Презентация к уроку "Понятие о дифференциальных уравнениях. Метод Эйлера"

• 1 слайд

  Понятие о дифференциальном уравнении.
  Метод Эйлера
  Дисциплина «Численные методы»
  

• 2 слайд

  Дифференциальное уравнение-
  Это уравнение, в котором неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.
  Например:
  
  

• 3 слайд

  Порядок дифференциального уравнения-
  Это наивысший порядок производной (или дифференциала), входящей в уравнение .
  Например: уравнения
  2-го порядка,
  
  1-ого порядка.
  

• 4 слайд

  Обыкновенное дифференциальное уравнение
  Это дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция, входящая в уравнение, зависит только от одной независимой переменой. Например:
  
  

• 5 слайд

  Параметры дифференциального уравнения
  Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в самом общем случае содержит независимую переменную x , неизвестную функцию y и ее производные или дифференциалы до n-го порядка включительно и имеет вид
  
  

• 6 слайд

  Решение дифференциального уравнения-
  Это всякая дифференцируемая функция
  удовлетворяющая этому уравнению, т.е. такая, после подстановки которой в уравнение оно обращается в тождество.
  

• 7 слайд

  Задача Коши-
  Найти решение уравнения
  удовлетворяющее дополнительным условиям, состоящим в том, что решение должно принимать вместе со своими производными до (n-1)-го порядка заданные числовые значения при заданном числовом значении независимой переменной x:
  
  
  при
  

• 8 слайд

  Решение дифференциальных уравнений численными методами
  Методы приближенного решения дифференциальных уравнений
  Аналитические методы
  дают приближенное решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения
  Численные методы
  дают приближенное решение дифференциального уравнения в виде
  таблицы
  

• 9 слайд

  Решить дифференциальное уравнение численным методом -
  это значит для заданной последовательности аргументов x0,x1,…,xn и числа y0 , не определяя функцию y=F(x) , найти такие значения y1,…,yn, что yi=F(xi) и F(x0)=y0.
  

• 10 слайд

  Методы численного решения дифференциальных уравнений
  Метод Эйлера
  Модификации метода Эйлера
  Метод Рунге-Кутта
  Метод Адамса
  

• 11 слайд

  Метод Эйлера
  

• 12 слайд

  Леонард Эйлер (1707-1783)-
  математик, механик, физик и астроном, ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Автор свыше 800 работ по математическому анализу, теории чисел, небесной механике, математической физике, оптике, балластике, кораблестроению, теории музыки и др.
  

• 13 слайд

• 14 слайд

  Постановка задачи
  Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка y`=f(x,y) с начальным условием x=x0 , y(x0)=y0 . Требуется найти решение уравнения y`=f(x,y) на отрезке [a,b].
  

• 15 слайд

  Все вычисления по методу Эйлера удобно располагать в таблице
  

• 16 слайд

  Решение дифференциального уравнения методом Эйлера
  Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение y`=y-x с начальным условием y(0)=1,5 на отрезке[0;1,5], приняв h=0,25. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой.
  

• 17 слайд

  Решение дифференциального уравнения методом Эйлера
  Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение y`=x+cos(y/3) с начальным условием y(1,6)=4,6 на отрезке[1,6;2,6], приняв h=0,2. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой.
  

• 18 слайд

  Домашнее задание
  Работа с конспектом
  Решить задачу: Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение y`=2(x+y) с начальным условием y(0)=0 на отрезке[1;2], приняв h=0,2. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой