Презентация по геометрии на тему "Вписанные и описанные многоугольники"

• 1 слайд

  Вписанные и описанные многоугольники
  учитель математики МБОУ «ЦО№31»
  г.Тула
  Соковых А.А.
  

• 2 слайд

  Вписанные многоугольники
  Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника.
  Теорема 1. Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
  Теорема 2. Суммы противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равны 180о.
  

• 3 слайд

  Описанные многоугольники
  Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник
  Теорема 3. В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центром будет точка пересечения биссектрис этого треугольника.
  Теорема 4. Суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны.
  

• 4 слайд

  Вписанные и описанные треугольники
  Теорема 5. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.
  Теорема 7. Радиус r окружности, вписанной в треугольник, выражается формулой , где a, b, c – стороны треугольника S – его площадь.
  Теорема 6. Радиус R окружности, описанной около правильного треугольника, выражается формулой , где a, b, c – стороны треугольника S – его площадь.
  

• 5 слайд

  Упражнение 1
  Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
  Ответ: 1.
  

• 6 слайд

  Упражнение 2
  Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
  Ответ: 2.
  

• 7 слайд

  Упражнение 3
  Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите радиус описанной окружности. 
  Ответ: 5.
  

• 8 слайд

  Упражнение 4
  Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 4 и 3, считая от вершины. Найдите периметр треугольника.
  Ответ: 20.
  

• 9 слайд

  Упражнение 5
  Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне.
  Ответ: 30о.
  

• 10 слайд

  Упражнение 6
  Сторона AB треугольника ABC равна , угол C равен 60о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
  Ответ: 1.
  

• 11 слайд

  Упражнение 7
  Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 6.
  Ответ: 12.
  

• 12 слайд

  Упражнение 8
  Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .
  Ответ: 1.
  

• 13 слайд

  Упражнение 9
  Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см. Угол между диагоналями равен 60о. Найдите радиус описанной окружности. 
  Ответ: 5.
  

• 14 слайд

  Упражнение 10
  Около окружности радиуса, равного , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанного около этого квадрата.
  Ответ: 2.
  

• 15 слайд

  Упражнение 11
  Сторона ромба равна 4, острый угол – 30о. Найдите радиус вписанной окружности. 
  Ответ: 1.
  

• 16 слайд

  Упражнение 12
  Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 2 и 4. Найдите среднюю линию трапеции. 
  Ответ: 3.
  

• 17 слайд

  Упражнение 13
  Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 20, средняя линия 5 см. Найдите боковую сторону трапеции.
  Ответ: 5.
  

• 18 слайд

  Упражнение 14
  Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 100о. Найдите угол C. 
  Ответ: 80о.
  

• 19 слайд

  Упражнение 15
  Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 80о и 60о. Найдите больший из оставшихся углов.
  Ответ: 120о.
  

• 20 слайд

  Упражнение 16
  В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 11, CD = 17. Найдите периметр четырехугольника.
  Ответ: 56.
  

• 21 слайд

  Упражнение 17
  Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 20, две его стороны равны 4 и 5. Найдите большую из оставшихся сторон.
  Ответ: 6.
  

• 22 слайд

  Упражнение 18
  В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 11, BC = 10 и CD = 15. Найдите четвертую сторону четырехугольника.
  Ответ: 16.
  

• 23 слайд

  Упражнение 19
  Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 5?
  Ответ: 5.
  

• 24 слайд

  Упражнение 20
  Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен .
  Ответ: 3.
  

• 25 слайд

  Упражнение 21
  Сторона AB треугольника ABC равна , радиус описанной окружности равен 1. Найдите угол C.
  Ответ: 45о.
  

• 26 слайд

  Упражнение 22
  Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2, угол при вершине равен 120о. Найдите диаметр описанной окружности.
  Ответ: 4.
  

• 27 слайд

  Упражнение 23
  Сторона BC треугольника ABC равна , угол A равен 45о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
  Ответ: 2.
  

