Презентация к уроку по алгебре и начала математического анализа в 11 классе по теме : " Понятие производной"

• 1 слайд

  Презентация на тему: «Понятие производной функции,
  её геометрический
  и
  физический смысл»
  

• 2 слайд

  Вопросы:
  История возникновения производной функции.
  Понятие производной.
  Геометрический смысл производной.
  Физический (механический) смысл производной.
  

• 3 слайд

  1. История возникновения производной функции
  Раздел математики, в котором изучаются производные и их применение к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Приращения вида Δf, представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей; это название появилось уже в конце 17в., т.е. при рождении нового метода.
  Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова deriveе, которое ввёл в 1797г. Ж.Лагранж, он же ввёл современные обозначения у' , f'. Такое название отражает смысл понятия: функция f'(x) происходит из f(x), является производным от f(x). И.Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию – флюентой. Г.Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и ввёл обозначение производной df/dx.
  Слово «экстремум» происходит от латинского extremum (крайний). Maximum переводится как наибольший, а minimum – наименьший.
  

• 4 слайд

  1736 - 1813
  Рано изучил сочинения Евклида и Архимеда, Галлея (друга Ньютона).
  В 16 лет стал преподавать математику в Артиллерийском училище в Турине.
  В 19 лет стал профессором математических наук.
  В 23 года стал академиком и иностранным членом Берлинской академии наук.
  Автор трудов по вариационному исчислению, математическому анализу, теории чисел, алгебре, дифференциальным уравнениям.
  Его работы по математике, астрономии и механике составляют 14 томов.
  Император Франции сделал учёного сенатором, графом империи и командором ордена Почетного легиона.
  « – величественная пирамида математических наук»
  Выдающийся французский математик, ввел термин «ПРОИЗВОДНАЯ» и её современное обозначение.
  Жозеф Луи Лагранж
  Наполеон I Бонапарт
  

• 5 слайд

• 6 слайд

• 7 слайд

• 8 слайд

  2. Понятие производной
  Пусть х - произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности точки х0 (окрестность точки х0 - это интервал (а; б), x0(а; б)).
  Разность х-х0 называется приращением аргумента: ∆x=х-x0. Отсюда x=x0+∆x.
  Разность f(x)-f(x0) называется приращением функции: ∆f=f(x)-f(x0) или ∆f=f(х0+∆x)–f(х0). Отсюда, f(х0+∆x)=f(х0)+∆f.
  

• 9 слайд

  2. Понятие производной
  Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции ∆f к приращению аргумента ∆x, стремящегося к «нулю»:
  

• 10 слайд

  2. Понятие производной
  Четыре обозначения для производной:
  

• 11 слайд

  2. Понятие производной
  

• 12 слайд

  2. Понятие производной
  Алгоритм нахождения производной функции y=f(x) в точке х0:
  Найти значение функции в точке x0+∆x: f(x0+∆x)
  Найти приращение функции: ∆f=f(x0+∆x)-f(x0)
  Найти отношение приращения функции к приращению аргумента:
  
  Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:
  

• 13 слайд

  2. Понятие производной
  Пример: Дана функция y=x2. Найти её производную в произвольной точке и в точке х=3.
  Решение:
  f(x0+∆x)=(х+∆x)2;
  ∆f=(х+∆x)2-х2=x2+2x∆x+(∆x)2-x2=2х∆x+(∆x)2;
  
  , т.е. y’=(x2)’=2x;
  
  при х=3 получим y’(3)=2*3=6.
  Ответ: y’=2x; y’(3)=6
  

• 14 слайд

  Пример: Воспользовавшись определением производной, найти производную функции
  Решение: Дадим x приращение x, тогда y получит приращение y:
  
  
  
  
  Так как
  
  то
  
  
  Ответ:
  

• 15 слайд

  Электронная физминутка
  для глаз
  

• 16 слайд

  «Если продолжить одно из маленьких звеньев ломаной, составляющей кривую линию, то эта продолженная таким образом сторона будет называться касательной к кривой»
  3. Геометрический смысл производной.
  Это кто?
  Лейбниц Г.В.
  

• 17 слайд

  3. Геометрический смысл производной
  Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:
  y
  0
  х
  х
  f(x )
  x+Δx
  М
  М1
  f(x+ Δx )
  Через точки М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.
  φ
  При x→0 в силу непрерывности функции y также стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1 переходит в касательную.
  

