Практическое занятие .Основные приемы решения уравнений.

Практическое занятие .Основные приемы решения уравнений.

Цель: Совершенствовать навыки решения уравнений

План проведения:

-       изучить теорию;

-       разобрать предложенные примеры;

-       выполнить самостоятельно индивидуальные задания;

-       ответить на контрольные вопросы.

Краткие теоретические сведения к практической работе

I. Разложение на множители

- Уравнение вида .  Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю или оба одновременно.

Пример 1.

Решите уравнение методом разложения на множители: 2х²  + 3х = 0

Решение. Вынесем переменную х за скобки: х(2х + 3) = 0. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, х = 0 или 2х + 3 = 0. Значит, х = 0 или х = -1,5

Ответ: -1,5; 0.

Пример 2 Решите уравнение  

Решение.

ОДЗ: 

Применим  формулу двойного аргумента: .

Получим:

,

                              или       

                               . решения нет.

II.  Введение новых неизвестных (или замены переменной)

- Замену переменной в уравнении вводят так, чтобы привести уравнение к стандартному виду.

Пример 3. Решите уравнение методом замены переменной: 4^х - 3·2^х +2 = 0

Решение.  Переходим к одному основанию. 4^х = (2²)^х = 2^2х

Получаем уравнение: 2^2х - 3·2^х +2 = 0

Замена:  2^х = t, тогда t² - 3t+2 = 0

Решаем через дискриминант, получаем: t₁ = 2, t₂ = 1

Обратная замена: 1) t₁ = 2, 2^х = 2, х₁ = 1

2) t₂ = 1, 2^х = 1, 2^х = 2⁰, х₂ = 0

Ответ:  0; 1.

Пример 4. Решите уравнение методом замены переменной: х⁴ + 4х²  - 5 = 0.

Решение. Такие уравнения называются биквадратными. Перепишем его в виде: (х²)² + 4х²  - 5 = 0. Замена:  t =  х², тогда: t² + 4 t – 5 = 0, t = -5 или t = 1.

Обратная замена: х² = -5 или х² = 1. Решений у первого уравнения нет, поскольку не существует такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицателен. Второе уравнение имеет два корня 1.

Ответ: 1.

III. Графический прием.

- Для уравнения  на одном рисунке изобразим графики . Точкам пересечения графиков этих функций соответствуют те значения аргумента х, при которых совпадают значения функции, то есть корни данного уравнения.

Итак, абсциссы точек пересечения графиков  являются корнями уравнения

 

Пример 5 Решите графически уравнение: (х – 1 )² = .

Решение.

y

ОДЗ:      х 

Ответ:

 

1.      

Пример 6. Решить графически уравнение:  = 3 – x.

Строим по точкам графики двух функций у =   и y = 3 – x и находим абсциссу точек пересечения графиков.

Желаю Вам успехов!!!

.Содержание практической работы

Вариант 1	Вариант 2
1. Решите уравнение:
а) 5;   б) 2sin2 x = cos x.	а) 3; б) sin2 x = cos x.
2. Найдите корни уравнения:
3. Решите графически уравнение
= 1  х	= х  1

Контрольные вопросы:

1.   Перечислить виды уравнений при решении своего варианта.

2. Сколько корней имеет простейшее показательное уравнение  при различных а и в?

3. При каких значениях а уравнение  не имеет решений?

4.   Почему при  решении уравнения вида f(x)=0 стараются разложить на множители левую часть?