Подготовка к ОГЭ "Обучение решению квадратных неравенств"

Задания для самостоятельного решения

Решить неравенство:

1.  - 2х² + Зх + 9 < 0

2. Зх² - 10х + 3 < 0. 

3. 3 х + 9< 2х²

4. 12 > 2x² + 5x

5. (x – 3)(x +4) > 0

6. 25 – x² > 0

7. 2x² – x > 0

8. На каком из рисунков изображено решение неравенства 25 x²>49? 

            

                                                                                   -1,4

9. Решите неравенство x²−64>0.   1) (−∞;+∞) 2) (−8;8) 3) (−∞;−8)∪(8;+∞) 4) нет решений

10. Решите неравенство x²−36>0.  1) (−∞;+∞) 2) (−∞;−6)∪(6;+∞) 3) (−6;6) 4) нет решений

11.  Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?

               1) x²+25≤0 2) x²+25≥0 3) x²−25≤0 4) x²−25≥0

12. На каком из рисунков изображено решение неравенства 4x− x²≤0?

            

13. На каком рисунке изображено множество решений неравенства x²+9x+20<0? 

          

14. Укажите неравенство, которое не имеет решений.

  1) x²+6x+12>0  2) x²+6x+12<0  3) x²+6x−12<0  4) x²+6x−12>0

15. Укажите неравенство, решением которого является любое число.

 1) x²−92≥0  2) x²−92≤0  3) x²+92≤0 4) x²+92≥0

16. Найти все значения р для которых  неравенство    

   выполняется при всех х.

17. При каких значениях а неравенство х²+(2а+4)х+8а+10  выполняется при всех значениях  х?

18. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором неравенство    верно для любого действительного х:

а) 3х² – 18 х  ≥а;         б) 2х² + 4х – 4  ≥ а;   в)(1 – а) х² – х + а  ≥ 0

Решение квадратных неравенств.

Квадратные неравенства – это неравенства вида

ax²+bx+c>0, ax²+bx+c<0, ax²+bx+c≤0,  ax²+bx+c≥0, где а0.

         Нужно выделить ещё неполные квадратные неравенства:

ax² >0, ax²+bx >0, ax² +c>0,

ax² <0, ax²+bx <0, ax² +c<0,

ax² ≥0, ax²+bx ≥0, ax² +c≥0,

ax² ≤0, ax²+bx ≤0, ax² +c≤0, где а0.

Решить квадратное неравенство можно методом интервалов:

Рассмотрим алгоритм решения на примере.

Пример 1. Решить неравенство -2х²-5х+3>0

1.      найти корни соответствующего квадратного уравнения	−2х2−5х + 3=0 x1,2 = x1=,  x2= -3;
2.      нанести найденные корни на числовую прямую, учитывая строгое или нестрогое неравенство	х   -3
3.      определить знак в крайнем правом промежутке х=1  −2∙12 − 5∙1+3=−4<0 можно использовать другое правило: в крайнем правом промежутке поставить знак, по старшему коэффициенту а. а = -2 <0	− х   -3
4.      расставить знаки в остальных промежутках, используя правило чередования	х   -3              −              +                  −
5. выбрать нужный промежуток Ответ: (-3; )

Пример 2. Решить неравенство х² – 7х   < 8

х² – 7х   < 8   Приведем неравенство к стандартному виду:

х² – 7х – 8 < 0

       1. х² – 7х – 8 = 0, а =1, в= –7, с= –8

                x_1,2 =

               x₁=8,  x₂= -1;

               2, 3.  а=1>0 , значит в крайнем правом промежутке знак +

                                                                        +   

                                             - 1                8

      4.   

                                               +              –                  +   

                                             - 1                8

                      5. Ответ: ( -1; 8)

Пример 3. Решить неравенство х² – 9≥0

1.    х² – 9=0

         х² = 9

         х = -3; 3.

2, 3.

