ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА НЕПРЕРЫВНОСТЬ

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА НЕПРЕРЫВНОСТЬ.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: формирование навыков вычисления пределов функции с помощью раскрытия неопределенностей вида ;

формирование навыков отыскания области определения функции, исследование характера точек разрыва.

ФОРМИРУЕМЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

 У1, З1, ОК2, ПК1.2

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ: задания находятся внутри практической работы, а варианты формируются преподавателем.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ: [2], [4], [5], [8], [9]

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

1)           Определение предела функции в точке, обозначение предела.

2)           Определение предела функции на  бесконечности.

3)           Основные теоремы о пределах.

4)           Табличные пределы.

5)           Замечательные пределы.

6)           Действия при раскрытии неопределенностей различных видов.

7)           Определение непрерывности функции и в точке и на промежутке.

8)           Определение точек разрыва и их классификация.

СОДЕРЖАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ВАРИАНТА:

Задание 1. Вычисление пределов функций, раскрывая неопределенность вида . Задание 2. Вычисление пределов функций, раскрывая неопределенность вида , зависящую от иррациональности.

Задание 3. Вычисление пределов функций, раскрывая неопределенность вида .

Задание 4. Вычисление предела функции, используя первый или второй замечательные пределы.

Задание 5. Построение графика функции, нахождение значений функции в точках, определение точек разрыва.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ: задания выполняются в любом порядке.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЯМ:

Число b называется пределом функции у = f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для всех значений х, достаточно близких к а и отличных от а, значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа b, т.е. выполняется условие |f(x) - b| < , где  - сколь угодно малое положительное число окрестности точки а, то есть .

Число b называется пределом функции у = f(x) на бесконечности, если при всех достаточно больших по модулю значений аргумента х соответствующие значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа b.

Табличные пределы:

1

2

3

4

Свойства пределов функции:

Если существуют   и  , то

1.                  , где с = const

2.                 

3.                 

4.                   где

5.                   где с = const

6.                  Если  f₁(x)£ f(x)£ f₂(x)  и , то

7.                 

8.                 

9.                  .

Первый замечательный предел функции.

 или .

Следствия из первого замечательного  предела:

                     

Второй замечательный предел функции.

 или ,

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке, который равен значению функции в этой точке, т.е. .

Точка а называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке НЕ выполняется условие непрерывности  .

Классификация точек разрыва функции:

Разрыв I рода. В этом случае в точке х_о существуют конечные односторонние пределы (слева и справа).

При этом, если . Тогда говорят, что точка х_о – точка устранимого разрыва.

Если , то говорят, что х_о – точка скачка. И скачком функции f(x) в точке х_о  называется разность .

Разрыв II рода. В этом случае в точке х_о в которой хотя бы один из односторонних пределов (слева и справа) не существует или бесконечен.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 1. Подставьте данное значение x в функцию и вычислите значение предела. Если значение предела равно , то разложите на множители выражения в числителе и знаменателе. Сократите необходимые выражения и снова подставьте значение x в новое выражение. При необходимости повторите разложение на множители.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 2. Подставьте данное значение x в функцию и вычислите значение предела. Если значение предела равно  и в выражении присутствует радикал (квадратный корень), то числитель и знаменатель следует домножить на выражение сопряженное иррациональному. Упростите полученное выражение, сократив при необходимости некоторые множители. Снова подставьте значение x в новое выражение. При необходимости повторите действия.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 3. Подставьте данное значение x в функцию и вычислите значение предела. Если значение предела равно , то каждое слагаемое в числителе и знаменателе разделите на x в наивысшей степени всего выражения. При необходимости воспользуйтесь свойствами степеней. После того, как упростите выражение, подставьте значение x в полученное выражение и вычислите значение предела, используя табличные значения пределов.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 4. Преобразуйте выражения под знаком предела к такому виду, чтобы можно было воспользоваться первым или вторым замечательными пределами.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 5. Постройте график функции на заданных интервалах. Для соответствующих значений аргумента найдите значение функции, используя само задание функции или график. Определите характер заданных точек разрыва функции.

