Пособие для подготовки к ГВЭ по математике

Пособие для подготовки к ГВЭ по математике

                                                                          Автор: Абсалямова Е.Р.,

учитель математики.

п. Нижневартовск 2022

Предисловие

Пособие предназначено для подготовки к государственной итоговой аттестации в формате ГВЭ учащихся 7-9-х классов по математике.

Часть 1 состоит из 10 тем, каждая из которой соответствует проверяемым элементам математической подготовки учащихся 9 класса. В каждую из тем включен необходимый теоретический материал, формулы, алгоритмы, правила (теория) и образцы решений заданий (практика).

Дополняет пособие решение нескольких образцов вариантов и краткий справочник формул.

Краткие методические рекомендации по использованию пособия:

Например, по теме «Задание 1»,  открываем тему, изучаем или повторяем правила, определения, алгоритмы, вспоминаем формулы (теория), разбираем предложенные решения заданий (практика).

Изучив предложенные элементы теории и образцы решения желательно решать типичные задания из открытого банка ГВЭ и Комплекса материалов для ОГЭ.

Можно повторять и решать в приведённом в содержании порядке, можно выбрать любую тему, повторить, закрепить и проверить ваши знания.

Таким образом, пользователь найдет в пособие одновременно правила, формулы, алгоритмы, различные приемы и способы решения тех или иных заданий. После этих тренировок можно будет смело приступить к различным тестам  в целом.

Учитель может использовать это  пособие в процессе обучения, на занятиях элективных курсов, при повторении.

С введением  ГВЭ для учащихся 9 класса в форме тестов  данное пособие будет как нельзя актуально, можно применять с 7 класса при повторении, обобщении, расширении знаний.

Желаю удачи! Приму к сведению любые замечания, советы, пожелания.

Задание 1. Числа и вычисления.

Теория

Полезно вспомнить:

1.1.Действия с д.д.

Для того чтобы сложить или вычесть д.д. нужно: записать их “в столбик” так, чтобы запятая оказалась под запятой; Выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания, на запятую; Поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Для того, чтобы перемножить д.д. надо:. перемножить их  как натуральные числа; В полученном произведении отделить запятой справа столько десятичных знаков, сколько их после запятой в обоих множителях.

Чтобы разделить д.д  на д.д. необходимо: перенести в делимом и в делителе запятую вправо на столько  цифр, сколько их после запятой в делителе; Выполнить деление на натуральное число.

1.2.Действия с рациональными дробями

Основное свойство дроби: ,

1.      2.

3.  .      4.

5.       6. 

1.3.Действия с рациональными числами:

1. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно поставить знак «-» и сложить их модули.

На-р:

2.Чтобы сложить два числа с разными знаками: надо из большего модуля вычесть  меньший и поставить знак того модуля, который больше:

Н-Р:   -15 +8 = -(15 – 8) = - 7

3. При делении и умножении:

1. Произведение (частное) двух чисел с одинаковыми знаками есть число положительное.

2. Произведение (частное) двух чисел с разными знаками есть число отрицательное.

Н-р: 6 х (-4) = -24;       -12 : (-6) = 2

4. При возведении в степень:

;  ; ; 

;

Практика

Задание 1. 1 Практика:

1.  

2.  

3       

4.

5.

Задание 1. 2 .практика:

1.12  - 9 = 3 = 2

2. 

3.

4.

5.

Задание 1.3  Практика:

1.

2.

3.

4.

5.

Полезно запомнить:

;     ;  

  

Задание 2. Уравнения, неравенства и их системы

Теория:

Линейные :  Уравнение вида ax = b, где x – переменная, a и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Свойства при решении уравнений:

1.Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя его знак на противоположный.

2.Умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.

Действия:   

1. Раскрываем скобки

2. Переносим слагаемые – меняем знак

3. Делим на коэффициент при переменной

4.  Записываем ответ

5. При необходимости – делаем проверку.

Квадратное уравнение имеет вид ах²+bх+с=0, где а – старший коэффициент, b – средний, с – свободный коэффициент.