                      а=1>0 , значит в крайнем правом промежутке знак +

                                                                        +   

                                             - 3                3

             4.

                                     +                –                   +   

                                             - 3                3

             5. Ответ: (-∞; -3] [3; +∞)

Пример 4. Решить неравенство 4х ≤ -х²        

Приведем неравенство к стандартному виду:

4х ≤ -х²        

х^{2     +}    4х ≤ 0

1. х^{2     +}    4х = 0

      х (х + 4)=0

2,3.  а=1>0 , значит в крайнем правом промежутке знак +

                                                                       +   

                                               0              4

4.

                                         +                  –                +   

                                               0              4

5. Ответ: [0; 4]

Пример 5. Ука­жи­те не­ра­вен­ство, ко­то­рое не имеет ре­ше­ний

1) х² – 16≥0  2) х² – 16≤0    3) х² + 16≥0    4)  х² + 16≤0 

Решим каж­дое из не­ра­венств:

1) х² – 16≥0 

          х² = 16, х = -4; 4                                                  +            –                +   

                                                                                   -4              4

    Ответ: (-∞; -4] [4; +∞)

2) Аналогично решению 1) неравенства

Ответ: [- 4; 4]

Рассмотрим неравенство 3) х² + 16≤0 . В левой части неравенства записано выражение, которое всегда будет больше нуля (х² ≥0  и 16 >0, значит всё выражение больше нуля). По условию и требуют чтобы выражение было больше или равно нулю. То есть неравенство 3) выполняется для любого х и имеет бесконечное количество решений.

Рассмотрим неравенство 4) х² + 16≤0 . В левой части неравенства записано выражение, которое всегда будет больше нуля (х² ≥0    и 16 >0, значит всё выражение больше нуля). По условию требуют чтобы выражение было меньше или равно нулю, что естественно невозможно. То есть неравенство 4) не имеет решений.

Ответ: 4.

Пример 6. Решить неравенство 4х² - 4х + 1 ≤ 0. 
Решение.

1.  Из уравнения 4х² - 4х + 1 = 0 находим  х = 0,5. 

2,3.  Квадратный трехчлен имеет один корень х = 0,5 ;

         это значит, что корень второй  кратности

        Так как квадратное уравнение должно иметь 2  корня, а  получилось одно число,

       значит уравнение имеет два одинаковых корня или как говорят корень второй

       кратности.

В этом случае с обеих сторон от данного числа на координатной прямой сохраняется

знак.

                                                                     +                   +   

                                                                    0,5             

Ответ: 0,5. 

Пример 7. ( 2 часть) При каких значениях параметра р квадратное уравнение

х² - 5х + р² = 0: 
а) имеет два различных корня;   б) имеет один корень;  в) не имеет корней?

Решение. Число корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта D. В данном случае находим D = 25 - 4р².

а) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D>0, значит, задача сводится к решению неравенства 25 - 4р² > 0. Умножим обе части этого неравенства на -1 (не забыв изменить при этом знак неравенства). Получим равносильное неравенство 4р² - 25 < 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Знаки выражения 4(р - 2,5) (р + 2,5) указаны на рисунке

                                             +            –                +   

                                           -2,5              2,5

Делаем вывод, что неравенство 4(р - 2,5)(р + 2,5) < 0 выполняется для всех значений р из  интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

б) квадратное уравнение имеет один корень, если D = 0. 
Как мы установили выше, D = 0 при р = 2,5 или р = -2,5.

Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет только один корень.

в) Квадратное уравнение не имеет корней, если D < 0. Решим неравенство 25 - 4р² < 0.

Получаем 4р² - 25 > 0;  4 (р-2,5)(р + 2,5)>0, откуда (см. рис. 123) р < -2,5; р > 2,5. При этих значениях параметра р данное квадратное уравнение не имеет корней.

Ответ: а) при р  (-2,5, 2,5); б) при р = -2,5; 2,5;   в) при р < - 2,5 или р > 2,5.