Проект учащихся 8 и 9 классов " Теорема Пифагора"

  Проект по математике уч-ся 8 класс

МБОУ Спиридоновобудской  ООШ

2018-2019 год

Работали над проектом : Кулажко Анна

Кабаневская Елизавета

Мишуков Вячеслав

Андриенко Валентин

Руководитель :  учитель математики Кулажко А.Л.

Теорема Пифагора
вне школьной программы

1.Введение.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» – квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.

Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота – красота – значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой.

Кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т. д.), свидетельствует о гигантском числе её конкретных реализаций.

В современных учебниках теорема сформулирована так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Во времена Пифагора она звучала так: «Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» или «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

2. Цели и задачи проекта.

О теореме Пифагора написано огромное количество научной литературы. В ней присутствуют, в основном, современные доказательства, написанные математическим языком, но в большинстве случаев они мало понятны человеку с небольшим багажом математических знаний, поэтому мы хотели с помощью своей работы:

– доступнее преподать материал учебника, используя такие средства, как различную дополнительную литературу, сайты Интернета (поисковые серверы: Yandex, Rambler, List, Altavista, Aport), собственные задумки и предложения, электронную презентацию и сайт.

Но основная цель нашей работы состояла в том, чтобы показать значение теоремы Пифагора в развитие науки и техники многих стран и народов мира, а также в наиболее простой и интересной форме преподать содержание теоремы.

Основной метод, который мы использовали в своей работе, – это метод систематизации и обработки данных.

Привлекая информационные технологии, мы хотели разнообразить материал различными красочными иллюстрациями, привлекая внимание людей различных возрастов и профессий.

Практическое применение нашей работы состоит в том, чтобы использовать наши знания и умения в методике преподавания алгебры и геометрии в школах, лицеях, гимназиях.

3.«ЗОЛОТЫЕ СТИХИ» ПИФАГОРА

Будь справедлив и в словах, и в поступках своих…

Пифагор (ок. 570 – ок. 500 гг. до н. э.)

Древнегреческий философ и математик, прославившийся своим учением о космической гармонии и переселении душ. Предание приписывает Пифагору доказательство теоремы, носящей его имя. Многое в учении Платона восходит к Пифагору и его последователям. Письменных документов о Пифагоре Самосском, сыне Мнесарха, не осталось, а по более поздним свидетельствам трудно восстановить подлинную картину его жизни и достижений. (Электронная энциклопедия: Star World.).

Известно, что Пифагор покинул свой родной остров Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии в знак протеста против тирании правителя и уже в зрелом возрасте (по преданию в 40 лет) появился в греческом городе Кротоне на юге Италии. Пифагор и его последователи – пифагорейцы – образовали тайный союз, игравший немалую роль в жизни греческих колоний в Италии. Пифагорейцы узнавали друг друга по звёздчатому пятиугольнику – пентаграмме. Но Пифагору пришлось удалиться в Метапонт, где он и умер. Позднее, во второй половине V до н. э., его орден был разгромлен.

На учение Пифагора большое влияние оказала философия и религия Востока. Он много путешествовал по странам Востока: был в Египте и Вавилоне. Там Пифагор познакомился и с восточной математикой.

Пифагорейцы верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Числа, равные сумме своих делителей, воспринимались как совершенные (6, 28, 496, 8128); дружественными называли пары чисел, из которых каждое равнялось сумме делителей другого (например, 220 и 284). Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные, ввел понятие фигурного числа. В его школе были подробно рассмотрены пифагоровы тройки натуральных чисел, у которых квадрат одного равнялся сумме квадратов двух других (великая теорема Ферма).

Пифагору приписывается высказывание: «Все есть число». К числам (а он имел ввиду лишь натуральные числа) он хотел свести весь мир, и математику в частности. Но в самой школе Пифагора было сделано открытие, нарушавшее эту гармонию. Было доказано, что корень из 2 не является рациональным числом, т. е. не выражается через натуральные числа.

Естественно, что геометрия у Пифагора была подчинена арифметике. Это ярко проявилось в теореме, носящей его имя и ставшей в дальнейшем основой применения численных методов геометрии. (Позже Евклид вновь вывел на первое место геометрию, подчинив ей алгебру.) По-видимому, пифагорейцы знали правильные тела: тетраэдр, куб и додекаэдр.

