Пособие для подготовки к ОГЭ по теме: "Окружность".

Задачи с решением.

3. Окружность и её элементы.

№ 3.1. Найдите хорду, на которую опирается угол , вписанный в окружность      радиуса 38.

            Решение.

Пусть  - радиус окружности.  =38. Так как  , значит   опирается на диаметр .

Ответ: 76.

            № 3.2.  Найдите хорду, на которую опирается угол , вписанный в окружность     радиуса 43.

            Решение.

Пусть , тогда  (т.к. вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на эту же дугу). В ∆ :  , значит  ∆  - равнобедренный. .    ∆  - равносторонний. Значит

Ответ:  43.

            № 3.3. Радиус окружности равен 48. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

            Решение.

Пусть ,  . Применяем теорему косинусов:

 

Значит .

 (т.к. вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на эту же дугу).

Ответ: .

            № 3.4. Центральный угол на  больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

            Решение.

Пусть , тогда  - по условию.  - т. к. центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на одну и ту же дугу.

Получаем уравнение:

 

 

 

 

Ответ:  15.

            № 3.5. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет . А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

            Решение.

Искомый  - вписанный угол, опирающийся на одну и ту же дугу, что и центральный угол , т.е.  .   По условию , , пусть , тогда получаем уравнение:       .

 

 

Ответ: 60.

            № 3.6.  Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как . Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

            Решение.

Искомый угол . По условию , значит . Пусть  - коэффициент пропорциональности, тогда

Получаем уравнение:

 

 

 

 

 ; ; ; .

В ∆ :  , значит  ∆  - равнобедренный.

.

 

Аналогично, В ∆ :  , значит  ∆  - равнобедренный.

.

 

 

Ответ: 90.

            № 3.7. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен , угол CAD равен . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

            Решение.

Искомый угол .  - вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Ответ: 21.

            № 3.8.  Хорда AB стягивает дугу окружности в . Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

            Решение.

По условию . Искомый угол .  - т.к. касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. В ∆ :  , значит  ∆  - равнобедренный. .

 .

Получаем   .

Ответ: 35.

            № 3.9. Через концы A, B дуги окружности в  проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

            Решение.

,  - т.к. касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.  -  т.к. сумма углов выпуклого четырёхугольника равна

Пусть искомый угол   

 

 

- 

 

Ответ: 126.

4. Вписанная и описанная окружность.

№ 4.1. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

            Решение.

Пусть , тогда по формуле     получаем  = 22.

Ответ: 22.

            № 4.2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 7, угол при вершине, противолежащей основанию, равен . Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

            Решение.

По условию   По теореме косинусов находим            , т.к.

 

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой    .

  

Диаметр описанной окружности в два раза больше радиуса, значит диаметр равен 14.

Ответ: 14.

            № 4.3. Меньшая сторона прямоугольника равна 11. Угол между диагоналями равен . Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.

            Решение.

По условию    ∆ (диагонали прямоугольника равны и  точкой пересечения делятся пополам). Из этого следует, что

Получаем ∆ - равносторонний, значит  .

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой    .

Получаем    

Ответ:  11.

                № 4.4. Сторона ромба равна 20, острый угол равен . Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

            Решение.

По условию    -соответственные углы при параллельных прямых    В прямоугольном ∆  :    ( катет против угла в  равен половине гипотенузы), т.е.

Для нахождения радиуса вписанной окружности воспользуемся формулой    .

Получаем  

Ответ:   5.

                № 4.5.  Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 25.

            Решение.

По условию   Для нахождения высоты трапеции воспользуемся формулой  .

Ответ: 50. 

            № 4.6. Сторона AB треугольника ABC равна 40. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

            Решение.

По условию   Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой     Получаем

Ответ: 40.

            № 4.7. Основания равнобедренной трапеции равны 240 и 70. Радиус описанной окружности равен 125.Найдите высоту трапеции.

            Решение.

По условию ∆  - равнобедренный,  - высота, является медианой  ,   Из прямоугольного  ∆  по теореме Пифагора следует:

 

 

 (для извлечения корня разложим 245 на множители)

 

 

∆  - равнобедренный,  - высота, является медианой  ,  

Из прямоугольного  ∆  по теореме Пифагора следует:

 

 

 

 

 

 

Высота трапеции   ,т.е. .

Ответ: 155.

            № 4.8. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны  и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

            Решение.

По условию   Так как четырёхугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна  , т.е.     Тогда

Наибольший из найденных углов  

Ответ:  164.

            № 4.9. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 84. Найдите ее среднюю линию.

            Решение.

Так как  равнобедренная трапеция описана около окружности, суммы противоположных сторон равны, т.е.   . Получаем

Средняя линия трапеции  находится по формуле ,  т. е.  

Ответ: 21.