Презентация по геометрии 10-11 класса, на тему нахождение углов в пространстве. Полезна при подготовке к ЕГЭ.

• 1 слайд

  МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
  УЧРЕЖДЕНИЕ «Школа № 140»
  
  
  «УГЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ.»
  Выполнила:
  Рыбенкова Маргарита Павловна,
  учитель математики
  МБОУ «Школа №140»
  Н. Новгород
  

• 2 слайд

  Определение угла между скрещивающимися прямыми.
  

• 3 слайд

  Определение угла между прямой и плоскостью.
  

• 4 слайд

  Определение угла между плоскостями
  (метод параллельных прямых)
  

• 5 слайд

  Определение угла между плоскостями
  (метод параллельных плоскостей)
  

• 6 слайд

  Определение угла между плоскостями
  (метод использования перпендикуляров к плоскостям)
  

• 7 слайд

  Определение угла между плоскостями
  (использование расстояний от точки до плоскости)
  

• 8 слайд

  Определение угла между плоскостями
  (использование теоремы ортогональной проекции)
  cos𝜑 = 𝑆 пр 𝑆
  

• 9 слайд

  Векторно-координатный метод
  cosφ= 𝑥 1 ⋅ 𝑥 2 + 𝑦 1 ⋅ 𝑦 2 + 𝑧 1 ⋅ 𝑧 2 𝑥 1 2 + 𝑦 1 2 + 𝑧 1 2 ⋅ 𝑥 2 2 + 𝑦 2 2 + 𝑧 2 2
  
  cosφ= 𝑝 ⋅ 𝑞 𝑝 ⋅ 𝑞
  Векторный метод
  

• 10 слайд

  Пример применения конструктивного метода.
  В правильной треугольной пирамиде MABC с
  основанием ABC известны ребра AB = 7 3 , MC=25 . Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AM и BC .
  
  Решение.
  MO⊥ABC – высота
  AO= AB 3 =7
  MO= AM 2 − AO 2 = 625−49 =24.
  EF⊥ABC,
  AE=EM, EF‖MO, EF – средняя линяя
  EF=12
  AF=FO=OD= 7 2 , FD=7
  tg∠(ED,ABC) = 𝐸𝐹 𝐹𝐷 = 12 7
  
  => ∠(ED,ABC) = arctg 12 7 .
  M
  A
  C
  B
  D
  E
  O
  F
  

• 11 слайд

  В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найти угол между плоскостями BA1D1 и AA1E1.
  Пример применения конструктивного метода.
  Решение.
  Т.к. BA, D1E1 и CF ⊥ AA1E1, то AA1E1G - ортогональная проекция BA1D1C.
  BA1D1C – равнобедренная, A1D1=2 , BC=1,
  BA1=CD1= 1+4 = 5
  h= CD 1 2 − A1 D1−BC 2 2 = 5− 2−1 2 2 = 19 2
  S BA1 D1 C = A1 D1+BC 2 ∙h= 3 19 4 .
  В AA1E1G:
  A1E1= 3 , AG= 3 2 , h=AA1=2.
  S A GE 1 A 1 = A 1 E 1 +AG 2 ∙ AA 1 = 3 3 2 .
  cos (BA1D1,AA1E1)= S A GE 1 A 1 S BA1 D1 C = 3 3 2 : 3 19 4 = 12 19 .
  => (BA1D1,AA1E1)=arccos 12 19
  
  
  A
  B
  C
  D
  E
  F
  A1
  B1
  C1
  D1
  E1
  F1
  G
  

• 12 слайд

  F
  E
  Пример применения векторно-координатного метода.
  В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между прямыми АЕ и DF, где Е и F – точки, расположенные на ребрах CD и C1D1 так, что
  DE= 1 3 DC, С1F= 1 3 D1C1.
  
  Решение.
  А(0;0;0), D(1;0;0), Е(1; 1 3 ;0), F(1; 2 3 ;1),
  AE 1; 1 3 ;0 , DF 0; 2 3 ;1 .
   
  cosφ = AE ⋅ DF AE ⋅ DF = 2 9 10 3 ⋅ 13 3 = 2 130 =>φ=arccos 2 130
  
  x
  y
  z
  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  

• 13 слайд

  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  F
  E
  x
  y
  z
  В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между прямой АD1 и плоскостью, проходящей через точки А1, Е и F, где точка Е – середина ребра C1D1 , а точка F лежит на ребре DD1, так, что DF=2DF
  Решение.
  А(0;0;0), А1(0;0;1), D1(1;0;1), Е(1; 1 2 ;1), F(1;0; 1 3 ),
  𝐴 1 𝐸 1; 1 2 ;0 , 𝐴 1 𝐹 1;0;− 2 3 , 𝐴 𝐷 1 1;0;1 .
  𝑛 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 - вектор нормали к плоскости 𝛼
  sin𝜑= 𝐴 𝐷 1 ⋅ 𝑛 𝐴 𝐷 1 ⋅ 𝑛 .
  𝑛 ∙ 𝐴 1 𝐸 =0 𝑛 ∙ 𝐴 1 𝐹 =0 , ⇒ 𝑥+ 𝑦 2 =0 𝑥− 2 3 𝑧=0 , 𝑦=−2𝑥 𝑧=1,5𝑥 .
  
  𝑛 2;−4;3 , 𝑛 = 29 . 𝐴 𝐷 1 = 2 ,
  𝐴 𝐷 1 ⋅ 𝑛 =1⋅2+0⋅ −4 +1⋅3=5
  => sin𝜑= 5 2 ∙ 29 = 5 58 ,
  φ=arcsin 5 58
  Пример применения векторно-координатного метода.
  

• 14 слайд

  Пример применения векторного метода.
  A
  B
  C
  D
  S
  E
  O
  F
  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра
  которой равны 1, найти угол между прямой DE, где E – середина апофемы SF грани ASB, и плоскостью ASC.
  Решение.
  ОD ⊥ ASC, OD - нормаль ASC.
  AD = а , АB = b , АS = c , где a = b = c =1,
  a ∙ b = 0. a ∙ c = c ∙ b = a 2 cos 60 0 =0,5.
  OD = AD + OA = 1 2 (a − b )
   
  DE = DA + AF + FE =− a + 1 4 b + 1 2 c .
   
  DE ⋅ OD =− 1 2 a 2 − 1 8 b 2 + 1 4 a ∙ c − 1 4 c ∙ b = - 1 2 − 1 8 = - 5 8 DE = − a + 1 4 b + 1 2 c 2 = 15 16 , OD = 1 2 a − 1 2 b 2 = 1 2 .
   
  sin φ= DE ∙ OD DE ∙ OD , sin φ= 5 8 ⋅ 4 15 ∙ 2 = 5 30 .
  φ=∠ DE,ASC = arcsin 5 30
  а
  𝑏
  𝑐