Пифагору приписывают систематическое введение доказательств в геометрию, создание планиметрии прямолинейных фигур, учение о подобии.

С именем Пифагора связывают учение об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях.

Следует заметить, что Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг солнца. Когда в XVI веке церковь начала ожесточённо преследовать учение Коперника, это учение упорно именовалось пифагорейским. (Энциклопедический словарь юного математика: Э-68. А. П. Савин. – М.: Педагогика, 1989, с. 28.)

Некоторые фундаментальные концепции, несомненно, принадлежат самому Пифагору. Первая из них – представление о космосе как о математически упорядоченном целом. Пифагор пришел к нему после того, как открыл, что основные гармонические интервалы, т. е. октава, чистая квинта и чистая кварта, возникают, когда длины колеблющихся струн относятся как 2:1, 3:2 и 4:3 (легенда гласит, что открытие было сделано, когда Пифагор проходил мимо кузницы: имевшие разную массу наковальни порождали при ударе соответствующие соотношения звучаний). Усмотрев аналогию между упорядоченностью в музыке, выражаемой открытыми им отношениями, и упорядоченностью материального мира, Пифагор пришел к заключению, что математическими соотношениями пронизан весь космос. Попытка применить математические открытия Пифагора к умозрительным физическим построениям приводила к любопытным результатам. Так, предполагалось, что каждая планета при своем обращении вокруг Земли издает, проходя сквозь чистый верхний воздух, или «эфир», тон определенной высоты. Высота звука меняется в зависимости от скорости движения планеты, скорость же зависит от расстояния до Земли. Сливаясь, небесные звуки образуют то, что получило название «гармонии сфер», или «музыки сфер», ссылки на которую нередки в европейской литературе.

Ранние пифагорейцы считали, что Земля плоская и находится в центре космоса. Позднее они стали считать, что Земля имеет сферическую форму и вместе с другими планетами (к числу которых они относили Солнце) обращается вокруг центра космоса, т. е. «очага».

В античности Пифагор был известен более всего как проповедник определенного образа жизни. Центральным в его учении было представление о реинкарнации (переселении душ), что, разумеется, предполагает способность души переживать смерть тела, а значит ее бессмертие. Поскольку в новом воплощении душа может переселиться в тело животного, Пифагор был противником умерщвления животных, употребления в пищу их мяса и даже заявлял, что не следует иметь дело с теми, кто забивает животных или разделывает их туши. Насколько можно судить по сочинениям Эмпедокла, разделявшего религиозные воззрения Пифагора, пролитие крови рассматривалось здесь в качестве первородного греха, за который душа изгоняется в бренный мир, где она блуждает, будучи заключена то в одно, то в другое тело. Душа страстно желает освобождения, но по невежеству неизменно повторяет греховное деяние.

Избавить душу от нескончаемой череды перевоплощений может очищение. Простейшее очищение заключается в соблюдении некоторых запретов (например, воздержание от опьянения или от употребления в пищу бобов) и правил поведения (например, почитание старших, законопослушание и негневливость).

Пифагорейцы высоко ценили дружбу, и по их понятиям все имущество друзей должно быть общим. Немногим избранным предлагалась высшая форма очищения – философия, т. е. любовь к мудрости, а значит стремление к ней (слово это, как утверждает Цицерон, было впервые употреблено Пифагором, который назвал себя именно не мудрецом, а любителем мудрости). С помощью этих средств душа приходит в соприкосновение с принципами космического порядка и становится им созвучной, она освобождается от своей привязанности к телу, его беззаконных и неупорядоченных желаний. Математика – одна из составных частей религии пифагорейцев, которые учили, что Бог положил число в основу мирового порядка.

Влияние пифагорейского братства в первой половине V в. до н. э. непрерывно возрастало. Но его стремление отдать власть «наилучшим» пришло в конфликт с подъемом демократических настроений в греческих городах южной Италии, и вскоре после 450 г. до н. э. в Кротоне вспыхнуло восстание против пифагорейцев, которое привело к убийству и изгнанию многих, если не всех, членов братства. Впрочем, еще в IV в. до н. э. пифагорейцы пользовались влиянием в южной Италии, а в Таренте, где жил друг Платона Архит, оно сохранялось еще дольше. Однако куда важнее для истории философии было создание пифагорейских центров в самой Греции, например в Фивах, во второй половине V в. до н. э. Отсюда пифагорейские идеи проникли в Афины, где, если верить платоновскому диалогу Федон, они были усвоены Сократом и превратились в широкое идейное движение, начатое Платоном и его учеником Аристотелем.

