План урока "Повторение. Решение показательных уравнений" 11 класс

Тема урока: «Повторение. Решение показательных уравнений».

Цели урока:

• Обучающие:
• повторить основные способы решений показательных уравнений
• Развивающие:
• Развивать вычислительные навыки;
• развивать навыки самостоятельного применения знаний в знакомой и измененной ситуации;
• учить анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Повторение и актуализация опорных знаний.
3. Тест по проверке умения решать простейшие показательные уравнения Проверка теста.
4. Подведение итогов. Задание на дом.

ХОД УРОКА

1 этап - мотивационно - ориентировочный

Здравствуйте, ребята. Сегодня у нас необычный урок, потому что у нас   гости. «Гости в дому — это к добру!». Посмотрите друг на друга, улыбнитесь, и пожелайте мысленно  своим друзьям удачи! 

Открыли тетради, записали число, классная работа.

2 этап – устная разминка.

Определите вид уравнения и выполните его решение.

Уравнений, какого вида было больше в нашей устной разминке?

Запишите тему нашего урока «Повторение. Решение показательных уравнений»

Какие цели урока поставим перед собой исходя из темы?

 Эпиграфом нашего урока я взяла высказывание великого французского ученого Рене Декарта «Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять» …

 У вас на столах лежат листы достижений. К концу урока вы их заполните и вернете мне.

Итак, начинаем.

Показательные уравнения всегда были в экзаменационном материале выпускных и вступительных экзаменов. И в современных контрольно-измерительных материалах ЕГЭ эти задания присутствуют, как в первой, так и во второй частях. Несмотря на кажущуюся простоту, эти задания не решают около 30% учащихся.

Вопросы для учащихся:

1.      Какие уравнения называют показательными?

2.      Что значит решить уравнение?

3.      Свойства степеней:

 закончите свойство:

             

4.      Напомните методы решения показательных уравнений (Сообщения учащихся: Тарасова Л

Карапетян С   Щукина Ю  Ищенко А)

·        Метод уравнивания показателей, когда уравнение вида заменяют равносильным .

Пример 1: решить уравнение: .

Решение: . Это уравнение равносильно уравнению 2х-4=6, откуда х=5.

Ответ: 5.

При решении этим  методом самая большая трудность  - это увидеть степень числа.

Степени некоторых чисел надо знать в лицо, да... Потренируемся?

1.Определить, какими степенями, и каких чисел являются числа:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Ответы (в беспорядке, естественно!):

5⁴; 2¹⁰; 7³; 3⁵; 2⁷; 10²; 2⁶; 3³; 2³; 2¹; 3⁶; 2⁹; 2⁸; 6³; 5³; 3⁴; 2⁵; 4⁴; 4²; 2³; 9³; 4⁵; 8²; 4³; 8³.

Если приглядеться, можно увидеть странный факт. Ответов существенно больше, чем заданий! Что ж, так бывает... Например, 2⁶, 4³, 8² - это всё 64.

·        Метод введения новой переменной.

Пример 2: решить уравнение .

Решение: пусть , тогда уравнение примет вид: . Решив это уравнение, получим: а = 4, a= - 6. Вернемся к замене: или . Из первого уравнения находим, что х=2, а второе уравнение решений не имеет. Кстати, объясните почему.

Ответ: 2.

·         Метод почленного деления.

  . Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени n и дальнейшей заменой переменных. Нужно всегда помнить, что делить (и умножать) на переменную мы можем только тогда, когда мы уверены, что эта переменная не может быть равна 0.

·         Пример 3: решить уравнение .

Решение: Для решения этого однородного уравнения применяем следующий прием: разделим обе части на . Получим равносильное ему уравнение: . Введем новую переменную , получим квадратное уравнение , решив которое найдем , .Оба корня удовлетворяют условию  a > 0. Возвращаясь к замене, получим  и .

Ответ: , .

Функционально-графический метод

= х+1

- Рассмотрим функции у = и у = х + 1. Первая убывающая, а вторая возрастающая. Значит, графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке. Поэтому данное уравнение имеет не более одного корня, который можно подобрать подбором.