• 28 слайд

  Упражнение 24
  Сторона AB треугольника ABC равна 10, радиус описанной окружности равен 10. Найдите угол C.
  Ответ: 150о.
  

• 29 слайд

  Упражнение 25
  Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности.
  Ответ: 25.
  

• 30 слайд

  Упражнение 26
  В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен 90о. Найдите радиус вписанной окружности.
  Ответ: 2.
  

• 31 слайд

  Упражнение 27
  Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10, основание равно 12. Найдите радиус вписанной окружности.
  Ответ: 3.
  

• 32 слайд

  Упражнение 28
  Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно 6. Найдите радиус описанной окружности.
  Ответ: 5.
  

• 33 слайд

  Упражнение 29
  Сторона AB треугольника ABC равна 10. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если противолежащий этой стороне угол C равен 150о.
  Ответ: 10.
  

• 34 слайд

  Упражнение 30
  Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 36. Найдите ее среднюю линию. 
  Ответ: 9.
  

• 35 слайд

  Упражнение 31
  В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, угол A равен 75о, угол B равен 90о. Найдите разность двух других углов. 
  Ответ: 15о.
  

• 36 слайд

  Упражнение 32
  Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60о, большее основание равно 10. Найдите радиус описанной окружности.
  Ответ: 5.
  

• 37 слайд

  Упражнение 33
  Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 2:3:4. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. 
  Ответ: 90о.
  

• 38 слайд

  Упражнение 34
  Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6, высота равна 7. Найдите радиус описанной окружности. 
  Ответ: 5.
  

• 39 слайд

  Упражнение 35
  Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 20, ее большая боковая сторона равна 6. Найдите радиус окружности.
  Ответ: 2.
  

• 40 слайд

  Упражнение 36
  Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 24.
  Ответ: 9.
  

• 41 слайд

  Упражнение 37
  Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 72. Найдите n.
  Ответ: 10.
  

• 42 слайд

  Упражнение 38
  Найдите диаметр окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .
  Ответ: 3.
  

• 43 слайд

  Упражнение 39
  Около окружности радиуса, равного , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанного около этого шестиугольника.
  Ответ: 2.
  

• 44 слайд

  Упражнение 40
  К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 3, 4, 5. Найдите периметр данного треугольника.
  Ответ: 12.
  

• 45 слайд

  Упражнение 41
  В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен 90о. Найдите радиус описанной окружности.
  Ответ: 5.
  

• 46 слайд

  Упражнение 42
  В равнобедренном треугольнике боковые стороны делятся точками касания вписанной в треугольник окружности в отношении 7:5, считая от вершины, противоположной основанию. Найдите периметр треугольника, если его основание равно 10.
  Ответ: 34.
  

• 47 слайд

  Упражнение 43
  Угол B четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 70о. Найдите угол D.
  Ответ: 110о.
  

• 48 слайд

  Упражнение 44
  Меньшая сторона прямоугольника равна 36. Один из углов, образованных диагоналями 120о. Найдите диаметр описанной окружности.
  Ответ: 72.
  

• 49 слайд

  Упражнение 45
  Периметр правильного шестиугольника равен 36. Найдите диаметр описанной окружности.
  Ответ: 12.
  

• 50 слайд

  Упражнение 46
  Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону.
  Ответ: 7.
  

• 51 слайд

  Упражнение 47
  Сторона ромба равна 8 см, острый угол – 30о. Найдите радиус вписанной окружности. 
  Ответ: 2.
  

• 52 слайд

  Упражнение 48
  Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 4 и 6. Найдите среднюю линию трапеции.
  Ответ: 5.
  

• 53 слайд

  Упражнение 49
  Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 12, радиус описанной окружности равен 10. Найдите высоту трапеции.
  Ответ: 14.
  

• 54 слайд

  Упражнение 50
  Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 70. Найдите n.
  Ответ: 9.