Неполные уравнения

Неполным квадратным уравнением называется уравнение вида

 

1) Если , то уравнение имеет вид , решается разложением на множители – вынесением общего множителя за скобки и всегда имеет два корня, один из которых равен нулю.

2) Если , то уравнение имеет вид , решается только тогда, когда у коэффициентов а и с разные знаки. Оно решается разложением на множители по формуле разности квадратов.

Полные уравнения

 ;

Если , то  - два корня.

Если , то   - один корень.

Если , то корней нет.

Алгоритм решения:

1.Записать коэффициенты:  а,  b,  с. 2.Вычислить дискриминант

3.Применить формулу корней квадратного уравнения.

4.Записать ответ.

Практика

1. Реши уравнение:  3(7y-2) –( 7y-8) = 30;   

Решение: 3(7y-2) –( 7y-8) = 30;    21y – 6 -7y + 8 = 30

21y – 7y = 30 + 6 -8;    14y = 28;   y = 2   Ответ:  у=2

2. Решить уравнение .

Решение. Вынесем за скобки :  - произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю.

или Ответ: 0; -3

3. Решите уравнение: .

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители

или Ответ: 1,5 ; -1,5

3. Решите уравнение .

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители

;   

или .   Ответ:

4. Решите уравнение .

Решение. Решений нет, так как это сумма квадратов,  а не разность. Ответ: нет решения.

5. Реши уравнение : ,

Решение. .

;  .    Ответ: ; .

6.Решите уравнение .

Решение: ;   Ответ: 2, -1,5.

Задание 3 Алгебраические выражения.

Теория:

Полезно помнить:

1.Распределительное свойство умножения:  a(b+c) =  ab+ac.

Например: 2(х+6)=2х +12

2. Правило умножения одночлена на скобку: a(a+b)= a²+ab,

например: 2a²(b²-a³)=2a²b²-2a⁵

3.Правило умножения многочлена на многочлен.

Например:2x²-(x-3)(2x+3) = 2x²-(2x² + 3x - 6x - 9) = 2x²- 2x² -3x + 6x +9 = 3x+9

4. ФСУ:  1) (a+b)²=a²+2ab+b²

например: (x+9)²=x²+2∙x∙9+9²=x²+18x+81

                 2) (a-b)²=a²-2ab+b²

Например:  (2x-3y)²= (2x)²-2∙2x∙3y+(3y)²=4x²-12xy+9y²

                  3. (a+b)(a-b) = a²-b^2,

 Например:1) (a-2)(a+2) = a²-2² = a²-4

2) (3x-7y)(7y+3x) = (3x-7y)(3x+7y)=9x²-49y²

5.Действия с рациональными дробями

Основное свойство дроби: , (сокращение дробей)

1.    ;    2 .  

3.    .      4.    

6.Примеры упрощения дробей:

1.

2.

Практика:

1. Упро­сти­те вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  .

В ответ за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.
Ре­ше­ние: Упро­стим вы­ра­же­ние:

 При ,  (4 -2) : (2*4) = 2: 8 = 0,25   Ответ: 0,25.

2. Упростите выражение и найдите его значение при а=2.

Решение:    ;

при а=2;  10*2:(3*2-2)=20:4=5     Ответ:5

3.Упро­сти­те вы­ра­же­ние , най­ди­те его зна­че­ние при  . В ответ за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.

Ре­ше­ние. при  ;    Ответ: 0.

4. Упро­сти­те вы­ра­же­ние  и най­ди­те его зна­че­ние при . В ответ за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.

Ре­ше­ние.   При a=−2, зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния равно −2:2 = −1. Ответ: -1

5. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния    при  .

Ре­ше­ние.  При , зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния равно 16.   Ответ: 16.

6. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния    при  .

Ре­ше­ние.  Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния при ;    Ответ:-60

7. Упро­сти­те вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  . Ре­ше­ние. Упро­стим вы­ра­же­ние:; При  , зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния равно 7,5 : 5 = 1,5. Ответ: 1,5.

8. Упро­сти­те вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  .

Ре­ше­ние. Упро­стим вы­ра­же­ние:

 При  ;       Ответ: 2.

Задание 4. Графики функций.

Теория:

Линейная функция

Линейная функция – это функция вида y = kx + b, где х – переменная, k и b некоторые числа

Графиком линейной функции  служит прямая  

1)Прямая пропорциональность –  это функция вида y = kx, где х – переменная, k≠0 График прямой пропорциональности – прямая, проходящая через начало координат

2).Если k=0, то y = b – прямая, параллельная оси x

График квадратичной функции

Функция вида , где , b, c — числа; x — независимая переменная, называется квадратичной функцией. Графиком является парабола

1.    а) О.О.Ф.   б) О.З.Ф.

в) нули функции:  

г) Монотонность функции

        , если         , если   

д) ось симметрии — ось ординат

Обратная пропорциональность

График функции  называется гиперболой. На рисунке изображен график функции   для k<0 (во II и IV чет­вер­ти). Если k>0 (в I и III четверти).

Функция вида

Графиком  функции  является верх­няя ветвь па­ра­бо­лы, на­прав­лен­ной впра­во

1.2.

Практика:

1.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики:

Фор мулы:

А	Б	В

Ответ:

Решение: на рис.А - гипербола , значит ее формула  ; на рис.Б -парабола, значит ее формула - ; график В – прямая, у которой угловой коэффициент  < 0, значит ее формула у= -2х+4.  Ответ: 142.

2. Гра­фик какой из при­ве­ден­ных ниже функ­ций изоб­ра­жен на ри­сун­ке?

 1)  2)  3)  4)

Ре­ше­ние. Ветви изоб­ражённой на ри­сун­ке ги­пер­бо­лы лежат во II и IV чет­вер­ти, её гра­фик рас­тя­нут вдоль оси ор­ди­нат в два раза. Этим усло­ви­ям со­от­вет­ству­ет ва­ри­ант 1. Гра­фи­ку со­от­вет­ству­ет ва­ри­ант под но­ме­ром 1.Ответ: 1

3. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

 1)   2)    3)    4) 

 Ответ ука­жи­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр без про­бе­лов и за­пя­тых в ука­зан­ном по­ряд­ке

А	Б	В

Ре­ше­ние. Опре­де­лим вид гра­фи­ка каж­дой из функ­ций. 1)     урав­не­ние пря­мой.2)     урав­не­ние ги­пер­бо­лы.3)     урав­не­ние па­ра­бо­лы, ветви ко­то­рой на­прав­лен­ы вверх.4)  урав­не­ние верх­ней ветви па­ра­бо­лы, на­прав­лен­ной впра­во. Тем самым най­де­но со­от­вет­ствие: A — 4, B — 3, C — 1    Ответ: 431

Задание 5. .Уравнения, неравенства и их системы.

Теория

Основная идея решения неравенства состоит в следующем: мы заменяем данное неравенство другим, но равносильным данному.

1.Если какое-либо слагаемое неравенства с переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство равносильное данному.

2.Если обе части неравенства с переменной умножить или разделить на одно и тоже положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство равносильное данному.

3.Если обе части неравенства с переменной умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число, заменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство равносильное данному. Алгоритм: Чтобы решить неравенство, надо:

1. Упростить обе части.

2.Если необходимо перенести все известные в правую часть, а неизвестные в левую часть, надо поменять знак.

3. Привести подобные в обеих частях.

4.Если при нахождении неизвестного надо делить на  положительное число, то знак неравенства не меняется.

5. Если при нахождении неизвестного надо делить на  отрицательное число, то знак неравенства  меняется.

6. Изобразить ответ на оси.  7. Записать ответ в виде промежутка

При решении систем неравенств надо учесть, что:

1) Если при решении неравенств оба ответа получились в сторону «больше» , то общий ответ системы будет больше большего ответа.

2) Если при решении неравенств оба ответа получились в сторону «меньше» , то общий ответ системы будет меньше меньшего ответа.

