Практическая работа Моделирование систем массового обслуживания

Практическая работа № 22

Тема: Моделирование систем массового обслуживания.

Цель работы:  решать задачи в системах массового обслуживания.

Студен должен:

знать:

-       примеры СМО и основные характеристики СМО;

уметь:

-       решать задачи в системах массового обслуживания.

Теоретическое обоснование.

В системах массового обслуживания (СМО) имеются каналы обслуживания, через которые в процессе обработки проходят заявки. Заявки обслуживаются каналами.

Каналы могут быть разными по назначению, характеристикам, они могут сочетаться в разных комбинациях

Заявки могут находиться в очередях и ожидать обслуживания. Часть заявок может быть обслужена каналами, а часть – получит отказ.

Заявки могут приходить неравномерно, каналы могут обслуживать разные заявки за разное время и так далее, количество заявок всегда весьма велико. Все это делает такие системы сложными для изучения и управления, и проследить все причинно-следственные связи в них не представляется возможным. Поэтому принято представление о том, что обслуживание в сложных системах носит случайный характер.

Примерами СМО могут служить: автобусный маршрут и перевозка пассажиров; производственный конвейер по обработке деталей; влетающая на чужую территорию эскадрилья самолетов, которая «обслуживается» зенитками ПВО; ствол и рожок автомата, которые «обслуживают» патроны; электрические заряды, перемещающиеся в некотором устройстве и т. д.

Перечислим некоторые основные понятия СМО.

Каналы – то, что обслуживает; бывают горячие (начинают обслуживать заявку в момент ее поступления в канал) и холодные (каналу для начала обслуживания требуется время на подготовку).

Заявки – входят в систему, обслуживаются или получают отказ, покидают систему обслуженными или неудовлетворенными. Бывают нетерпеливые заявки – такие, которым надоело ожидать или находиться в системе и которые покидают СМО по собственной воле. Заявки образуют потоки – поток заявок на входе системы, поток обслуженных заявок, поток отказанных заявок.

Очереди характеризуются правилами стояния в очереди (дисциплиной обслуживания), количеством мест в очереди (сколько заявок максимум может находиться в очереди), структурой очереди (связь между местами в очереди). Бывают ограниченные и неограниченные очереди.

Существуют следующие дисциплины обслуживания очереди:

1) FIFO (First In, First Out – первым пришел, первым ушел): если заявка первой пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание.

2) LIFO (Last In, First Out – последним пришел, первым ушел): если заявка последней пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание (пример – патроны в рожке автомата).

3) SF (Short Forward – короткие вперед): в первую очередь обслуживаются те заявки из очереди, которые имеют меньшее время обслуживания.

Пример1. Нотариальная контора представляет собой одноканальную СМО. Число мест в комнате ожидания очереди к нотариусу ограничено и равно двум. Если все места в комнате ожидания заняты, то вновь прибывающий клиент в очередь не становится. Потом клиентов, прибывающих на консультацию, является простейшим с интенсивностью  = 8 клиентов в час. Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону со средним временем обслуживания t = 7 мин.

Определить вероятностные характеристики нотариальной конторы, работающей в стационарном режиме.

Решение. 1. Сначала определим интенсивность потока обслуживания клиентов. Результат получим в такой же размерности, что и :

2. Коэффициент использования СМО рассчитаем как отношение интенсивности :

3. Вычислим вероятность наличия в СМО  клиентов

4. Вероятность отказа в обслуживании клиентов:

5. Относительная пропускная способность нотариальной конторы:

6. Абсолютная пропускная способность нотариальной конторы, клиентов в час:

7. Среднее число клиентов, находящихся в очереди:

8. Среднее число клиентов, находящихся на обслуживании:

9. Среднее число клиентов, находящихся в системе:

10. Среднее время пребывания клиента в очереди, мин:

11. Среднее время пребывания клиента в системе, мин:

Работу рассмотренной нотариальной конторы можно считать удовлетворительной, так как она не обслуживает клиентов в среднем в 22.5% случаев (). С помощью аналитического расчета можно показать, что за счет введения дополнительного места в очереди можно уменьшить вероятность отказа в обслуживании до 17%.

Пример2. Нотариальная контора представляет собой двухканальную СМО. Число мест в комнате ожидания очереди к нотариусу ограничено и равно трем. Если все места в комнате ожидания заняты, то вновь прибывший клиент в очередь не становится. Поток клиентов, прибывающий на консультацию, является простейшим с интенсивностью  = 12 клиентов в час. Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону со средним временем обслуживания t = 7 мин.

Определить вероятностные характеристики нотариальной конторы, работающей в стационарном режиме.

