Презентация по математике "Формирование математических моделей систем"

• 1 слайд

  Формирование математических моделей систем

• 2 слайд

  1. Этапы формирования моделей Разработка любой математической модели (в том числе модели электромеханической системы) состоит из следующих этапов: Вывод математических уравнений, описывающих состояние и характеристики системы в целом; Определение допущений и начальных условий, определяемых физическим смыслом задачи; Выбор метода решения математических уравнений, описывающих процессы в системе; Интерпретация результатов математического моделирования.

• 3 слайд

  Вывод математических уравнений Наиболее сложный и один из важных моментов при математическом моделировании - это вывод математических уравнений, описывающих состояние и характеристики системы в целом. При схемотехническом подходе для вывода математических уравнений пользуются в основном следующими методами: метод контурных токов; метод узловых потенциалов; метод уравнения состояния (метод переменных состояний).

• 4 слайд

  Методы контурных токов и узловых потенциалов достаточно подробно изложены в учебниках по электротехнике и теории электрических цепей. При составлении топологических уравнений с использованием этих методов получают системы уравнений в интегро-дифференциальной форме, которые затем преобразуют в дифференциальные или интегральные уравнения.

• 5 слайд

  Метод уравнений состояния или метод переменных состояний относится к более универсальным методам и в настоящее время широко используется для анализа и синтеза процессов в электронных и электрических цепях, теории автоматического регулирования, при анализе и синтезе адаптивных и самонастраивающихся систем управления. Метод основан на формировании и решении двух матричных уравнений:

• 6 слайд

• 7 слайд

  где – вектор переменных состояний; n – порядок сложности схемы (системы); – вектор размером q независимых источников (управляющих, возмущающих) воздействий; – вектор размером m выходных (искомых) переменных;

• 8 слайд

  – матрицы размером, соответственно, n х n, n х q, m x n, m x q, элементы которых определяются параметрами системы

• 9 слайд

  Определение допущений и начальных условий Наличие сложных взаимосвязей между отдельными элементами электромеханических систем (ЭМС) не позволяет разработать и создать математическую модель, в которой были бы учтены все эти связи. Поэтому при разработке математической модели принимают ряд допущений, которые направлены на выделение основных связей.

• 10 слайд

  Переход электромеханической системы от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, скачком. Это объясняется тем, что каждому установившемуся состоянию соответствует определенное значение энергии, запасенной в инерционных накопителях, изменение которой происходит только плавно. Это положение, когда изменение запасенной энергии представляет собой непрерывную функцию времени, известно под названием принципа непрерывности.

• 11 слайд

  Для электромеханических преобразователей энергии принцип непрерывности представляют в виде закона постоянства потокосцепления в обмотках статора и ротора. Сумма потокосцеплений в момент коммутации (изменения режима работы) остается постоянной

• 12 слайд

  При анализе переходных процессов в электромеханических системах, как и в электрических цепях, пользуются зависимыми и независимыми начальными условиями. Под независимыми начальными условиями следует принимать значения токов и потокосцеплений, моментов и сил в момент времени непосредственно предшествующий коммутации.

• 13 слайд

  Используя независимые начальные условия находят зависимые начальные условия, т.е. значения токов и потокосцеплений, моментов и сил и их производные в момент времени Если энергия, запасенная в инерционных накопителях в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, равна нулю, то считают, что анализ процессов в ЭМС осуществляется при нулевых начальных условиях

• 14 слайд

  Если начальный запас энергии не равен нулю, то ЭМС анализируется при ненулевых начальных условиях. Следует помнить, что независимые начальные условия определяются исходя энергетического состояния системы только в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации и не зависят от характера процессов, имеющих место в рассматриваемой системе до коммутации при

• 15 слайд

  Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы A: Записать уравнение det(A − λ E) = 0, где E – единичная матрица:

• 16 слайд

  где λ – собственные значения матрицы A, и решить его. Данное уравнение называется характеристическим. Для каждого полученного собственного значения λ, i =1,….,n составить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): det(A − λi E)·h(i) или

• 17 слайд

  Где - собственный вектор, соответствующий собственному значению λ

• 18 слайд

  3. Решить систему для каждого значения λi , то есть найти собственный вектор h(i) соответствующий каждому собственному значению. Приведем правила нахождения компонент общего решения линейной однородной СДУ в зависимости от вида корней характеристического уравнения, при затухании свободных составляющих переходного процесса.

