Зачет
по геометрии « Объем многогранников»
Задача
№1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус
описанной вокруг основания окружности равен , а
высота пирамиды равна 4.
Задача
№2. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус
вписанной в основание окружности равен , а боковые
ребра пирамиды равны 6.
Задача
№3. Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной
пирамиды, если радиус описанной около основания окружности равен , а
высота пирамиды равны 1.
Задача
№4. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, сторона
основания которой равна 6, а апофема пирамиды равна .
Задача
№5. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус
вписанной в основание окружности равен 2, а высота правильной пирамиды равна .
Задача
№6. Вычислите площадь боковой поверхности правильной
четырехугольной пирамиды, если её ребра равны 5, а радиус окружности, описанной
вокруг основания равен 3.
Задача
№7. В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой
поверхности равна 16, а
площадь основания 4. Найдите высоту пирамиды.
Задача
№8. Вычислите объём правильной шестиугольной пирамиды, если
сторона основания равна 4, а боковые ребра пирамиды равны 5.
Задача
№9. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2, а
боковое ребро равно 2. Найдите
объём пирамиды.
Задача
№ 10. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Высота
цилиндра равна 5, а радиус его основания R удовлетворяет уравнению R2
+ R – 6 = 0. Найдите объём призмы.
Задача
№11. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Расстояние
между осью цилиндра и стороной основания призмы равно .
Высота цилиндра равна трем его радиусам. Найдите объём призмы.
Задача
№12. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Площадь
боковой поверхности цилиндра равна 16 p. Найдите объём
призмы, если сторона её основания равна 5.
Задача
№13. Около правильной четырехугольной призмы описан цилиндр,
площадь боковой поверхности которого равна 20p. Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
Задача
№14. В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр. Объем
цилиндра равен 16 , а
радиус окружности, описанной вокруг основания призмы, равен .
Найдите диагональ призмы.
Задача
№15. В правильную шестиугольную призму вписан цилиндр. Найдите
высоту призмы, если её площадь равна 54 , а
радиус цилиндра равен 3.
Задача № 16. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём
цилиндра равен 16 p, высота цилиндра равна 4. Найдите объём призмы.
Задача
№17. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём
цилиндра равен 10 p. Найдите объём цилиндра, вписанного в эту же призму.
РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
(по материалам ЕГЭ)
Задача
№1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус
описанной вокруг основания окружности равен , а
высота пирамиды равна 4.
Решение.
.
1)
найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .
2)
найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .
3)
вычислим объём пирамиды
.
Ответ.
9
Задача
№2. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус
вписанной в основание окружности равен , а
боковые ребра пирамиды равны 6.
Решение.
1)
радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса
описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда
.
2)
найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .
3)
найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .
4)
из прямоугольного треугольника по
теореме Пифагора находим высоту пирамиды: , .
5)
вычислим объём пирамиды
.
Ответ.
18.
Задача
№3. Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной
пирамиды, если радиус описанной около основания окружности равен , а
высота пирамиды равны 1.
Решение.
1)
найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .
2)
найдем периметр основания Р = 3·а,
Р
= 9.
3)
радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса
описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда
.
4)
из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора находим апофему МР:
,
МР =
5)
вычислим площадь боковой поверхности правильной пирамиды:
,.
Ответ.
.
Задача
№4. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, сторона
основания которой равна 6, а апофема пирамиды равна .
Решение.
,
1)
найдем радиус описанной около основания и вписанной в основание окружностей: , то есть
.
2)
найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .
3)
из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора находим высоту: , МО = .
4)
вычислим объём правильной пирамиды: = .
Ответ.
18.
Задача №5. Вычислите
объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание
окружности равен 2, а высота правильной пирамиды равна .
Решение.
1)
радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса
описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда
.
2)
найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .
3)
найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .
4)
вычислим объём правильной пирамиды: = .
Ответ.
36.
Задача
№6. Вычислите площадь боковой поверхности правильной
четырехугольной пирамиды, если её ребра равны 5, а радиус окружности, описанной
вокруг основания равен 3.
Решение.
1)
найдем сторону основания по формуле , т.е. .
2)
найдем периметр основания: Р = 4а,
Р
= 24.
3)
из прямоугольного треугольника МDР по теореме Пифагора находим апофему МР:
,DP
=
тогда:
МР = .
4)
вычислим площадь боковой поверхности пирамиды: = .
Ответ.
48.
Задача
№7. В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой
поверхности равна 16, а
площадь основания 4. Найдите высоту пирамиды.
Решение.
1)
найдем сторону основания: так как в основании пирамиды квадрат с площадью
равной 4, то сторона квадрата равна 2, а его периметр 8.
2)
по условию = 16 т.е.
.
3)
из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора находим высоту: ,
учитывая, что ОР = = 1,
получаем: МО = .
Ответ.
.
Задача №8. Вычислите объём правильной шестиугольной пирамиды, если
сторона основания равна 4, а боковые ребра пирамиды равны 5.
Решение.
1)
сторона основания правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него
окружности т.е. ,
2)
площадь правильного шестиугольника найдем по формуле или = 24.
3)
из прямоугольного треугольника МОВ найдем высоту МО: .
4)
вычисляем объём пирамиды: =.
Ответ.
24.
Задача
№9. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2, а
боковое ребро равно 2.
Найдите объём пирамиды.
Решение.
1)
найдем площадь правильного шестиугольника по формуле или = 12.
2)
из прямоугольного треугольника МОВ найдем высоту МО, учитывая,
что в правильном шестиугольнике : .
3)
вычисляем объём пирамиды: =.
Ответ:
24.
Задача
№ 10. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Высота
цилиндра равна 5, а радиус его основания R удовлетворяет уравнению R2
+ R – 6 = 0. Найдите объём призмы.
Решение.V = S · H
1)
так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а
основание призмы вписано в основание цилиндра, Н = 5.
2)
по условию R удовлетворяет уравнению R2 + R –
6 = 0, решая которое находим
R1 = - 3, R2 = 2, так как
радиус величина положительная то -3 не удовлетворяет условию задачи.
3)
найдем сторону вписанного правильного треугольника по формуле , .
4)
найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного
треугольника: =
5) вычислим объём призмы: V = S · H = .
Ответ.
15.
Задача
№11. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Расстояние
между осью цилиндра и стороной основания призмы равно .
Высота цилиндра равна трем его радиусам. Найдите объём призмы.
Решение. V = S
· H
1)
Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а
основание призмы вписано в основание цилиндра, по условию Н =3R..
2)
Расстояние между осью цилиндра и стороной основания призмы равно радиусу
вписанной в треугольник АВС окружности, т.е. , и по
условию равно .
3)
радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса
описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда
.
4)
найдем сторону вписанного правильного треугольника по формуле , .
5)
найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного
треугольника: =
6)
вычислим объём призмы: V = S · H =S·3·R = 162.
Ответ.
162.
Задача
№12. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Площадь
боковой поверхности цилиндра равна 16 p. Найдите объём
призмы, если сторона её основания равна 5.
Решение. V = S
· H
1)
Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а
основание призмы вписано в основание цилиндра.
2)
Найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного
треугольника: =.
3)
Сторона вписанного правильного треугольника находится по формуле , тогда
.
4)
По условию площадь боковой поверхности цилиндра равна 16·p т.е.,
откуда Н = = .
5)
Вычислим объём призмы: V = S · H =·= 30.
Ответ.
30.
Задача
№13. Около правильной четырехугольной призмы описан цилиндр,
площадь боковой поверхности которого равна 20p. Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
Решение.
1)
Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а
основание призмы вписано в основание цилиндра.
2)
По условию площадь боковой поверхности цилиндра равна 20p, т.е. , .
3)
так как призма правильная, то в её основании лежит квадрат, со стороной ,
тогда периметр основания равен .
4)
вычислим площадь боковой поверхности призмы = .
Ответ.
.
Задача
№14. В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр. Объем
цилиндра равен 16 , а
радиус окружности, описанной вокруг основания призмы, равен .
Найдите диагональ призмы.
Решение. 1) Так как
цилиндр вписан в призму, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание
цилиндра вписано в основание призмы.
2)
Так как радиус окружности, описанной вокруг основания призмы, равен =, то
сторона квадрата равна
а
радиус цилиндра равен, радиусу вписанной в квадрат окружности и равен:
3)
По условию объём цилиндра равен 16, т.е. , = 4.
4)
Из прямоугольного треугольника АСА1 находим
диагональ А1С :
А1С
=.
Ответ.
8.
Задача №15. В
правильную шестиугольную призму вписан цилиндр. Найдите высоту призмы, если её
площадь равна 54 , а
радиус цилиндра равен 3.
Решение.
1)
Так как цилиндр вписан в призму, то высота призмы равна высоте цилиндра, а
основание цилиндра вписано в основание призмы.
2)
по условию радиус цилиндра равен
3, тогда , .
3)
сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него
окружности, т.е. .
4)
по условию площадь призмы равна 54 , т.е.
Pосн.·Н + 2 Sосн=54.
5)
найдем периметр основания и его площадь: Р = 6·а = 6 ·2=12.
Sосн
= .
6)
подставим полученные значения в формулу Pосн.·Н + 2 Sосн=54 и
получим Н = (54 – 36 ): 12 =1,5.
Ответ.
1,5.
Задача
№ 16. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём
цилиндра равен 16 p, высота цилиндра равна 4. Найдите объём призмы.
Решение. V = S
· H
1)
Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, т.е. Н
= 4.
2)
по условию , т.е.
,R =
2.
3)
так как сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него
окружности, то а = 2.
4)
Найдем площадь основания призмы по формуле:=6.
5)
вычислим объём призмы: .
Ответ.
24.
Задача
№17. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём
цилиндра равен 10 p. Найдите объём цилиндра, вписанного в эту же призму.
Решение. V = S
· H
1)
Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра.
2)
по условию , т.е.
.
3)
так как сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него
окружности, то R = а.
4)
выразим радиус основания вписанного цилиндра через
радиус описанного цилиндра: .
5)
запишем формулу вычисления объёма вписанного в призму цилиндра: V = S
· H, т.е.:
V
= =p·.
Ответ.
7,5p.
Листать вверх Листать вниз
Получить код
Скачивание материала начнется через 51 сек.
Скачать материал (0.37 Мб)
Нравится
материал? Поддержи автора!
Твитнуть
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.