Презентация на тему "Алгебра логики"

• 1 слайд

  АЛГЕБРА ЛОГИКИ
  

• 2 слайд

  ЛОГИКА (греч. logike), наука о способах доказательств и опровержений;
  совокупность научных теорий, в каждой из которых рассматриваются
  определенные способы доказательств и опровержений.
  
  
  Основателем логики считается Аристотель.
  
  

• 3 слайд

  Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые
  со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.
  

• 4 слайд

  Логическое высказывание —
  это любoе повествовательное
  пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo, мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.
  

• 5 слайд

  Например:
  "6 — четное число" следует считать высказыванием, так как оно истинное.
  "Рим — столица Франции" тоже высказывание, так как оно ложное.
  

• 6 слайд

  НЕ являются ЛОГИЧЕСКИМ высказыванием
  
  
  «ученик десятого класса» (ничего не утверждает)
  
  "информатика — интересный предмет« (неопределённое понятие)
  

• 7 слайд

  Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.
  
  Например:
  «в городе A более миллиона жителей» - нужны дополнительные сведения для определения истинности или ложности.
  
  

• 8 слайд

  ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ
  
  "не",   "и",   "или",  "если... , то",   «тогда и только тогда»
  
  Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются   составными.
  
  Высказывания, не являющиеся составными,называются   элементарными.
  
  
  

• 9 слайд

  Например, из элементарных высказываний
  "Петров — врач", "Петров — шахматист" при помощи связки "и" можно получить составное высказывание "Петров — врач и шахматист", понимаемое как "Петров — врач, хорошо играющий в шахматы".
  

• 10 слайд

  Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.
  А - высказывание "Тимур поедет летом на море" В — высказывание "Тимур летом отправится в горы".
  Тогда составное высказывание   "Тимур летом побывает и на море,  и в горах"   можно кратко записать как     А и В.  Здесь   "и"  — логическая связка,   А,   В   — логические переменные, которые мoгут принимать только два значения —   "истина"   или   "ложь",  обозначаемые, соответственно,   "1"  и   "0".
  

• 11 слайд

  Операция, выражаемая словом "не",
  называется отрицанием и
  обозначается чертой над высказыванием
  или знаком
  .
  Высказывание ã
  истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.
  Пример. "Луна — спутник Земли" (А); "Луна — не спутник Земли" (ã ).
  
  

• 12 слайд

  Операция, выражаемая связкой "и",
  называется конъюнкцией
  (лат. conjunctio — соединение)
  или логическим умножением
  и обозначается точкой " ."
  (может также обозначаться
  знаками или &).
  Высказывание А В истинно
  тогда и только тогда,
  когда оба высказывания А и В истинны.
  
  
  

• 13 слайд

  Операция, выражаемая связкой "или" (в не исключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом).
  
  Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.
  

• 14 слайд

  Операция, выражаемая связками  
  "если ..., то",  "из ... следует",  "... влечет ...", 
  называется импликацией
  (лат. implico — тесно связаны)
  и обозначается знаком
  .
  Высказывание  А В ложно тогда и только тогда, когда  А  истинно,  а  В  ложно.
  

• 15 слайд

  Операция, выражаемая связками
  «тогда и только тогда»
  «необходимо и достаточно»
  "... равносильно...",
  называется эквиваленцией или
  двойной импликацией
  и обозначается знаком    или  ~.  
  
  

• 16 слайд

  Высказывание
  истинно тогда и только тогда,
  когда значения А и В совпадают.
  Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками.
  ИЛИ сначала выполняется операция отрицания ("не"), затем конъюнкция ("и"), после конъюнкции — дизъюнкция ("или") и в последнюю очередь — импликация.
  
  

• 17 слайд

  С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.
  
  Определение логической формулы:
  1. Всякая логическая переменная и символы "истина" ("1") и "ложь" ("0") — формулы.
  2. Если  А и В — формулы,   то   ,   А. В ,   А v В ,   А B ,   А В   —  формулы.
  Никаких других формул в алгебре логики нет.
  В п. 1 определены элементарные формулы; в п. 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул.
  
  

• 18 слайд

  В качестве примера рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог". Это высказывание формализуется в виде (A v B) C.
  
  При определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение "истина", а при некоторых других сочетаниях — значение "ложь". Такие формулы называются выполнимыми.
  
  

• 19 слайд

  Некоторые формулы принимают значение "истина" при любых значениях истинности входящих в них переменных.
  Например, формула А v ã , ("Этот треугольник прямоугольный или косоугольный«).
  Истинна -когда треугольник прямоугольный, когда треугольник не прямоугольный.
  Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.
  
  

• 20 слайд

  Если две формулы А и В одновременно, то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.
  Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом "="
  Замена формулы другой, ей равносильной, называется равносильным преобразованием данной формулы.
  
  

• 21 слайд

  РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