Решение.

 1. Интенсивность потока обслуживания клиентов, клиентов в час:

2.Коэффициент нагрузки СМО:

3.Коэффициент нагрузки СМО на один канал:

=0,7

4.Вероятности наличия в СМО k клиентов:

5.Вероятность отказа в обслуживании клиентов:

6. Относительная пропускная способность нотариальной конторы:

7.Абсолютная пропускная способность нотариальной конторы, клиентов час:

8.Среднее число клиентов, находящихся в очереди:

9.Среднее число клиентов, находящихся на обслуживании:

10.Среднее число клиентов, находящихся в системе:

11.Среднее время пребывания клиента в очереди, мин:

12.Среднее время пребывания клиента в системе, мин:

 ч = 9,92

Работу рассмотренной нотариальной конторы можно считать удовлетворительной, так как она не обслуживает клиентов в среднем всего в 6,9% случаев (=0,069).

Ход работы:

1.     Изучить теоретическое обоснование и примеры решения.

2.     Представить результаты решения задачи.

3.     Оформить отчет.

4.     Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1.     Название и цели работы.

2.     Решение заданий по варианту.

3.     Вывод.

Практические задания:

Варианты заданий.

1. Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию. Заявка, пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Все потоки событий простейшие. Интенсивность потока  =0,95 вызова в минуту. Средняя продолжительность разговора t=1мин. Определите вероятностные характеристики СМО в установившемся режиме работы.

2. В одноканальную СМО с отказами поступает простейший поток с интенсивностью  = 0,5 заявки в минуту. Время обслуживания заявки имеет показательное распределение с t = 1,5 мин. Определите вероятностные характеристики СМО в установившемся режиме работы.

3. В вычислительном центре работают пять персональных компьютеров. Простейший поток задач, поступающих на вычислительный центр, имеет интенсивность  =10 задач в час. Среднее время решения задачи равно 12 мин. Заявка получает отказ, если все компьютеры заняты. Найдите вероятностные характеристики системы обслуживания.

4.В аудиторскую фирму поступает простейший поток заявок на обслуживания с интенсивностью  =1.5 заявки в день. Время обслуживания распределено по показательному закону и равно в среднем трем дням. Аудиторская фирма располагает  пятью независимыми бухгалтериями, выполняющими аудиторские проверки. Очередь заявок неограниченна. Определите вероятностные характеристики аудиторской фирмы как СМО, работающей в стационарном режиме.

5.На пункт техосмотра поступает простейший поток заявок интенсивностью  =4 машины в час. Время осмотра распределено по показательному закону и равно в среднем 17 мин, в очереди может находиться не более пяти автомобилей. Определите вероятностные характеристики пункта техосмотра в установившемся время.

6.В бухгалтерии предприятия имеются два кассира, каждый из которых может обслужить в среднем 30 сотрудников в час. Поток сотрудников, получающих заработную плату, - простейший, с интенсивностью ,равной 40 сотрудников в час. Очередь в кассе не ограничена. Время обслуживания подчинено экспоненциальному закону распределения. Вычислите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме и определите целесообразность приема третьего кассира на предприятие, работающего с такой же производительностью, как и первые два.

7.В инструментальном отделении сборочного цеха работают три кладовщика. В среднем за 1 мин за инструментом проходят 0,8  рабочих. Обслуживание одного рабочего занимает у кладовщика t=1,0 мин. Очередь не имеет ограничения. Известно, что поток рабочих за инструментом - пуассоновской, а время обслуживания подчинено экспонциональному закону распределения. Стоимость 1 мин работы рабочего равна 30 д.е а кладовщика – 15д.е. Найдите средние потери цеха при данной организации обслуживания в инструментальном отделении при стационарном режиме работы.

8.Билетная касса работает без перерыва. билеты продает один кассир. Среднее время обслуживания – 2 мин на каждого человека. Среднее число пассажиров, желающих приобрести билеты в кассе в течение одного часа,  =20 пассажиров в час. Все потоки в системе простейшие. Определите характеристики СМО в условиях стационарного режима работы кассы.

9.Пост диагностики автомобилей представляет собой одноканальную СМО с отказами. Заявка на диагностику, поступающая в момент, когда пост занят, получает отказ. Интенсивность потока заявок на диагностику  =0,5 автомобиля в час. Средняя продолжительность диагностики t=1,2 ч. Все потоки событий в системе простейшие. Определите в установившемся режиме характеристики системы.