3) Если при решении неравенств оба ответа получились в разные стороны с общей частью , то эта общая часть и будет решением системы

4) Если при решении неравенств оба ответа получились в разные стороны без общей части , то у этой системы решений нет

Практика

1. Ре­ши­те не­ра­вен­ство    и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.
1) 2) 3) 4) 
Ре­ше­ние: Решим не­ра­вен­ство:;

-5х+ 7х>1-18 +15;   2х> -2;  х>-1;  Ре­ше­ние не­ра­вен­ства изоб­ра­же­но на рис. 4.       Ответ: 4

 2.Решить неравенство: .

Решение.  ;

                  .               Ответ: .

3. Ре­ши­те не­ра­вен­ство    и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.

1) 2) 3) 4) 

Ре­ше­ние. Решим не­ра­вен­ство:

  4х -6х>_  -2 -5 Ре­ше­ние не­ра­вен­ства изоб­ра­же­но на рис. 1. Ответ:1.

4.  Ре­ше­ние ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на ри­сун­ке?

   1) 2) 3)  4) 

Ре­ше­ние. Решим каж­дое из не­ра­венств.1)   — ре­ше­ний нет.

2)  3)   верно для всех 

4)  На ри­сун­ке изоб­ра­же­но ре­ше­ние четвёртого не­ра­вен­ства. Ответ: 4.

4. Решите неравенство: .  Решение.1) Решим неравенство методом интервалов. (ОДЗ: х+2 не равно 0, т.е. х не равен -2)     Найдем нули функций, стоящих в числителе: х – 3=0; х=3; и в знаменателе х+2=0; х= -2; -2 не входит в решение

2) Отметим на числовой прямой точки: , . Две точки разобьют прямую на 3 промежутка

Определим знак дроби на каждом промежутке и выберем те из них, где дробь отрицательна. Ответ:  

5. Решим систему:                  

Ответ: .

Задание 6. Треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы.

Теория

Равносторонний треугольник -треугольник, у которого все стороны равны.   Все углы равны 60⁰.

Равнобедренный треугольник треугольник, у которого две стороны равны.

v  Углы, при основании треугольника, равны

v  Высота, проведенная из вершины, является биссектрисой и медианой..  

В прямоугольном  треугольнике один угол –прямой, равен 90 градуса

Произвольный треугольник: АВ; ВС; АС –стороны; сумма углов равна 180 градусам.  

<3-внешний; Внешний угол треугольника равен сумме двух других не смежных с ним.

<1+<2= <3

Параллелограмм – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его основаниями, а расстояние между ними – высотой.  и  – смежные стороны, – угол между ними, и  – диагонали, – угол между диагоналями, Прямоугольник. Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы также прямые. Такой параллелограмм называется прямоугольником  .

Ромб-параллелограмм, все стороны которого равны.

ü  Диагональ ромба является его осью симметрии. Диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали являются биссектрисами углов. Трапеция - это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны.  В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны

Практика:

1. Раз­ность углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма, равна 40°. Най­ди­те мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние. Пусть мень­ший угол равен  тогда боль­ший угол равен Т.к. сумма од­но­сто­рон­них углов равна 180°, имеем:  Ответ: 70

2. Най­ди­те угол ABC рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль AC об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем AD и бо­ко­вой сто­ро­ной CD углы, рав­ные 30° и 80° со­от­вет­ствен­но.

Ре­ше­ние. Т.К. в тре­уголь­ни­ке сумма всех углов равна 180°, угол ADС равен 180° − 30° − 80° = 70°. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции углы BCD и CDA — од­но­сто­рон­ние, зна­чит, угол ABC равен 110°.

 Ответ: 110.

3.Диа­го­наль BD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 65° и 50°. Най­ди­те мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ре­ше­ние. Углы А и В — од­но­сто­рон­ние, по­это­му угол А равен 180° − 50° − 65° = 65°.  Ответ: 65.

4.В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с ос­но­ва­ни­ем AC внеш­ний угол при вер­ши­не C равен 123°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние. Углы ACB и ABC равны, т. к. на­хо­дят­ся при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка; пусть один из них равен x. По­сколь­ку сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, имеем: ∠ABC = 180° − x − x. Угол BCA сме­жен с углом 123°, зна­чит, равен 180° − 123° = 57°. Сле­до­ва­тель­но, x = 57°, от­ку­да ∠ABC = 180° − 2·57° = 66°.  Ответ: 66.

5.В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­сы CN и AM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. Най­ди­те .

Ре­ше­ние. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC  все углы равны 60°. Бис­сек­три­сы CN и AM делят углы по­по­лам, по­это­му  =  =  Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, по­это­му Вер­ти­каль­ные углы равны, сле­до­ва­тель­но,   Ответ: 120.

Задание 7.  Окружность, круг и их элементы.

Теория

     AP=AQ; Углы в окружности:

               <PAQ-описанный

              

<AOB-центральный;

<ACB-вписанный

 часть всей окружности

Свойства углов и дуг:

Полезно помнить:

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

Свойства касательных и секущих

Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие -дополнительные полупрямые. Сумма смежных углов равна 180 градусам.

Вертикальные углы-углы,  образованные при пересечении двух прямых.

Вертикальные углы равны.

(<1+ <2 = 180*)

Практика:

1. Ве­ли­чи­на цен­траль­но­го угла    равна 110°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну впи­сан­но­го угла  . Ответ дайте в гра­ду­сах. Ре­ше­ние. Угол AOB смеж­ный с углом AOD, таким об­ра­зом,  Цен­траль­ный угол AOB и впи­сан­ный угол ACB опи­ра­ют­ся на одну дугу. Таким об­ра­зом,           Ответ: 35

2. Най­ди­те  , если гра­дус­ные меры дуг    и    равны 152° и 80° со­от­вет­ствен­но.

Ре­ше­ние. Так как впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, имеем , а . В тре­уголь­ни­ке ABC ,   Ответ: 64.

3. Най­ди­те  , если из­вест­но, что гра­дус­ная мера дуги    равна 124°, а гра­дус­ная мера дуги    равна 180°.

Ре­ше­ние.

Так как вся окруж­ность со­став­ля­ет 360°, то гра­дус­ная мера дуги . Угол KOM яв­ля­ет­ся цен­траль­ным. Так как цен­траль­ный угол равен дуге , на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, то .

 4. Най­ди­те ве­ли­чи­ну (в гра­ду­сах) впи­сан­но­го угла  , опи­ра­ю­ще­го­ся на хорду  , рав­ную ра­ди­у­су окруж­но­сти.

Ре­ше­ние.

Про­ве­дем ра­ди­у­сы OA и OB. Так как по усло­вию за­да­чи хорда AB равна ра­ди­у­су, то тре­уголь­ник AOB — рав­но­сто­рон­ний. Угол AOB — цен­траль­ный и равен  Угол ACB — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на ту же дугу, что и угол AOB. Таким об­ра­зом, Ответ: 30.

5. В окруж­но­сти с цен­тром в точке О про­ве­де­ны диа­мет­ры AD и BC, угол OCD равен 30°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла OAB.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки COD и AOB: они равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Эти  тре­уголь­ни­ки рав­но­бед­рен­ные; зна­чит, можно сде­лать вывод, что угол OCD и OAB равны. Ответ: 30.
6. Най­ди­те , если гра­дус­ные меры дуг  и  равны 150° и 68° со­от­вет­ствен­но.

Ре­ше­ние. Так как впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, имеем , а . В тре­уголь­ни­ке EFD, . Ответ: 71.

Задание 8. Анализ геометрических высказываний.  

Теория

В геометрии есть определения, понятия, теоремы, аксиомы, без знания которых невозможно дальнейшее изучение любой темы.

Полезно повторить:

1. Аксиомы 7 класса.

2. Основные теоремы 7-9 классов.

3. Свойства основных геометрических фигур

Практика:

1. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

 1) Любые два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.

2) Если катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.

3) Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны ко­си­ну­сам про­ти­во­ле­жа­щих углов.

4) Квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на ко­си­нус угла между ними.  Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.  1) «Любые два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.» — не­вер­но, так как нет вто­ро­го рав­но­го угла. 2) «Если катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.» — верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов. 3) «Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны ко­си­ну­сам про­ти­во­ле­жа­щих углов.» — не­вер­но, по тео­ре­ме си­ну­сов сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны си­ну­сам про­ти­во­ле­жа­щих сто­рон. 4) «Квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на ко­си­нус угла между ними.» — верно, по тео­ре­ме ко­си­ну­сов. Ответ: 24

2.Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти пря­мую, па­рал­лель­ную этой пря­мой.

2) Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 су­ще­ству­ет.

3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квад­рат.

4) Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти все­гда лежит внут­ри этого тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний. 1) «Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти пря­мую, па­рал­лель­ную этой пря­мой» — верно, это ак­си­о­ма пла­ни­мет­рии. 2) «Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 су­ще­ству­ет» — не­вер­но: для того, чтобы су­ще­ство­вал тре­уголь­ник, сумма любых его двух сто­рон долж­на быть боль­ше тре­тьей сто­ро­ны. 3) «Если в ромбе хотя бы 2 угла равны 90°, то такой ромб — квад­рат» — верно, в этом слу­чае про­ти­во­по­лож­ный угол тоже будет равен 90°, а зна­чит и два дру­гих (рав­ных) угла будут равны по 90°. 4) «Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти все­гда лежит внут­ри этого тре­уголь­ни­ка.» — не­вер­но, центр опи­сан­ной во­круг пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти, лежит на его сто­ро­не. Ответ: 13.

3.  Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

 1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны 65°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.

2) Любые две пря­мые имеют не менее одной общей точки.

3) Через любую точку про­хо­дит более одной пря­мой.

4) Любые три пря­мые имеют не менее одной общей точки.

 Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны 65°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.» — верно, так как если со­от­вет­ствен­ные углы равны, то пря­мые па­рал­лель­ны.

2) «Любые две пря­мые имеют не менее одной общей точки.» — не­вер­но, две пря­мые имеют не более одной общей точки.

3) «Через любую точку про­хо­дит более одной пря­мой.» — верно, через одну точку про­хо­дит мно­же­ство пе­ре­се­ка­ю­щих­ся в этой точке пря­мых.

4) «Любые три пря­мые имеют не менее одной общей точки.» — не­вер­но, любые три пря­мые, ко­то­рые не сов­па­да­ют, если и имеют общую точку, то толь­ко одну.  Ответ: 13.

4. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

 1) Пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка, опи­сан­но­го около окруж­но­сти, равна про­из­ве­де­нию его пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.

2) Если диа­го­на­ли ромба равна 3 и 4, то его пло­щадь равна 6.

3) Пло­щадь тра­пе­ции мень­ше про­из­ве­де­ния суммы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.

4) Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния его ка­те­тов.

 Ре­ше­ние.  Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка, опи­сан­но­го около окруж­но­сти, равна про­из­ве­де­нию его пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.» — не­вер­но, пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию по­ло­ви­не пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.

2) «Если диа­го­на­ли ромба равна 3 и 4, то его пло­щадь равна 6.» — верно, пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей.

3) «Пло­щадь тра­пе­ции мень­ше про­из­ве­де­ния суммы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.» — верно, пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния суммы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.

4) «Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния его ка­те­тов.» — верно, пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов.      Ответ: 23

Задание 9. . Простейшие текстовые задачи.

Теория.   Задачи на проценты.

1.Процентом называется одна сотая часть величины . целое составляет 100%.

Например: ; ; .

2.Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.Например, 125% = 125:100 = 1,25%

3.Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо ее умножить на 100. Например: 0,971 = 0,971•100 = 97,1%

4.Нахождение процента от числа: чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь.

Например: а)13% от 50; 1);  2); ответ: 6,5   

б) 20% от 45 кг;  (кг);   в) 118% от х ;   

5.Нахождение числа по его проценту: чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на дробь. Например, 8% длины всего отрезка составляет 2,4 см, то длина всего отрезка равна    2,4:0,08=240:8=30 (см)

6.Нахождение процентного отношения чисел: чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100. Например, 2 г. соли в растворе массой 50 г. составляет    

Чтобы записать текст с помощью уравнений:

-Обозначить неизвестную величину переменной

-Выразить через нее другие величины;

-Составить уравнение и решить его.

- При необходимости сделать проверку; -Оформить ответ.

Практика:

1. Го­род­ской бюд­жет со­став­ля­ет 45 млн. р., а рас­хо­ды на одну из его ста­тей со­ста­ви­ли 12,5%. Сколь­ко руб­лей по­тра­че­но на эту ста­тью бюд­же­та?
Ре­ше­ние.  Рас­хо­ды со­ста­ви­ли  руб.

 Ответ: 5625000.

2.Сто­и­мость про­ез­да в при­го­род­ном элек­тро­по­ез­де со­став­ля­ет 198 руб­лей. Школь­ни­кам предо­став­ля­ет­ся скид­ка 50%. Сколь­ко руб­лей стоит про­езд груп­пы из 4 взрос­лых и 12 школь­ни­ков?

Ре­ше­ние. Сто­и­мость по­езд­ки   руб.

 Ответ: 1980.

3.Аль­бом, ко­то­рый стоил 120 руб­лей, продаётся с 25%-ой скид­кой. При по­куп­ке 5 таких аль­бо­мов по­ку­па­тель отдал кас­си­ру 500 руб­лей. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен по­лу­чить?

Ре­ше­ние. Сто­и­мость од­но­го аль­бо­ма равна 120 − 0,25 · 120 = 90 руб. По­это­му сто­и­мость пяти аль­бо­мов равна 450 руб. Зна­чит, сдача с 500 руб­лей со­ста­вит 50 руб­лей. Ответ: 50.

4.Сбе­ре­га­тель­ный банк на­чис­ля­ет на сроч­ный вклад 20% го­до­вых. Вклад­чик по­ло­жил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если ни­ка­ких опе­ра­ций со сче­том про­во­дить­ся не будет?

Ре­ше­ние. Через год вклад­чик по­лу­чит 20 % до­хо­да, что со­ста­вит

  руб. Т.е., через год на счете будет:  руб.

Ответ: 960.

5. Товар на рас­про­да­же уце­ни­ли на 20%, при этом он стал сто­ить 680 р. Сколь­ко стоил товар до рас­про­да­жи?

Ре­ше­ние. Новая цена со­став­ля­ет 80 % от ста­рой цены. По­это­му она со­став­ля­ла 680 : 0,8 = 850 руб. Ответ: 850.

6. На пост пред­се­да­те­ля школь­но­го со­ве­та пре­тен­до­ва­ли два кан­ди­да­та. В го­ло­со­ва­нии при­ня­ли уча­стие 120 че­ло­век. Го­ло­са между кан­ди­да­та­ми рас­пре­де­ли­лись в от­но­ше­нии 3:5. Сколь­ко го­ло­сов по­лу­чил по­бе­ди­тель?

Ре­ше­ние. Пусть x го­ло­сов при­хо­дит­ся на одну часть, тогда  при­хо­дит­ся на вто­ро­го кан­ди­да­та, а  — на пер­во­го. Зная, что в го­ло­со­ва­нии участ­во­ва­ло 120 че­ло­век.  со­ста­вим урав­не­ние:  , значит по­бе­ди­тель по­лу­чил:  го­ло­сов.   Ответ: 75.

7. Какая сумма (в руб­лях) будет про­став­ле­на в кас­со­вом чеке, если сто­и­мость то­ва­ра 520 р., и по­ку­па­тель опла­чи­ва­ет его по дис­конт­ной карте с 5%-ной скид­кой? Ре­ше­ние. Рас­счи­та­ем скид­ку, ко­то­рую по­лу­ча­ет по­ку­па­тель опла­чи­вая товар по дис­конт­ной карте с 5%-ной скид­кой:  руб. Таким об­ра­зом, ито­го­вая цена со скид­кой равна:  руб. Ответ: 494.