ОТЧЕТ ДОЛЖЕН СОДЕРЖАТЬ:

1)           Номер практической работы, ее название, номер выполняемого варианта.

2)           Номер задания, условие решаемой задачи, решение задачи и результат решения задачи.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задание 1. Вычисление пределов функций, раскрывая неопределенность вида .

1.1	а)  ,	1.6	а) ,	1.11	а) ,
	б) ,		б) ,		б) ,
1.2	а) ,	1.7	а) ,	1.12	а) ,
	б)  ,		б) ,		б) ,
1.3	а) ,	1.8	а) ,	1.13	а) ,
	б) ,		б) ,		б)
1.4	а)	1.9	а) ,	1.14	а) ,
	б) ,		б) ,		б) ,
1.5	а) ,	1.10	а) ,	1.15	а) ,
	б)		б)		б)

Задание 2. Вычисление пределов функций, раскрывая неопределенность вида , зависящую от иррациональности.

2.1		2.6		2.11
2.2		2.7		2.12
2.3		2.8		2.13
2.4		2.9		2.14
2.5		2.10		2.15

Задание 3. Вычисление пределов функций, раскрывая неопределенность вида .

3.1	а)	,		б)		.
3.2	а)	,	б)		.
3.3	а)	,	б)		.
3.4	а)	,	б)		.
3.5	а)	,	б)		.
3.6	а)	,	б)		.
3.7	а)	,	б)		.
3.8	а)	,	б)		.
3.9	а)	,	б)		.
3.10	а)	,	б)		.
3.11	а)	,	б)		.
3.12	а)	,	б)		.
3.13	а)	,	б)		.
3.14	а)	,	б)		.
3.15	а)	,	б)		.

Задание 4. Вычисление предела функции, используя первый или второй замечательные пределы.

4.1	.	4.9
4.2	.	4.10
4.3	.	4.11
4.4	.	4.12
4.5	.	4.13
4.6	.	4.14
4.7	.	4.15
4.8	.	4.16	.

Задание 5. Построение графика функции, нахождение значений функции в точках, определение точек разрыва.

5.1		а)	Построить график.
		б)	Найти .
		в)	Исследовать функцию на непрерывность в точке .
5.2		а)	Построить график.
		б)	Найти .
		в)	Исследовать функцию на непрерывность в точке .
5.3		а)	Построить график.
		б)	Найти .
		в)	Исследовать функцию на непрерывность в точке .
5.4		а)	Построить график.
		б)	Найти .
		в)	Исследовать функцию на непрерывность в точке .
5.5		а)	Построить график.
		б)	Найти .
		в)	Исследовать функцию на непрерывность в точке .
5.6		а)	Построить график.
		б)	Найти .
		в)	Исследовать функцию на непрерывность в точке .
5.7		а)	Построить график.
		б)	Найти .
		в)	Исследовать функцию на непрерывность в точке .
5.8		а)	Построить график.
		б)	Найти .
		в)	Исследовать функцию на непрерывность в точке .
5.9		а)	Построить график.
		б)	Найти .
		в)	Исследовать функцию на непрерывность в точке .
5.10		а)	Построить график.
		б)	Найти .
		в)	Исследовать функцию на непрерывность в точке .
5.11		а)	Построить график.
		б)	Найти .
		в)	Исследовать функцию на непрерывность в точке .
5.12		а)	Построить график.
		б)	Найти .
		в)	Исследовать функцию на непрерывность в точке .
5.13		а)	Построить график.
		б)	Найти .
		в)	Исследовать функцию на непрерывность в точке .
5.14		а)	Построить график.
		б)	Найти .
		в)	Исследовать функцию на непрерывность в точке .
5.15		а)	Построить график.
		б)	Найти .
		в)	Исследовать функцию на непрерывность в точке .