Презентация по геометрии "Внешнее касание окружностей"

• 1 слайд

  Внешнее касание окружностей.
  Разработка материала.
  Выполнили: Горожанкина И.Г., Позднякова О.В.
  2023г
  

• 2 слайд

  Задание 1
  Пусть окружности касаются внешним образом в точке К. АС секущая, проходящая через точку К.
  Задание:через точку А и точку С провести параллельные прямые.
  
  

• 3 слайд

  Построение:
  Проведем прямую DB так, чтобы точка К ей принадлежала.
  Докажем, что AD // BC:
  < ADK = < AKM.
  < AKM = < PKC
  < PKC = < KBC →
  < АDK = < KBC (и они накрест лежащие при DB)
  → AD //BC.
  Угол между хордой и касательной равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную между ними.
  
  Д
  В
  .
  .
  О1
  О2
  А
  К
  С
  Р
  М
  .
  

• 4 слайд

  Задание 2
  Пусть окружности касаются внешним образом в точке С. Пусть АВ их общая касательная.
  Задание: построить прямоугольный треугольник.
  
  

• 5 слайд

  Последовательно соединим точки А, С и В.
  Докажем, что треугольник АСВ – прямоугольный.
  Отрезки касательных, проведенных из одной точки равны, следовательно ЕА=ЕС и ЕВ=ЕС , значит ЕА=ЕС=ЕВ
  Доказали, что медиана равна половине стороны треугольника, значит
  треугольник АСВ – прямоугольный, то есть
  < АСВ=900
   
  
  .
  .
  О
  О1
  А
  Е
  С
  В
  

• 6 слайд

  Другой вариант построения. Последовательно соединим точки О, О1 и Е.
  Докажем, что треугольник ОО1Е – прямоугольный.
  
  Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
  Окружность с центром в точке О вписана в угол СЕА →
  < АЕО = < ОЕС = х.
  Окружность с центром в точке О1 вписана в угол СЕВ→
  < СЕО1 = < О1Е В = у.
  < АЕВ – развернутый
  х+х+у+у = 180о
  x+y=900 → < OEO1=900 →треугольник OEO1 – прямоугольный.
   
  
  О
  О1
  А
  Е
  В
  С
  

• 7 слайд

  Задание 3
  Пусть две окружности касаются внешним образом. Пусть АВ и А1В1 их общие касательные.
  Задание: построить прямоугольную трапецию.
  
  

• 8 слайд

  Построение: АОО1В и А1ОО1В1
  Докажем что: АОО1В – прямоугольная трапеция
  ОА перпендикулярна АВ (ОА – радиус, АВ – касательная)
  О1В перпендикулярна АВ (О1В – радиус, АВ – касательная)
  ОА // О1В , значит АОО1В прямоугольная трапеция.
   
  
  .
  .
  О
  О1
  А
  А1
  В
  В1
  

• 9 слайд

  Задание 4
  Пусть две окружности касаются внешним образом. Пусть АВ и А1В1 их общие касательные.
  Задание: построить равнобедренную трапецию.
  
  

• 10 слайд

  Построение: ВАА1В1 .Докажем что: ВАА1В1 – равнобедренная трапеция.
  Пусть <С=2х, СА1=СА=а (отрезки касательных, проведённых из одной точки), тогда <CА1А = <CАА1 =90-х.
  СВ1=СВ=в (отрезки касательных, проведённых из одной точки), тогда <CВ1В = <CВВ1 =90-х.
  Имеем, <CВ1В = <CА1А и они накрест лежащие при секущей CВ1, , значит А1 A//ВВ1
  А1A=ВВ1=в-а, следовательно ВАА1В1 – равнобедренная трапеция.
  
  
  
  C
  А
  А1
  В
  В1
  

• 11 слайд

  Задание 5
  Пусть две окружности касаются внешним образом. Пусть АВ и ED их общие касательные.
  Задание: найти подобные треугольники.
  
  

• 12 слайд

  1) АОО1В прямоугольная трапеция. Проведём ОH ⊥О1В. Получили О1HO – прямоугольный треугольник.
  2) АВDE равнобедренная трапеция. Проведём AK ⊥ВD. Получили ABK– прямоугольный треугольник.
  3) Докажем, что Δ О1HO ~ Δ ABK
  4) Пусть <С=2х, Δ BCD – равнобедренный, значит <CВD =90-х= <AВK.
  5) Δ BCО1 – прямоугольный, значит <CО1В =90-х= <OО1H.
  6) Имеем, что прямоугольные Δ О1HO и Δ ABK имеют по одному равному углу, следовательно они подобны.
  7) Составим отношение сторон:
  𝐴B ОО1 = B𝐾 HО1 = 𝐴𝐾 𝑂𝐻 .
  