8. Цена на электрический чайник была повышена на 22% и составила 1830 рублей. Сколько рублей стоил товар до повышения цены?

Решение: Пусть чайник стоил х (руб.), тогда после повышения он будет стоить 1,22х, составим уравнение:                           1,22х =1830; х= 1830:1,22; х=1500 ; Ответ: 1500

9. Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

Решение: Во время распродажи шампунь станет стоить 160-0,25∙160=120 рублей. Разделим 1000 на 120; 1000:120= (остаток 40); Значит, можно будет купить 8 флаконов шампуня.   Ответ: 8

Задание 10. Статистика, вероятности.

Теория

Полезно помнить: Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей. Методы теории вероятностей применяются во многих областях знаний

1.Элементарные события (элементарные исходы) опыта – простейшие события, которыми может окончиться случайный опыт. Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна 1.

2. Нахождение вероятности событий.

Исходы в этом опыте считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы. Исходы, при которых происходит некоторое событие, называются благоприятными исходами для этого события.

3.Определение: отношение числа благоприятных исходов N (A) события A к числу всех равновозможных исходов N этого события называется вероятностью события A.

P (A)=N(A)/N

4. Алгоритм нахождения вероятности события

Для нахождения вероятности случайного события A при проведении  некоторого испытания следует:

1.найти число N всех равновозможных исходов данного испытания;

2.найти количество N(A) тех благоприятных исходов испытания, в

 которых наступает событие А;

3.найти отношение N(A)/N; это и есть вероятность события A

Например: 1. В коробке лежат 10 красных, 7 желтых и 3 синих шара. Какова вероятность, что взятый наугад шар окажется желтым?

Решение. Равновозможные исходы- (10+7+3)=20.  Благоприятные исходы- 7. P(A)= 7/20=0,35

Практика:

1.На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение: Андрей выучил 60-3 = 57 вопросов. Поэтому вероятность того, что на экзамене ему попадется выученный билет вопрос         Ответ: 0,95

2. Максим с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе тридцать кабинок, из них 11 – синие, 7 – зеленые, остальные – оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке.

Решение: на колесе обозрения 30 -11- 7 =12 оранжевых кабинок. Тогда вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке равна

    Ответ: 0,4.

3.В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение. Элементарное событие – спортсменка, выступающая первой. Поэтому N=20. Чтобы найти число элементарных событий, благоприятствующих событию А={первой выступает спортсменка из Китая}, нужно подсчитать число спортсменок из Китая: N(A)=20-(8+7)=5. Все элементарные события равновозможны по условию задачи, поэтому  P(A)=5:20 =0,25      Ответ: 0,25

4.В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение. Элементарный исход – случайно выбранный для контроля насос. Поэтому N=1000.

Событию А={насос не подтекает} благоприятствуют 1000-5=995 исходов. Поэтому N(A)=995.

Тогда P(A)=    Ответ:0,995.

5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадает ровно один раз.

Решение. Орел обозначим одной буквой О. Решку – буквой Р. В описанном эксперименте могут быть следующие элементарные сходы: ОО, ОР, РО и РР.

Значит, N=4. Событию А={выпал ровно один орел} благоприятствуют элементарные события: ОР и РО. Поэтому N(A)=2.  Тогда .     Ответ: 0,5.

6.  Вика включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по четырнадцати канатам из тридцати пяти показывают рекламу. Найдите вероятность того, что Вика попадет на канал, где реклама не идет.

Решение: реклама не идет по 35-14=21 каналам. Тогда вероятность того, что Вика попадет на канал, где реклама не идет, равна          Ответ: 0,6

Содержание:

Задание 1.Числа и вычисления

Задание 2. Уравнения, неравенства и их системы

Задание 3. Числа, вычисления и алгебраические выражения

Задание 4. Графики функций

Задание 5. Уравнения, неравенства и их системы

Задание 6. Треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы

Задание 7. Окружность, круг и их элементы

Задание 8. Анализ геометрических высказываний

Задание 9. Простейшие текстовые задачи

Задание 10. Статистика, вероятности