В последующие столетия фигура самого Пифагора была окружена множеством легенд: его считали перевоплощенным богом Аполлоном, полагали, что у него было золотое бедро, и он был способен преподавать в одно и то же время в двух местах. Отцы раннехристианской церкви отвели Пифагору почетное место между Моисеем и Платоном. Еще в XVI в. были нередки ссылки на авторитет Пифагора в вопросах не только науки, но и магии. (Электронная энциклопедия: Star World.)

4.За легендой – истина

Открытие теоремы Пифагора окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого принес в жертву быка». Легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через 2000 лет продолжала вызывать горячие отклики.

	Так, оптимист Михайло Ломоносов писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось». А вот ироничный Генрих Гейне видел развитие той же ситуации несколько иначе:
«Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам».

5.История открытия теоремы

Обычно открытие теоремы Пифагора приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI в. до н. э.). Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древнекитайских рукописей (копий еще более древних манускриптов) показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно, за тысячелетия до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».

В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Также теорема Пифагора была обнаружена и в древнекитайском трактате «Чжоу – би суань цзинь» («Математический трактат о гномоне»), время создания которого точно неизвестно, но где утверждается, что в ХV в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а в XVI в. до н. э. – и общий вид теоремы.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3²+ 4² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э. во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 м от одного конца и 4 м от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 м.

Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становится излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой – на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:

«Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку».

Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около XVIII века до н. э., также о ней было известно и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактатеVII–V вв. до н. э. «Сульва сутра» («Правила верёвки»).

Но несмотря на все эти доказательства, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадётся. То же относится и к легенде о заклинании быков Пифагора. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания.

6.Способы доказательства теоремы

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum – ослиный мост, или elefuga – бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихотворения вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.

Простейшее доказательство.

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольников. Достаточно взглянуть на мозаику из чёрных и светлых треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника (рис. 1, 2).

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.

При этом можно рассмотреть доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника, «складывается» из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах. Можно рассматривать и такие доказательства, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей.

На рис. 3 изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c² = a² + b². Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!». Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.

Доказательства методом достроения.

Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.

На рис. 4 изображена обычная Пифагорова фигура прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику. Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на

два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ.

(Это доказательство впервые дал Леонардо да Винчи.)

На рис. 5 Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны  которого параллельны соответствующим  сторонам квадратов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника

отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах.

Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае.

Рис. 6 иллюстрирует доказательство, приведенное Нассир-эд-Дином (1594 г.). Здесь: PL – прямая; KLOA = ACPF = ACED = a2; LGBO = CBMP = CBNQ = b2; AKGB = AKLO + LGBO = c2; отсюда c2 = a2 + b2.
	Рис. 7 иллюстрирует доказательство, приведенное Гофманом (1821 г.). Здесь Пифагорова фигура построена так, что квадраты лежат по одну сторону от прямой AB. Здесь: OCLP = ACLF = ACED = b2; CBML = CBNQ = a2; OBMP = ABMF = c2; OBMP = OCLP + CBML; Отсюда c2 = a2 + b2.

Рис. 8 иллюстрирует еще одно более оригинальное доказательство, предложенное Гофманом. Здесь: треугольник ABC с прямым углом C; отрезок BF перпендикулярен CB и равен ему, отрезок BE перпендикулярен AB и равен ему, отрезок AD перпендикулярен AC и равен ему; точки F, C, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, так как ABF = ECB;

треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим .

Алгебраический метод доказательства.

Рис. 9 иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати, XII в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие. Историки считают, что Бхаскара выражал площадь с2 квадрата, построенного на гипотенузе,

как сумму площадей четырёх треугольников 4(ав/2) и площади квадрата со стороной, равной разности катетов.  

Приведем в современном изложении одно из таких доказательств, принадлежащих Пифагору.

