Перпендикулярность в пространстве (10 класс)

• 1 слайд

  МОУ СОШ № 7
  Подготовила:
  Ученица 10 класса «б»
  Лаврова Дарья
  Учитель:
  Архипова Елена Сергеевна
  Перпендикулярность
  в пространстве
  Интеллектуальный марафон по геометрии
  

• 2 слайд

  Перпендикулярность
  в жизни
  

• 3 слайд

• 4 слайд

• 5 слайд

• 6 слайд

• 7 слайд

• 8 слайд

  Перпендикулярность в
  плоскостях
  

• 9 слайд

• 10 слайд

• 11 слайд

• 12 слайд

• 13 слайд

  Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900.
  a
  b
  c
  Перпендикулярные прямые a и b пересекаются, а перпендикулярные прямые a и c скрещиваются.
  

• 14 слайд

  Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
  Параллельные прямые,
  перпендикулярные
  к плоскости
  

• 15 слайд

  a
  α
  

• 16 слайд

  ТЕОРЕМА
  Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
  a
  a1
  x
  α
  

• 17 слайд

  ТЕОРЕМА
  Если две прямые перпендикулярны
  к плоскости,
  то они параллельны.
  

• 18 слайд

  Признак перпендикулярности
  прямой и плоскости
  

• 19 слайд

• 20 слайд

  Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежавшим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
  Рассмотрим прямую a, которая перпендикулярна к прямым p и q, лежавшим в плоскости α и пересекающимся в точке О.
  a
  .
  q
  O
  α
  m
  p
  Докажем, что a перпендикулярна α. Для этого нужно доказать, что прямая a перпендикулярна к произвольной прямой m плоскости α.
  

• 21 слайд

  Рассмотрим случай, когда прямая а проходит через точку О. Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m (если прямая m проходит через точку О, то в качестве l возьмем саму прямую m).
  l
  m
  .
  O
  α
  Отметим на прямой а точку А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, и проведем в плоскости α прямую, пересекающую прямые p, q и l соответственно в точках P, Q и L.
  Будем считать, для определенности, что точка Q лежит между точками P и L.
  а
  А
  В
  р
  q
  P
  Q
  L
  

• 22 слайд

  l
  m
  .
  O
  α
  а
  А
  В
  р
  q
  P
  Q
  L
  Так как прямые p и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР = ВР и AQ = BQ. Следовательно, ∆APQ = ∆BPQ по трем сторонам. Поэтому угол APQ = углу BPQ.
  Сравним ∆APL и ∆BPL. Они равны по двум сторонам и углу между ними (AP = BP, PL – общая сторона, угол APL = углу BPL), поэтому AL = BL. Но это означает, что треугольники ABL равнобедренный и его медиана LO является высотой, т. е. l перпендикулярна к а. Так как l ║ m и l перпендикулярна а, то m перпендикулярна а (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третей). Итак, прямая а перпендикулярна к любой прямой m плоскости α, т. е. а перпендикулярна α.
  

• 23 слайд

  l
  m
  .
  O
  α
  а
  А
  В
  р
  q
  P
  Q
  L
  Рассмотрим теперь случай, когда прямая а не проходит через точку О. Проведем через точку О прямую а1, параллельную прямой а. По упомянутой лемме а1 перпендикулярна к р и а1 перпендикулярна к q, поэтому по доказанному в первом случае а1 перпендикулярна α.
  ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА.