Полный справочный материал по теме "Треугольник" для подготовки к ОГЭ

Признаки равенства треугольников
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
1. По двум катетам	3. По катету и острому углу
2. По катету и гипотенузе	4. По гипотенузе и острому углу
Теорема о сумме углов треугольника и следствия из неё.
1. Сумма внутренних углов треугольника равна .
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.
3. Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним
Неравенство треугольника. Следствия из неравенства треугольника
1. Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны.	AB < AC + BC       AC < AB + BC       BC < AB + AC
2. Против большего угла треугольника лежит большая сторона. 3. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
4. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.	AB > AC,  AB > BC
Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника.
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
4. Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.
Средняя линия треугольника.
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника.
Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.
Теоремы о медианах треугольника.
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.
Теорема о высотах треугольника.
Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Свойство биссектрисы треугольника.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.
Прямоугольный треугольник
1. Теорема Пифагора.  Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.
2. Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник - прямоугольный.
3. Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету острого угла.
4. Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к этому катету острого угла.
5. Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
6. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 300 .
7. ; , где - катеты, - гипотенуза,  и - радиусы соответственно вписанной и описанной окружности.
8. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу,
9. Катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.
Метрические соотношения в треугольнике.
1. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
2. Формула для медианы треугольника. Если mс - медиана треугольника, проведенная к стороне c, то , где a и b - остальные стороны треугольника.
3. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.	, где R – радиус, описанной около треугольника окружности
4. Обобщенная теорема синусов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.
Формулы площади треугольника.
1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.	2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
4. Площадь треугольника равна произведению трех его сторон, деленному на учетверенный радиус описанной окружности.	3. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.
5. Формула Герона.
Элементы равностороннего треугольника.
Пусть h ,S,  r, R - высота, площадь, радиусы описанной и вписанной окружности равностороннего треугольника со стороной a.	,    ,    ,     ,
Подобие треугольников
1. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.	и - подобны
2. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.	и - подобны
3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.	и - подобны
Отношение соответствующих линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия.	и - подобны
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.