• 18 слайд

  Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x.
  Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
  Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
  Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.
  Уравнение касательной
  Уравнение нормали
  3. Геометрический смысл производной.
  

• 19 слайд

  11.09.2023
  Пример: Найти уравнение касательной и нормали для функции f(x)=x2 в точке x0 = 3.
  Решение:
  Ответ:
  

• 20 слайд

  «Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад»
  Исаак Ньютон
  3. Физический (механический)
  смысл производной
  Это кто?
  

• 21 слайд

  0
  s
  S(t) за время t
  }
  S’(t)
  =
  V(t)
  V’(t)
  =
  a(t)
  S(t) - перемещение точки за время t
  V(t) – скорость точки в момент t
  a(t) – ускорение точки в момент t
  3. Физический (механический)
  смысл производной
  

• 22 слайд

  Пример: Точка движется прямолинейно по закону
  S(t) = 2 t ³ - 3 t. Вычислите скорость движения точки:
  а) в момент времени t;
  б) в момент времени t=2с.
  Решение:
  
  а)
  
  б)
  
  
  3. Физический (механический)
  смысл производной
  Ответ: V(t)=6t2-3; V(2)=21 м/с
  

• 23 слайд

  Пример: Материальная точка движется по закону
  (м).
  В какой момент времени (с) скорость точки будет равна 12,8 м/c ?
  Найти
  Найти
  Решение:
  S’(t)
  =
  V(t)
  t = 2,2 (с).
  3. Физический (механический) смысл производной
  

• 24 слайд

  Пример: Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t)=t³- 4t²
  Найдите скорость и ускорение в момент времени t=5с.
  
  3. Физический (механический)
  смысл производной
  Ответ: V(5)=35 м/c; a(5)=22 м/с2
  Решение:
  

• 25 слайд

  2. Найти мгновенную скорость в момент времени t=3 сек.
  3. Найти ускорение при t=3 сек
  1. Найти среднюю скорость движения на указанном отрезке
  3. Физический (механический)
  смысл производной
  Ответ: Vср=73 м/с; V(3)=12 м/c; a(3)=12 м/с2
  

• 26 слайд

  Пример: Две материальные точки движутся прямолинейно по законам s1(t) = 1 - 6t + 2,5t 2 и s2(t) = -3+ 2t + 0,5t 2. Определить в какой момент времени скорости их будут равны.
  Ответ: при t0 = 2 с
  Решение:
  подсказка
  3. Физический (механический) смысл производной
  

• 27 слайд

  Пример: Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью р( t ) = t 2/2 + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды.
  подсказка
  РЕШЕНИЕ:
  1) v( t ) = p`( t ) = t + 3,
  2) v(3) = p`(3) = 3 + 3 = 6 (моль/сек)
  Ответ: 6 моль / сек
  3. Физический (механический) смысл производной
  Задача по химии
  

• 28 слайд

  подсказка
  Пример: Тело, подброшенное вверх движется по закону s(t) = 4+ 8t – 5t 2 . Найдите:
  1) скорость тела в начальный момент времени;
  2) наибольшую высоту подъёма тела.
  РЕШЕНИЕ:
  2) t= 0, v(0) = s’(0) = 8 м/с – скорость тела в начальный момент времени
  1) v (t) = s’(t) = 8 – 10t - скорость тела;
  3) s (0,8)= 4+ 8·0,8 – 5· 0,64 =7,2 м – максимальная высота броска тела.
  Ответ: 8 м/с ; 7,2 м.
  3. Физический (механический) смысл производной
  

• 29 слайд

  Точка движется прямолинейно по закону
  S (t) = t3 – 2t2.
  Выберите какой из формул задается скорость движения точки в момент времени t.
  
  1) 3t2 – 2; 2) t2 – 4t; 3)3t2 – 4t; 4) t4 – 2t3
  УСТНО!
  Задача по физике
  Ответ: 3
  

• 30 слайд

  Объем продукции V цеха в течение дня зависит от времени по
  V(t) = -5/3t3+15/2t2+50t+70.
  Вычислите производительность труда П(t).
  Ответ: П(t) = -5t2+15t+50
  
  Задача по экономике
  УСТНО!