х = 0

Итак, мы повторили 3 возможных способа решения показательных уравнений. Применим полученные знания на практике.

Уравнения из первой части (задание №5 (№7) где представлены простейшие уравнения)

Самостоятельно решите уравнения и сравните полученные ответы с образцом:

а)      б) 2^{х – 2} = – 2        в)     г)    д)

Учащиеся выполняют самостоятельно, затем ответы сверяем, объясняя ход решения. Ответы:

 а) 0, б) корней нет, в) 4, г) -2, д) 0,75.

Группа, сдающая базовый уровень, выполняет задание №4 с листа самоконтроля.

С тремя группами разбираем решение следующих заданий.

 Задание №10 второй части (здесь представлены задачи с  прикладным содержанием)

1. В ходе рас­па­да ра­дио­ак­тив­но­го изо­то­па его масса умень­ша­ет­ся по закону , где  – на­чаль­ная масса изо­то­па,  – время, про­шед­шее от на­чаль­но­го мо­мен­та,  – пе­ри­од по­лу­рас­па­да. В на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни масса изо­то­па 40 мг. Пе­ри­од его по­лу­рас­па­да со­став­ля­ет 10 мин. Най­ди­те, через, сколь­ко минут масса изо­то­па будет равна 5 мг.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства  при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров  мг и  мин:

 мин.

Ответ: 30.

2. Урав­не­ние про­цес­са, в ко­то­ром участ­во­вал газ, за­пи­сы­ва­ет­ся в виде , где p (Па) — дав­ле­ние в газе, V — объeм газа в ку­би­че­ских мет­рах, a — по­ло­жи­тель­ная кон­стан­та. При каком наи­мень­шем зна­че­нии кон­стан­ты a уве­ли­че­ние в 16 раз объeма газа, участ­ву­ю­ще­го в этом про­цес­се, при­во­дит к умень­ше­нию дав­ле­ния в 32 раза?

Ре­ше­ние.

Пусть  и  – на­чаль­ные, а  и  – ко­неч­ные зна­че­ния объ­е­ма и дав­ле­ния газа, со­от­вет­ствен­но. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства , при­чем 

Ответ: 1,25.

 «Сегодня мы учимся вместе: я, ваш учитель, и вы, мои ученики. Но в будущем ученик должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса», - сказал Василий Александрович Сухомлинский,  советский педагог.

Проверка работы первой группы

3	3	0	0	2

Остальные группы работают самостоятельно (один учащийся выполняет решение на  крыле доски)

 задание №13 второй части

 а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

Ре­ше­ние.

а) Раз­ло­жим левую часть на мно­жи­те­ли:

б) По­сколь­ку  от­рез­ку  при­над­ле­жит толь­ко ко­рень 

Ответ: а)  б) 

а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­ще­го от­рез­ку 

Ре­ше­ние.

а) За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде:

Зна­чит, или  что не­воз­мож­но, или  от­ку­да  или 

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

По­лу­чим числа: 

Ответ: а)   б) 

7. Подведение итогов: В заключение давайте сформулируем несколько советов, которые обязательно пригодятся вам при решении показательных уравнений.

Практические советы:

1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без переменной тоже можно превращать в степени!

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То, что можно посчитать в числах - считаем.

3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".

Домашнее задание: составить тест из 5 заданий по данной теме.

Рефлексия

и последний вопрос: График, какой функции изображен у вас на листочках?

            Выразите свое отношение к уроку. Поставьте смайлик в том месте графика, которое отражает ваши ощущения на уроке: чувствовали ли вы себя на гребне волны или же, наоборот, в самой нижней точке.

Предлагаю закончить урок словами чешского педагога Яна  Амоса Коменского: «Считай несчастным тот день и тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию».

Спасибо за хорошую работу на уроке. До свидания.