На рис. 10 ΔABC – прямоугольный, C – прямой угол, (CM ^ AB) b1 – проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе.

Из того что ΔABC подобен ΔACM, следует b² = cb₁; (1) из того что ΔABC подобен ΔBCM, следует a² = ca₁. (2) Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a² + b² = cb₁ + ca₁ = = c(b₁ + a₁) = c².

Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.

Доказательство Мёльманна (рис. 11). Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна 0,5·a·b, с другой 0,5·р·r, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности (r = 0,5·(а + в – с)).

Имеем: 0,5·а·в – 0,5·р·r – 0,5·(а + в + с) · 0,5·(а + в – с), откуда следует, что c² = a² + b².

Доказательство Гарфилда. На рисунке 12 три прямоугольных треугольника со-ставляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна 0,5·(а + в) · (а + в), во втором – 0,5·a·b + 0,5·a·b + 0,5·с2.

Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.

Существует много доказательств теоремы Пифагора, проведенных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочетания различных методов. Завершая обзор примеров различных доказательств, приведем еще рисунки, иллюстрирующие восемь способов, на которые имеются ссылки в «Началах» Евклида (рис. 13 – 20). На этих рисунках Пифагорова фигура изображена сплошной линией, а дополнительные построения – пунктирной.

Как уже было сказано выше, древние египтяне более 2000 лет тому назад практически пользовались свойствами треугольника со сторонами 3, 4, 5 для построения прямого угла, т. е. фактически применяли теорему, обратную теореме Пифагора. Приведем доказательство этой теоремы, основанное на признаке равенства треугольников (т. е. такое, которое можно очень рано ввести в школьную практику). Итак, пусть стороны треугольника ABC (рис. 21) связаны соотношением c² = a² + b². (3)

Докажем, что этот треугольник прямоугольный.

Построим прямоугольный треугольник A₁B₁C₁ по двум катетам, длины которых равны длинам a и b катетов данного треугольника (рис. 22). Пусть длина гипотенузы построенного треугольника равна c₁. Так как построенный треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем: c₁² = a² + b². (4)

Сравнивая соотношения (3) и (4), получаем, что c₁² = c², или c₁ = c.

Таким образом, треугольники – данный и построенный – равны, так как имеют по три соответственно равные стороны. Угол C₁ прямой, поэтому и угол C данного треугольника тоже прямой.

Аддитивные доказательства.

Эти доказательства основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.

Доказательство Эйнштейна (рис. 23) основано на разложении квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников. Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; CO^MN; CK ^ MN; PO||MN; EF||MN. Самостоятельно докажите попарное равенство треугольников, полученных при разбиении квадратов, построенных на катетах и гипотенузе.

На основе доказательства ан-Найризия выполнено и другое разложение квадратов на попарно равные фигуры (рис. 24, здесь ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C).

Также это доказательство называется «шарнирным», потому что здесь меняют своё положение только две части, равные исходному треугольнику, причём они как бы прикреплены к остальной фигуре на шарнирах, вокруг которых поворачиваются (рис. 25).

Еще одно доказательство методом разложения квадратов на равные части, называемое «колесом с лопастями», приведено на рис. 26. Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; O – центр квадрата, построенного на большом катете; пунктирные прямые, проходящие через точку O, перпендикулярны или параллельны гипотенузе.

Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные четырехугольники могут быть отображены друг на друга параллельным переносом. «Пифагоровы штаны» (доказательство Евклида). В течение двух тысячелетий применяли доказательство, придуманное Евклидом, которое помещено в его знаменитых «Началах». Евклид опускал высоту ВН из вершины прямоугольного треугольника на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит построен-

ный на  гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «надуманным». Но такое мнение поверхностно. Чертёж, применяемый при доказательстве теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Древнекитайское доказательство.

Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н. э. Дело в том, что в 213 г. до н. э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н. э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается восстановление древних книг. Так возникла «Математика в девяти книгах» – главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений.

		В 9-й книге «Математики» помещён чертёж, доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно (рис. 27).
В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, в и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а + в, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. 28).
	Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушёванных треугольника уложить в два прямоугольника, то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна c2, а с другой a2 + b2, т. е. c2 = a2 + b2 (рис. 29). Теорема доказана.
Заметим, что при таком доказательстве построения  внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже, не используются (рис. 30). По-видимому, древнекитайские математики имели другое доказательство, а именно: если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам, то легко обнаружить, что

полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами a и b, т. е. c² = a² + b².