10.Автозаправочная станция представляет собой СМО с одним каналом обслуживания и одной колонкой. Площадка при АЗС допускает пребывание в очереди на заправку не более трех автомобилей одновременно. Если в очереди уже находится три автомобиля, очередной автомобиль, прибывший к станции, в очередь не становится, а проезжает мимо. Поток автомобилей, прибывающих для заправки, имеет интенсивность  =0,7 автомобиля в минуту. Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин. Все потоки простейшие. Определите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме.

11.На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью λ=2 состава в час. Среднее время, в течение которого горка обслуживает состав, равно 0,4 ч. Составы, прибывающие в момент, когда занята, становятся в очередь и ожидают в парке прибытия, где имеются три запасных пути, на каждом из которых может ожидать один состав. Состав, прибывший в момент, когда все три запасных пути в парке прибытия заняты, становятся в очередь на внешний путь. Все потоки событий простейшие. Определите характеристики СМО в условиях стационарного режима работы

12.Рассматривается работа АЗС, на которой имеются три заправочных колонки. Заправка одной машины длится в среднем 3 мин. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся в заправке бензина. Число мест в очереди не ограничено. Все машины, вставшие в очередь на заправку, дожидаются своей очереди. Все потоки в системе простейшие. Определите вероятностные характеристики работы АЗС в стационарном режиме.

13.На станцию технического обслуживания автомобилей каждые два часа подъезжает в среднем одна машина. Станция имеет шесть постов обслуживания. Очередь автомобилей, ожидающих обслуживания, не ограничена. Среднее  время обслуживания одной машины – 2 ч. Все потоки в системе простейшие. Определите характеристики станции технического обслуживания автомобилей.

14.Имеется двухканальная простейшая СМО с отказами. На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью λ=3 заявки в час. Среднее время обслуживания одной заявки t= 0,5 ч. Каждая обслуженная заявка приносит доход 5 д.е./. Содержание канала обходится в 3 д.е. /ч. Решите, выгодно ли в экономическом отношении увеличить число каналов СМО до трех.

15. В магазине работает один продавец, который может обслужить в среднем 30 покупателей в час. Поток покупателей простейший с интенсивностью, равной 60  покупателей  в час. Все покупатели  «нетерпеливые» и уходят, если в очереди стоит пять человек (помимо обслуживаемых). Все потоки событий простейшие. Определите характеристики магазина для стационарного режима работы.

16.На вход телефонный станции, имеющей девять каналов обслуживания, поступает в среднем 120 заявок в час. Заявка получает отказ, если все каналы заняты. Среднее время обслуживания в одном канале равно 4 мин. Все потоки в системе простейшие. Определите  характеристики телефонной станции.

17. Рассматривается работа АЗС, на которой имеется пять заправочных колонок. Заправка одной машины длится в среднем 4 мин. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нуждаются в заправке бензином. Число мест в очереди не ограничено. Все машины, вставшие в очередь , дожидаются своей очереди. Все потоки событий простейшие. Определите  вероятностные характеристики АЗС для стационарного режима.

18.Подсчитайте вероятностные  характеристики для  простейшей одноканальной СМО с тремя с тремя местами в очереди при условиях λ=4 заявки в час, t=0,5 ч. Выясните, как эти характеристики изменятся, если увеличить число мест в очереди до четырех.

19.Одноканальная СМО – ЭВМ, на которую поступают заявки на расчеты. Поток заявок простейший со среднем интервалом времени между заявками t=10 мин. Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с математическим ожиданием t = 8мин. Определите среднее число заявок в СМО, среднее время пребывания заявки в системе и в очереди.

20.Система массового обслуживания – билетная касса с тремя окошками (с тремя кассирами) и неограниченной очередью. Пассажиров, желающих купить билет, приходит в среднем пять человек за 20 мин. Поток пассажиров можно считать простейшим. Кассир в среднем обслуживает трех пассажиров за 10 мин. Время обслуживания подчинено показательному закону распределения. Определите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме.

Контрольные вопросы.

1.    Примеры СМО.

2.    Основные понятия СМО.

3.    Основные характеристики СМО.

Литература.

1.     Овечкин, Г. В Компьютерное моделирование [Текст]: учебник/ Г. В. Овечкин.- М - Академия, 2015. – 224 с.

2.     Колдаев, В. Д Численные методы и программирование [Электронный ресурс]: ИНФРА-М., 2016. – 336 с. (ЭБС Znanium.com). Режим доступа: http://znanium.com/bookread2.php?book=546692

3.     Колдаев, В. Д Основы алгоритмизации и программирования [Электронный ресурс]: ИНФРА-М., 2016. – 416 с. (ЭБС Znanium.com). Режим доступа: http://znanium.com/bookread2.php?book=537513