  
  
  С
  А
  В
  К
  Н
  Е
  D
  О
  О1
  

• 13 слайд

  Задача 1. (закрепление)
  Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй  — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
  а)  Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
  б)  Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
  
  

• 14 слайд

  Доказать: AD // BC.
  Найти SAKB = ? если R=4, r=1.
  
  Через точку К проведем общую касательную к окружностям.
  < 1 = < 2, как угол между касательной и хордой.
  < 1 = < 3, как вертикальные
  < 3 = < 4 , как угол между касательной и хордой.
  < 2 = < 4 и они накрест лежащие при секущей АС , значит AD // BC.
  Пусть < 1 = < 2 = < 3 = < 4 = α.
  
  Треугольник AKB – прямоугольный, т.к. КЕ = АЕ = ЕВ , значит SAKB = 1 2 𝐴𝐾∗𝐾𝐵
  < DKA = 90o (он смежный с углом AKB), следовательно AD = d = 2.
  < CKB = 90o (он смежный с углом AKB), следовательно CB=D=8.
  
  А
  Е
  В
  3
  1
  2
  4
  Д
  С
  К
  

• 15 слайд

  KB = CB*sinα
  Треугольник ADK ~CKB – по двум углам
  𝐴𝐾 𝐾𝐶 = 𝐷𝐾 𝐾𝐵 = 𝐴𝐷 𝐶𝐵 = 2 8 = 1 4
  Треугольник ADB – прямоугольный, ВА – касательная, а DA – диаметр – АК – высота
  АК 2 = DK*KB
  х 2 = y*4y
  х 2 = 4 у 2
  X = 2y
   
  Треугольник ADK – прямоугольный
  А𝐷 2 = х 2 + у 2
  4 = 4 у 2 + у 2
  5 у 2 =4
  y = 4 5 = 2 5 ; х= 4 5
  SAKB = 1 2 ∗ 4 5 ∗ 8 5 = 16 5 =3,2
   
  
  А
  2
  Д
  К
  В
  С
  8
  X
  4x
  4y
  y
  

• 16 слайд

  Вариант 22. Ященко. Профиль 2023 год.
  
  Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
  а)Докажите, что прямая АD и ВЕ параллельны .
  б)Найдите ВС, если радиусы окружностей равны 15 и 15.
  
  

• 17 слайд

  
  
  Вариант 22
   Дано: окружности касаются в точке С; < ВСА = 90о; ВС=СА.
  а) Доказать AD // BЕ.
  1) Т.к. < ВСА = 90о, то < ЕСD = 90о; < ВСЕ= < АСD=90о.
  2) Т.к. < BCE = 90o, то ВЕ – диаметр → О принадлежит ВЕ
  3) Т.к. < АСD = 90o, то AD – диаметр → О1 принадлежит AD
  4) Рассмотрим треугольник ОВС – равнобедренный (ОВ=ОС=R)- < 1 = < 2.
  5) < 2 = < 3 вертикальные
  6) < 3= < 4 так как треугольник СО1D равнобедренный (СО1=О1D=r)
  7) Имеем < 1 = < 4 при секущей BD → EB //AD по 1 признаку параллельности прямых
   
  
  О1
  О
  1
  2
  3
  4
  В
  С
  А
  Е
  Д
  

• 18 слайд

  
  
  
   Найти BC = ?, r= 15 R=15
  
  1) Треугольник CAD – прямоугольный. Пусть < 1 = < 2 = < 3 = < 4 = α.
  АС=ВС=х.
   
  sin 𝛼 = АС А𝐷 ; sin 𝛼 = х 2𝑟
   
  2) Треугольник BCD: cos 𝛼 = ВС ЕВ = х 2𝑅
   
  sin 2 𝛼 + cos 2 𝛼 =1
  𝑥 2 4 𝑟 2 + 𝑥 2 4 𝑅 2 =1
  𝑥 2 15 + 𝑥 2 225 =4
  15 𝑥 2 + 𝑥 2 225 =4
  16 𝑥 2 =225∗4
  𝑥 2 = 225∗4 16
  𝑥 2 = 225 4
  𝑥= 15 2 =7,5
  
  О1
  О
  1
  2
  3
  4
  В
  С
  А
  Е
  Д
  

Краткое описание документа:

В данной работе разобраны задачи, связанные с внешним касанием окружностей.Здесь рассмотрены различные фигуры, которые получаются в этом случае. Для закрепления материала приводится задача, которую учащиеся могут сделать самостоятельно. В конце работы рассмотрена полноценная задача по планиметрии из второй части профильного экзамена.