Практические работы "Системы счисления"

Введение

Данное пособие составлено с учетом требований государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по дисциплине «Информатика» и программы курса.

Методическая разработка предназначена для студентов 1 курса очной формы обучения. Содержит практические работы с инструкциями по их выполнению, набор упражнений для самостоятельного изучения материала.

Перечень практических работ охватывает  курс по теме  «Системы счисления». Для обмена информацией с другими людьми человек использует естественные языки (русский, английский). Наряду с естественными языками были разработаны формальные языки (системы счисления, язык алгебры). Работы содержат блок общеобразовательных знаний, поэтому могут быть использованы для преподавания информатики студентам, обучающимся по различным специальностям. Пособие ставит своей целью оказание помощи студентам очного отделения в организации самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы.

Позиционные системы счисления

        Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

        Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.

        Возможно множество позиционных систем,  так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньшее 2.  Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.). 

!	В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

            Десятичная система характеризуется тем,  что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.

            В системе счисления с основанием q  (q-ичная  система  счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q,  иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего  разряда. Для записи чисел в q-ичной системе счисления требуется q различных цифр (0,1,...,q-1).

            В позиционной системе счисления любое  вещественное  число  в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:

Аq= ± (an-1qn-1+an-2qn-2+...+a0q0+a-1q-1+a-2q-2+...+a-mq-m)

         Здесь А — само число,

q — основание системы счисления,

a_i —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,

n — число целых разрядов числа,

m — число дробных разрядов числа.

         Свернутой формой записи числа называется запись в виде

A=an-1an-2...a1a0,a-1...a-m

         Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

        Пример 1. Десятичное число А₁₀=4718,63 в развернутой форме запишется так:

А₁₀=4·10³+7·10²+1·10¹+8·10⁰+6·10^-1+3·10^-2

        Пример 2. Двоичная система счисления.

        В двоичной системе счисления основание q=2. В этом случае формула (2.4) принимает вид: А₂= ± (a_n-12^n-1+a_n-22^n-2+...+a₀2⁰+a_-12^-1+a_-22^-2+...+a_-m2^-m)

Здесь а_i — возможные цифры (0, 1).

        Итак, двоичное  число  представляет собой цепочку из нулей и единиц. При этом оно имеет достаточно  большое  число  разрядов.  Быстрый рост  числа  разрядов — самый существенный недостаток двоичной системы счисления.

        Записав двоичное число А₂=1001,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:

А₂=1·2³+0·2²+0·2¹+1·2⁰+1·2^-1 = 8+1+0,5 = 9,5₁₀.

        Пример 3. Восьмеричная система счисления.

Основание: q=8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Записав восьмеричное число А₈=7764,1  в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления: А₈=7·8³+7·8²+6·8¹+4·8⁰+1·8^-1 = 3584 + 448 + 48 + 4 + 0,125 = 4084,125₁₀

        Пример 4.  Шестнадцатеричная система счисления.

Основание: q=16. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое  обозначение 0,1, …9. Для записи остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Таким образом, запись 3АF₁₆ означает: 3АF₁₆ = 3·16²+10·16¹+15·16⁰ = 768+160+15 = 943₁₀.

        Пример 5. Запишем начало натурального ряда чисел в  десятичной  и  двоичной системах счисления:

А10	А2	А10	А2
0 1 2 3 4 5 6 7	0 1 10 11 100 101 110 111	8 9 10 11 12 13 14 15	1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Задания для самостоятельного выполнения

1.     Какой числовой эквивалент имеет цифра 6 в числах:

6789

3650

16

69

2.      Сравните числа III и 111, записанные в римской и десятичной системах счисления.

3.      Какие числа записаны римскими цифрами:

а)  MCMXCIX;   б) CMLXXXVIII;   в) MCXLVII?

4.      Запишите год,  месяц и число своего рождения c помощью римских цифр.

5.     Некоторые римские цифры легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько неверных равенств. Как можно получить из них верные равенства, если разрешается переложить с одного места на другое только одну спичку (палочку)?

        VII - V=XI                 IX-V=VI

        VI - IX=III                 VIII - III=X

6.      Заполните следующую таблицу:

Система счисления	Основание	Цифры
шестнадцатеричная	16
десятичная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
	8	0,1,2,3,4,5,6,7
	2

7.      Заполните следующую таблицу:

Система счисления	Основание	Разряды (степени)
десятичная	10	10000	1000	100	10	1
восьмеричная	8
двоичная	2

8.      Запишите в развернутом виде числа:

а) А8=143511;	г) А10=143,511;
б) А2=100111; в) А16=143511;	д) А8=0,143511; е) А16=1A3,5C1.

9.      Запишите в свернутой форме следующие числа:

а) А10= 9·101+1·100+5·10-1+3·10-2;

б) А16=А·161+1·160+7·16-1+5·16-2.

