнулись?
- Какие приятные ощущения
вы испытали?
И закончить сегодняшний
урок мне хотелось бы словами Бертрана Рассела: «Математика владеет не только
истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно
чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь
величайшим образцам искусства».
)
Урок
закончен. Спасибо всем!
Оценочный
лист (Ф.И.)
|
№
|
Задания
|
«2»
|
«3»
|
«4»
|
«5»
|
|
1
|
Тест «Многогранники».
«5» - 5 ответов
«4» - 4 ответов
«3» - 2 – 3 ответа
|
|
|
|
|
|
2
|
Решение задач.
«5» -задача решена полностью
«4»- задача решена полностью, но
обоснования шагов решения недостаточны
«3»- допущено более двух- трёх недочетов
|
|
|
|
|
|
3
|
Устные ответы.
«5»- 7 ответов
«4»- 6 ответов
«3»- 4 – 5 ответов
|
|
|
|
|
|
Оценка
за урок
|
|
|
|
|
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.