• 19 слайд

  Правило 1. Корни характеристического уравнения действительные, различные то есть , то общее решение системы записывается в виде суммы экспонент:

• 20 слайд

  Правило 2 Корни характеристического уравнения комплексные, различные. Среди корней характеристического уравнения есть комплексный корень а значит, и сопряженный ему корень

• 21 слайд

  Тогда компонента общего решения системы, соответствующая этой паре α ± jβ корней, записывается в виде где N1,N2 – постоянные интегрирования

• 22 слайд

  Частное решение неоднородной СДУ Частное решение неоднородной СДУ физически представляет собой статический режим работы ЭМС, то есть состояние при Частное решение неоднородной СДУ, можно получить при подстановке в СДУ значения t= . Как известно, при этом производные обращаются в ноль, и СДУ превращается в систему алгебраических уравнений (СЛАУ), которую можно решить одним из методов линейной алгебры.

• 23 слайд

  Методы решения систем линейных алгебраических уравнений Допустим, что модель электромеханической системы представлена в пространстве состояний следующей системой уравнений

• 24 слайд

  Для нахождения частного решения данной неоднородной СДУ, удовлетво- ряющей заданным нулевым начальным условиям x(0), в результате подстановки получают систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которой неизвестными будут выступать постоянные интегрирования. Независимые свободные члены в результате подстановки можно представить в виде постоянных величин b1,b2,b3.

• 25 слайд

  Система СЛАУ Тогда систему СЛАУ можно записать в виде:

• 26 слайд

  Методы решения СЛАУ Существующие методы решения СЛАУ подразделяются на два типа – точные и итерационные. К точным методам относят методы Гаусса, Крамера и метод обратной матрицы, а к итерационным – метод простых итераций, метод Якоби, методы Зейделя и др. Недостатком итерационных методов является погрешность решения. Рассматривать будем только точные ме- тоды решения СДУ.

• 27 слайд

  Метод Гаусса Метод Гаусса используют при решении СЛАУ большого порядка. Он основан на приведении с помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы системы к ступенчатому виду, когда элементы ниже главной диагонали равны нулю.

• 28 слайд

  Расширенная матрица системы состоит из коэффициентов перед неизвестными и свободных членов. В методе Гаусса приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду называется прямым ходом, после которого осуществляется обратный ход, при котором находятся неизвестные. Под элементарным преобразованиям над строками понимают умножение строки на число, отличное от нуля, а также сложение и вычитание элементов строк.

• 29 слайд

  Метод обратной матрицы При решении СЛАУ методом обратной матрицы используется векторная форма записи системы: где A – матрица коэффициентов перед неизвестными, x – вектор-столбец неизвестных, B – вектор-столбец свободных членов. Решение СЛАУ в этом случае находится следующим образом:

• 30 слайд

  Метод Крамера Метод Крамера является наиболее удобным при решении систем порядка не выше третьего. Неизвестные в этом случае находятся по формуле: где - главный определитель системы, то есть определитель матрицы коэффициентов перед неизвестными;

• 31 слайд

  – частный определитель для неизвестного xk , который получается при замене столбца с номером k в выражении для главного определителя Δ на столбец свободных членов. Неизвестные системы линейных алгебраических уравнений можно записать в данном случае в виде:

Краткое описание документа:

В данной презентации описаны этапы формирования моделей, принципы вывода математических уравнений, этапы определения допущений и начальных условий, методы решения систем линейных алгебраических уравнений, а также методы решения СЛАУ. Материал будет полезен преподавателям алгебры и высшей математики, ученикам и студентам при подготовке к занятиям и выполнении самостоятельных работ.