Презентация по математике на тему "Теорема Пифагора" (8 класс)

• 1 слайд

  Теорема Пифагора и ее практическое применение
  

• 2 слайд

  Содержание:
  Кто такой Пифагор Самосский?
  
  Теорема Пифагора, её доказательство.
  
  Решение задачи.
  
  Практическое применение теоремы.
  

• 3 слайд

  «Геометрия владеет двумя сокровищами:
  одно из них — это теорема Пифагора...»
  
  
  Иоганн Кеплер.
  

• 4 слайд

  Пифагор Самосский
  (ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)
  

• 5 слайд

  О Пифагоре
  Пифагор Самосский родился на острове Самосс в Ионическом море. 
  Пифагор был не только учёным, но и основателем первой научной школы. Он был и воспитателем душ, проповедником собственной «пифагорейской» этики, философом.
  
  Он принимал в свою школу только тех юношей, которые промолчали в течение пяти лет. Значит, при занятиях математикой нужна абсолютная тишина для того, чтобы можно было сосредоточить все внимание на решении того или другого утверждения.
  

• 6 слайд

  Трудно найти человека, который не знал бы её шуточную формулировку: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».
  
  Сегодня известно около 500 различных доказательств теоремы Пифагора геометрических, алгебраических, механических и прочих.
  
  
  

• 7 слайд

  Теорема Пифагора
  В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
  с
  а
  в
  с² = а² + в²
  гипотенуза
  катеты
  

• 8 слайд

  Докажем теорему!
  Способ 1
  Дан треугольник AMK с катетами a, b и гипотенузой c.
  Достроим к треугольнику AMK квадрат со стороной a+b.
  S кв = (a+b)²
  Треугольники равны
  Четырёхугольник KMNP – квадрат, т.к.<1=<2=<3=<4 и <5=<6=<7=<8 => <1+<8 = <2+<5 = <3+<6 = <4+<7 =90°.
  Найдём площадь квадрата ABCD
  S кв =4Sтр + S1кв =4x ½ ab + c² = 2ab +c²
  Тогда (a+b)² = 2ab+c²
  a² + 2ab + b² = 2ab +c² , a² + b² = c².
  А
  М
  К
  b
  a
  c
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  а
  в
  а
  в
  а
  в
  N
  P
  

• 9 слайд

  Способ 2
  C
  A
  B
  a
  b
  M
  D
  a
  b
  c
  Дан треугольник ABC c катетами a и b.
  Продолжим отрезок СВ за точку В и построим треугольник ВМD:BD=а, <BDM=90°, DM=b.
  Точки А и М соединим отрезком АМ.
  AMDC – прямоугольная трапеция.
  В прямоугольных треугольниках ABC и BMD <1 + <2 =90° и <3+<4=90°, но так как <1 = <3, то <3 + <2 = 90°; тогда <ABM = 180° – 90° = 90°. Оказалось, что трапеция AMDC разбита на три прямоугольных треугольника, тогда по свойствам площадей имеем
  SABC + S ABM + S BMD = Sтрап , или
  ½ ab + ½ с²+ ½ ab = ½(a+b)(a+b).
  Умножив обе части равенства на 2, получим
  ab + c² + ab = (a + b)², 2ab + c²= a² + 2ab + b², откуда c²= a² + b².
  1
  2
  3
  4
  

• 10 слайд

  "Пифагоровы штаны
  во все стороны равны"
  

• 11 слайд

  Решение старинных задач
  Теорема Пифагора всегда имела широкое применение при решении самых разнообразных геометрических задач.
  1. (Задача индийского ученого Бхаскара Акариа, 1114 г.) На берегу ручья, ширина которого 4 фута, рос тополь. Порыв ветра сломил его на высоте в 3 фута от земли так, что верхний конец его коснулся другого берега ручья (ствол направлен перпендикулярно течению). Определить высоту тополя.
  Решение.
  1) AB2 = AC2 + BC2, AB = 5,
  2) 5 + 3 = 8 (футов) – высота тополя.
  

• 12 слайд

  Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого
  «Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».
  

• 13 слайд

  В древней Индии был обычай предлагать задачи в стихах.
  Над озером тихим
  С полфута размером
  Высился лотоса цвет.
  Он рос одиноко,
  И ветер порывом
  Отнёс его в сторону. Нет
  Боле цветка над водой.
  Нашёл же рыбак его
  Ранней весною
  В двух футах от места, где рос.
  Итак, предложу я вопрос:
  “Как озера вода здесь глубока?”
  Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда
  AD = AB = Х + 0,5 .
  Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB2 – AC2 = BC2,
  (Х + 0,5 )2 – Х2 = 22,
  Х2 + Х + 0,25 – Х2 = 4, Х = 3,75.
  Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута
  
  

• 14 слайд

  Решение геометрических задач
  x
  4
  3
  x
  x
  32
  x
  5
  5
  Х² = 3² + 4²
  
  Х = 5
  Х² + Х² = 32²
  
  Х = 16√2
  х² = 5²+ 5²
  
  х =5√2
  

• 15 слайд

  ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ
  Архитектура и строительство
  Мобильная связь
  Астрономия
  

• 16 слайд

  Архитектура
  В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны
  ширине окна (b) для наружных дуг
  половине ширины, (b/2) для внутренних дуг
  Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между
  этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно,
  радиус равен b/4. А тогда становится ясным и
  положение ее центра.
  

• 17 слайд

  В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем:
  (b/4+p)=( b/4)+( b/4-p)
  или
  b/16+ bp/2+p=b/16+b/4-bp+p,
  откуда
  bp/2=b/4-bp.
  Разделив на b и приводя подобные члены, получим:
  (3/2)p=b/4, p=b/6.
  

• 18 слайд

  Строительство
  При строительстве любого сооружения, рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т.д.
  

• 19 слайд

  Строительство крыши
   При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.
       Решение:
       Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда:
       А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м.,
       
       Б) Из треугольника ABF:
  

• 20 слайд

  Молниеотвод
  Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
  Решение:
        По теореме Пифагора h2≥ a2+b2, значит h≥(a2+b2)1/2.
  

• 21 слайд

  Мобильная связь
  Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)
  Решение:
        Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
  OB=OA+AB
  OB=r + x.
  Используя теорему Пифагора, получим
  Ответ: 2,3 км.
  

• 22 слайд

  Астрономия
  В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.
  

• 23 слайд

  Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель своего времени.
  

• 24 слайд

  Значение теоремы Пифагора
  Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Из-за этого многие ученые называют эту теорему самой главной в геометрии.
  Кроме этого, практическое значение теоремы Пифагора и обратной ему теоремы заключается в том, что с их помощью можно найти длины отрезков, не измеряя самих отрезков.
  
  

• 25 слайд

  В Германии недавно открылся кинотеатр, где показывают кино в шести измерениях: первые три всем известны, а три других - время, запах и вкус. Еще три года назад никто и не думал более чем о трех измерениях в кино. Вы спросите: а как связаны между собой теорема Пифагора и запахи, вкусы? А все просто: при показе кино надо рассчитать куда и какие запахи направлять. Представьте: на экране показывают джунгли, и вы чувствуете запах листьев, показывают обедающего человека - а вы чувствуете вкус еды...
  

• 26 слайд

  
  
  В целом, значение теоремы, кроме вышесказанного, заключается в том, что она применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и придумывания новых.