 

группы

Царикова А Евлоева А Тарасова Л Леденева Я Карапетян С.	Тенячкина В. Слукина С. Слепокурова А. Володина В.
Ищенко А. Чупраков А Бекетов А Хахти Д	Полянская Т Чеглова А. Щукина В. МедведеваА

Лист самоконтроля

Ф.И.  Тарасова Лиля

№ задания	1	2	3	4	ИТОГО	ОЦЕНКА
Кол-во баллов

Задание№1 – 1 ошибка - 4 балла; 2 ошибки  -3балла (максимум –5 баллов)

Задание №2 - 1 ошибка - 4 балла; 2 ошибки  -3балла (максимум –5 баллов)

Задание№3  – по 1 баллу (максимум – 5баллов)

Задание№4  – по 1 баллу (максимум – 5баллов)

18 баллов и выше - оценка «5»

15-17 баллов - оценка «4»

14-12 баллов - оценка «3»

Ниже 12 баллов - без оценки.

Задание №1

Закончите свойство:

1)           2)           3)             4)           5)            6)        7)

Задание №2

Определить, какими степенями, и каких чисел являются числа

	2	8	16		27	32	64	81	100		125	128	216	243	256	343	512	625	729
степень
буква

Ответы (в беспорядке, естественно!):  О-5⁴; 2¹⁰; Е-7³; У-3⁵; 2⁷; Р- 10²; У-2⁶; В-3³; Г-2³; Е-2¹; 3⁶; Г-2⁹; 2⁸; Д-6³; Б-5³; О-3⁴; Ы-2⁵; Щ-4⁴; Э-4²; !-9³; 4⁵; Б-8²; 4³; 8³.

Задание №3

а)     б) 2^{х – 2} = – 2        в)     г)    д)

Задание №4

Решите уравнения:

1)

2)  

3)

4)

5)                  

Лист самоконтроля

Ф.И.  Царикова Алина

№ задания	1	2	3	4	ИТОГО	ОЦЕНКА
Кол-во баллов

Задание№1 – 1 ошибка - 4 балла; 2 ошибки  -3балла (максимум –5 баллов)

Задание №2 - 1 ошибка - 4 балла; 2 ошибки  -3балла (максимум –5 баллов)

Задание№3  – по 1 баллу (максимум – 5баллов)

Задание№4  – по 1 баллу (максимум – 5баллов)

18 баллов и выше - оценка «5»

15-17 баллов - оценка «4»

14-12 баллов - оценка «3»

Ниже 12 баллов - без оценки.

Задание №1

Закончите свойство:

1)           2)           3)             4)           5)            6)        7)

Задание №2

Определить, какими степенями, и каких чисел являются числа

	2	8	16		27	32	64	81	100		125	128	216	243	256	343	512	625	729
степень
буква

Ответы (в беспорядке, естественно!):  О-5⁴; 2¹⁰; Е-7³; У-3⁵; 2⁷; Р- 10²; У-2⁶; В-3³; Г-2³; Е-2¹; 3⁶; Г-2⁹; 2⁸; Д-6³; Б-5³; О-3⁴; Ы-2⁵; Щ-4⁴; Э-4²; !-9³; 4⁵; Б-8²; 4³; 8³.

Задание №3

а)     б) 2^{х – 2} = – 2        в)     г)    д)

Задание №4

Решите уравнения:

1)

2)  

3)

4)

5)          

Лист самоконтроля

Ф.И.  Евлоева Асет

№ задания	1	2	3	4	ИТОГО	ОЦЕНКА
Кол-во баллов

Задание№1 – 1 ошибка - 4 балла; 2 ошибки  -3балла (максимум –5 баллов)

Задание №2 - 1 ошибка - 4 балла; 2 ошибки  -3балла (максимум –5 баллов)

Задание№3  – по 1 баллу (максимум – 5баллов)

Задание№4  – по 1 баллу (максимум – 5баллов)

18 баллов и выше - оценка «5»

15-17 баллов - оценка «4»

14-12 баллов - оценка «3»

Ниже 12 баллов - без оценки.