10.      Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:

а) А10=А,234; б) А8=-5678;

в) А16=456,46; г) А2=22,2;

11.   Какое  минимальное  основание имеет система счисления,  если в ней записаны числа  127, 222, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

12.   Чему равен десятичный эквивалент чисел 10101₂, 10101₈  10101₁₆?

13.   Трехзначное десятичное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру переместить на два разряда влево, т.е. с нее будет начинаться запись нового числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного исходного числа. Найдите исходное число.

14.   Шестизначное десятичное число начинается слева цифрой 1. Если эту цифру перенести с первого места слева на последнее место справа, то значение образованного числа будет втрое больше исходного. Найдите исходное число.

15.   Какое из  чисел  110011₂, 111₄, 35₈ и 1В₁₆ является:

        а) наибольшим;

        б) наименьшим.

16.   Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 12₈, 11₁₆ и 11011₂?

17.   Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления?

18.   "Несерьезные" вопросы.

        Когда 2×2=100?

        Когда 6×6=44?

        Когда 4×4=20?

19.   Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

а) [1011012; 1100002]; б) [148; 208];

в) [2816; 3016].

20.   В классе 1111₂ девочек и 1100₂ мальчиков. Сколько учеников в классе?

21.   В классе 36_q учеников, из них 21_q девочек и 15_q мальчиков. В какой системе счисления велся счет учеников?

22.   В саду 100_q фруктовых деревьев, из них 33_q яблони, 22_q груши, 16_q слив и 5_q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?

23.   Было 100_q яблока. После того как каждое из них разрезали пополам, стало 1000_q  половинок. В системе счисления с каким основанием вели счет?

24.   У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?

25.   Некогда был пруд,  в центре которого рос один лист водяной  лилии. Каждый  день  число таких листьев удваивалось,  и на десятый день вся поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий.  Сколько дней понадобилось, чтобы  заполнить  листьями  половину пруда?  Сколько листьев было после девятого дня?

Практическая работа № 1.

Перевод чисел в позиционных системах счисления.

         Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q:

1. Основание новой системы счисления  выразить  цифрами  исходной системы счисления  и  все  последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числа  и  получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

3. Полученные  остатки,  являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

        Пример 1.  Перевести  десятичное число 173₁₀ в восьмеричную систему счисления:

173	8
5	21	8
	5	2

 Получаем:  173₁₀=255₈

        Пример 2. Перевести десятичное число 173₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления:

173	16
13	10
(D)	(A)

Получаем: 173₁₀=AD₁₆.

        Пример 3.  Перевести десятичное число 11₁₀ в двоичную систему счисления. Рассмотренную  выше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:

11	2
1	5	2
	1	2	2
		0	1

Получаем: 11₁₀=1011₂.

        Пример 4.  Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы. Переведем десятичное число 363₁₀  в двоичное число.

Делимое	363	181	90	45	22	11	5	2	1
Делитель	2	2	2	2	2	2	2	2	2
Остаток	1	1	0	1	0	1	1	0	1

Получаем: 363₁₀=101101011₂

   Перевод дробных чисел из одной системы  счисления  в другую

        Можно сформулировать алгоритм перевода правильной  дроби с основанием p в дробь с основанием q:

1. Основание новой системы счисления  выразить  цифрами  исходной системы счисления  и  все  последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно  умножать  данное  число  и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения  не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.

3. Полученные целые части произведений,  являющиеся цифрами числа в новой системе счисления,  привести в соответствие с алфавитом  новой системы счисления.

4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

           Пример 1.  Перевести число 0,65625₁₀ в восьмеричную систему счисления.

0,	65625 ×       8
5	25000 ×        8
2	00000

 Получаем: 0,65625₁₀=0,52₈

         Пример 2.  Перевести число 0,65625₁₀ в  шестнадцатеричную  систему счисления.

0,	65625 ×     16
10 (А)	0000 ×     16
8	0000

Получаем: 0,65625₁₀=0,А8_16.

Пример 3.  Перевести  десятичную  дробь 0,5625₁₀ в двоичную систему счисления.

0,	5625 ×    2
1	1250 ×    2
0	2500 ×   2
0	5000 ×    2
1	0000

Получаем: 0,5625₁₀=0,1001₂

         Пример 4. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0,7₁₀.

0,	7 ×2
1	4 ×2
0	8 ×2
1	6 ×2
1	2

        . . .         Очевидно, что  этот процесс может продолжаться бесконечно,  давая все новые и новые знаки  в  изображении  двоичного  эквивалента  числа 0,7₁₀. Так,  за четыре шага мы получаем число 0,1011₂, а за семь шагов число 0,1011001₂,  которое является более точным представлением  числа 0,7₁₀ в двоичной системе счисления,  и т.д.  Такой бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа.

  Перевод произвольных чисел

        Перевод произвольных чисел,  т.е. чисел, содержащих целую и дробную части,  осуществляется в два этапа.  Отдельно переводится целая часть, отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

        Пример 1. Перевести число 17,25₁₀ в двоичную систему счисления.

Переводим целую  часть:		Переводим дробную часть:
17 2 1 8 2 0 4 2 0 2 2 0 1	0,		25 ×2
	0		50 ×2
	1		00

Получаем: 17,25₁₀=1001,01₂

         Пример 2.  Перевести число 124,25₁₀ в восьмеричную систему.

Переводим целую часть:	Переводим дробную часть:
124 8 4 15 8 7 1	0,	25 ×8
	2	00

Получаем: 124,25₁₀=174,2₈

 Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2ⁿ и обратно

        Перевод целых чисел. Если основание q-ичной системы счисления является степенью  числа 2, то  перевод  чисел из q-ичной системы счисления в 2-ичную и обратно можно проводить по более простым правилам. Для того, чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2ⁿ, нужно:

1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n  цифр в каждой.

2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и  записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ.

         Пример 1.  Число 101100001000110010₂ переведем в восьмеричную систему счисления.

        Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

101	100	001	000	110	010
5	4	1	0	6	2

        Получаем восьмеричное представление исходного числа: 541062₈.

         Пример 2.  Число 1000000000111110000111₂ переведем в шестнадцатеричную систему счисления.

        Разбиваем число  справа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

0010	0000	0000	1111	1000	0111
2	0	0	F	8	7

        Получаем шестнадцатеричное    представление    исходного   числа: 200F87₁₆.

         Перевод дробных чисел. Для  того,  чтобы  дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2ⁿ, нужно:

1. Двоичное число разбить слева направо на группы по n  цифр в каждой.

2. Если  в последней правой группе окажется меньше n разрядов,  то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и  записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ.

         Пример 3.  Число  0,10110001₂ переведем в восьмеричную систему счисления.

        Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

0,	101	100	010
0,	5	4	2

        Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,542₈.

         Пример 4.  Число  0,100000000011₂  переведем  в шестнадцатеричную систему счисления.         Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

0,	1000	0000	0011
0,	8	0	3

        Получаем шестнадцатеричное    представление    исходного   числа: 0,803₁₆

         Перевод произвольных чисел. Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2ⁿ, нужно:

1. Целую часть данного  двоичного  числа  разбить  справа налево, а дробную — слева направо на группы по n цифр в каждой.

2. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями  до нужного числа разрядов;

3.  Рассмотреть  каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ

         Пример 5.  Число 111100101,0111₂ переведем в восьмеричную систему счисления.

        Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

111	100	101,	011	100
7	4	5,	3	4

        Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,34₈.

         Пример 6.  Число  11101001000,11010010₂ переведем в шестнадцатеричную систему счисления.

        Разбиваем целую и дробную части числа на тетрады  и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

0111	0100	1000,	1101	0010
7	4	8,	D	2

        Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D2₁₆.

        Перевод чисел из систем счисления с основанием q=2ⁿ в двоичную систему. Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q=2ⁿ, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в двоичной системе счисления.

        Пример 7.  Переведем шестнадцатеричное число 4АС35₁₆ в  двоичную систему счисления.

        В соответствии с алгоритмом:

4	А	С	3	5
0100	1010	1100	0011	0101

Получаем: 1001010110000110101₂.

 Задания для самостоятельного выполнения

1.      Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления.

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
101010
	127
		269
			9B

2.      Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число должно быть записано в различных системах счисления.

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
0,101
	0,6
		0,125
			0,4

3.      Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же произвольное число (число может содержать как целую, так и дробную часть) должно быть записано в различных системах счисления.

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
111101,1
	233,5
		46,5625
			59,B

 

Практическая работа № 2.

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции в двоичной системе счисления. Рассмотрим более подробно арифметические операции в двоичной системе счисления. Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании таблиц сложения, вычитания и умножения цифр. Арифметические операнды располагаются в верхней строке и в первом столбце таблиц, а результаты на пересечении столбцов и строк

+	0   1	-	0   1	×	0  1
0 1	0   1 1 10	0 1	0 11 1   0	0 1	0  0 0  1

Рассмотрим подробно каждую операцию.

Сложение. Таблица двоичного сложения предельно проста.  Только в одном случае, когда производится сложение 1+1, происходит перенос в старший разряд.

Пример 1. Рассмотрим несколько примеров сложения двоичных чисел:

     1001             1101                11111            1010011,111

   +                   +                      +                    +

     1010             1011                        1                11001,110

     ------             ------              ---------             --------------

   10011           11000              100000            1101101,101

       Вычитание. При выполнении операции вычитания всегда  из  большего по  абсолютной  величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак.  В таблице вычитания 1 с чертой означает заем в  старшем разряде.

Пример 2. Рассмотрим несколько примеров вычитания двоичных чисел:

10111001,1 - 10001101,1 = 101100,0

101011111 - 110101101 = -1001110

     10111001,1                     110110101

    -                                       -

     10001101,1                     101011111

    ---------------                    --------------

     00101100,0                     001010110

       Умножение. Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме,  применяемой в десятичной системе счисления  с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Пример 3.  Рассмотрим несколько примеров умножения двоичных чисел:

11001 ×  1101 = 101000101

11001,01 ×  11,01 = 1010010,0001

         11001                        11001,01

      ×   1101                    ×        11,01

        ---------                       -----------

         11001                         1100101

     11001                         1100101

   11001                         1100101

 -------------                  -----------------

 101000101                 1010010,0001

 Умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.

 Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной  системе  счисления.

Пример 4. Рассмотрим пример деления двоичных чисел:

101000101 : 1101 = 11001        

 101000101  1101

 -1101           11001

     1110

   - 1101

          1101

        - 1101

                  0

        Сложение в других системах счисления. Ниже приведена таблица сложения в восьмеричной системе счисления:

+	1	2	3	4	5	6	7
1	2	3	4	5	6	7	10
2	3	4	5	6	7	10	11
3	4	5	6	7	10	11	12
4	5	6	7	10	11	12	13
5	6	7	10	11	12	13	14
6	7	10	11	12	13	14	15
7	10	11	12	13	14	15	16

Задания для самостоятельного выполнения

1.      Выполните арифметические операции:

  а) 1110₂ + 1001₂           г) 1110₂ -1001₂     ж) 1110₂ × 1001₂      к) 1010₂ : 10₂

  б) 67₈ + 23₈                         д) 67₈ - 23₈             з) 67₈ × 23₈              л) 74₈ : 24₈

  в) AF₁₆ + 97₁₆               е) AF₁₆ - 97₁₆         и) AF₁₆ × 97₁₆             м) 5A₁₆ : 1E₁₆

2.      Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны следующие равенства в двоичной системе:

            а) 1100 ? 11 ? 100 = 100000;

            б) 1100 ? 10 ? 10 = 100;

            в) 1100 ? 10 ? 10 = 110000;

            г)  1100 ? 10 ? 10 = 1011;

            д) 1100 ? 11 ? 100 = 0.

3.      Какое число следует за каждым из данных:

      а) 10₁₀;           в) AF₁₆;

      б) 677₈;          г) 101₂.

Ответ для каждого числа запишите в указанной и десятичной системах счисления.

4.      Какое число предшествует каждому из данных:

     а) 10₁₀;             в) 9A₁₆;

     б) 56₈;              г) 110₂.

5.      Выпишите целые числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

    а) [101101₂; 110000₂] в двоичной системе;

    б) [14₈; 20₈] в восьмеричной системе;

    в) [28₁₆; 30₁₆] в шестнадцатеричной системе.

Ответ для каждого числа запишите в указанной и десятичной системах счисления.

6.      Вычислите выражения:

а) (1111101₂ + AF₁₆) / 36₈;

б) 125₈ + 11101₂ × A2₁₆ - 1417₈.

7.      Найдите среднее арифметическое следующих чисел:

    а) 10010110₂, 1100100₂ и 110010₂;

    б) 226₈, 64₁₆ и 62₈.

8.      Сумму восьмеричных чисел 17₈ + 1700₈ + 170000₈ + 17000000₈ + 1700000000₈ перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, пятую цифру слева.

9.      Восстановите неизвестные цифры, обозначенные знаком вопроса, в следующих примерах на сложение и вычитание, определив вначале, в какой системе изображены числа.

а)  5?55    +?327    ?16?4

б) 1536      -?42   67?

ЛИТЕРАТУРА

1. Ляхович В. Ф., Крамаров С. О. Основы информатики. Изд. 2-е, доп. И перер.—Ростов н/Д: изд-во «Феникс», 2007.—704 с.

2. Михеева Е. В. Практикум по информатике: учеб. пособие для сред. проф. образования / Е. В. Михеева.—4-е изд., стер.—М.: Издательский центр «Академия», 2007.—192 с.

3. Сафронов И. К. Задачник-практикум по информатике.—СПб.: БХВ-Петербург, 2006.— 432 с.

4. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов.—М.: БИНОМ. Лаборатория знаний.—2006.—511 с.

5. Угринович Н.Д. Практикум по информатике и информационным технологиям. Учебное пособие.—М.: БИНОМ. Лаборатория знаний.—2006.—394 с.