Задание №1

Закончите свойство:

1)           2)           3)             4)           5)            6)        7)

Задание №2

Определить, какими степенями, и каких чисел являются числа

	2	8	16		27	32	64	81	100		125	128	216	243	256	343	512	625	729
степень
буква

Ответы (в беспорядке, естественно!):  О-5⁴; 2¹⁰; Е-7³; У-3⁵; 2⁷; Р- 10²; У-2⁶; В-3³; Г-2³; Е-2¹; 3⁶; Г-2⁹; 2⁸; Д-6³; Б-5³; О-3⁴; Ы-2⁵; Щ-4⁴; Э-4²; !-9³; 4⁵; Б-8²; 4³; 8³.

Задание №3

а)     б) 2^{х – 2} = – 2        в)     г)    д)

Задание №4

Решите уравнения:

1)

2)  

3)

4)

5)     

Лист самоконтроля

Ф.И._________________________________________

№ задания	1	2	3	4	5	ИТОГО	ОЦЕНКА
Кол-во баллов

Задание№1 – 1 ошибка - 4 балла; 2 ошибки  -3балла (максимум –5 баллов)

Задание №2 - 1 ошибка - 4 балла; 2 ошибки  -3балла (максимум –5 баллов)

Задание№3  – по 1 баллу (максимум – 5баллов)

Задание№4  – 2 балла

Задание№5  -  3 балла (если решили под буквой а); 5баллов (если решили под буквой аи б), (максимум – 5баллов)

20 баллов и выше - оценка «5»

19-17 баллов - оценка «4»

16-14 баллов - оценка «3»

Ниже 14 баллов - без оценки.

Задание №1

Закончите свойство:

1)           2)           3)             4)           5)            6)        7)

Задание №2

Определить, какими степенями, и каких чисел являются числа

	2	8	16		27	32	64	81	100		125	128	216	243	256	343	512	625	729
степень
буква

Ответы (в беспорядке, естественно!):  О-5⁴; 2¹⁰; Е-7³; У-3⁵; 2⁷; Р- 10²; У-2⁶; В-3³; Г-2³; Е-2¹; 3⁶; Г-2⁹; 2⁸; Д-6³; Б-5³; О-3⁴; Ы-2⁵; Щ-4⁴; Э-4²; !-9³; 4⁵; Б-8²; 4³; 8³.

Задание №3

а)     б) 2^{х – 2} = – 2        в)     г)    д)

Задание №4

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде , где  (Па) – давление в газе,  – объeм газа в кубических метрах, a – положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?

Задание№5 

 а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

Лист самоконтроля

Ф.И._________________________________________

№ задания	1	2	3	4	5	ИТОГО	ОЦЕНКА
Кол-во баллов

Задание№1 – 1 ошибка - 4 балла; 2 ошибки  -3балла (максимум –5 баллов)

Задание №2 - 1 ошибка - 4 балла; 2 ошибки  -3балла (максимум –5 баллов)

Задание№3  – по 1 баллу (максимум – 5баллов)              Задание№4  – 2 балла

Задание№5  -  3 балла (если решили под буквой а); 5баллов (если решили под буквой аи б), (максимум – 5баллов)

20 баллов и выше - оценка «5»

19-17 баллов - оценка «4»

16-14 баллов - оценка «3»

Ниже 14 баллов - без оценки.

Задание №1

Закончите свойство:

1)           2)           3)             4)           5)            6)        7)

Задание №2

Определить, какими степенями, и каких чисел являются числа

	2	8	16		27	32	64	81	100		125	128	216	243	256	343	512	625	729
степень
буква

Ответы (в беспорядке, естественно!):  О-5⁴; 2¹⁰; Е-7³; У-3⁵; 2⁷; Р- 10²; У-2⁶; В-3³; Г-2³; Е-2¹; 3⁶; Г-2⁹; 2⁸; Д-6³; Б-5³; О-3⁴; Ы-2⁵; Щ-4⁴; Э-4²; !-9³; 4⁵; Б-8²; 4³; 8³.

Задание №3

а)     б) 2^{х – 2} = – 2        в)     г)    д)

Задание №

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде , где  (Па) – давление в газе,  – объeм газа в кубических метрах, a – положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?

Задание№5  а) Ре­ши­те урав­не­ние 

 б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­ще­го от­рез­ку