На рисунке 31 воспроизведён чертёж из трактата «Чжоу-би…». Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете – 16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.

Древнеиндийское доказательство.

Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа (рис. 32–33). В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания»), крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары, помещён чертёж с характерным для индийских доказательств словом: «Смотри!». Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат c² перекладывается в «кресло невесты» a² + b².

Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII–V вв. до н. э.)

Доказательство Аннариция.

Багдадский математик и астроном Х в. ан-Найризий (латинилизированное имя – Аннариций) в арабском комментарии к «Началам» Евклида дал следующее доказательство теоремы Пифагора. Квадрат на гипотенузе разбит  у Аннариция на 5 частей, из которых составляются квадраты на катетах (рис. 34). Любопытно, что доказательство Аннариция является простейшим среди огромного числа доказательств теоремы Пифагора методом разбиения: в нём фигурирует всего 5 частей (или 7 треугольников). Это наименьшее число возможных разбиений.

Со времён Пифагора появилось несколько сотен доказательств его знаменитой теоремы, так что она попала в книгу рекордов Гиннеса. Однако принципиально различных идей в этих доказательствах сравнительно немного.

Значение теоремы.

Теорема Пифагора – это одна из самых важных теорем геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Одна из теорем позволяет убедиться в том, что если из точки вне прямой проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то:

а) наклонные равны, если равны их проекции;

б) та наклонная больше, которая имеет большую проекцию.

Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия («тригон» – по-гречески означает «треугольник»).

Эта наука нашла применение в землемерии.

Но еще раньше с ее помощью научились измерять вообра-жаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.

Теорема Пифагора позволяет по любым двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону. Решая эту задачу, нам приходится по известному квадрату положительного числа находить само это число. Благодаря тому что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трёхмерное пространство и дальше – в многомерные пространства. Этим определяется её исключительная важность для геометрии и математики в целом.

Применение теоремы.

Еще в древности возникла необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам.

Построение прямых углов египтянами.

Нахождение высоты объекта и определение расстояния до недоступного предмета.

Подобные задачи решаются и в нашей повседневной жизни: в строительстве и машиностроении при проектировании любых строительных объектов.

Задачи в стихах.

Задача индийского математика XII века Бхаскары:

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол обломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С течением реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

Задача древних индусов:

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

Задача из старинного китайского трактата:

В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на один фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Какова глубина озера?

	Задача из первого учебника математики на Руси. Назывался этот учебник «Арифметика»: Случися некоему человеку к стене лествницу прибрати, стены же тоя высота есть 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать.
Заключение. Мы считаем, что до нас такой работой никто не занимался и вряд ли будет заниматься, так как она требует большой усидчивости, терпения и времени. Но мы не будем останавливаться на достигнутом и планируем в дальнейшем расширять нашу работу, пополняя её новыми знаниями по данной теме, надеясь, что наша работа стоит наших усилий!

7.Литература

П е ч а т н ы е   и с т о ч н и к и:

1. Алексеев, И. Г. Математика. Подготовка к ЕГЭ: учебно-методическое пособие. – Саратов: Лицей, 2005. – 112 с.

2. Геометрия: учеб. для 7–9 кл. сред. шк. / авт.-сост. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1994. – 335 с.: ил.

3. Геометрия. 10–11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / авт.-сост. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 206 с.: ил.

4. Математика. ЕГЭ – 2006, вступительные экзамены: пособие для самостоятельной подготовки. – Ростов н/Д: Легион, 2005. – 416 с.

5. Погорелов, А. В. Геометрия: учеб. для 7–11 кл. общеобразоват. учреждений. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 1996. – 383 с.: ил.

6. Сборник задач по алгебре для  8–9 классов: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / авт.-сост. М. Л. Галицкий,
А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1997. – 271 с.: ил.

7. Цыпкин, А. Г. Справочник по математике для средней школы. – М., 1981.– 400 с.: ил.

8. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / глав. ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта + , 2002. – 688 с.: ил.

9. Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.: ил.

Э л е к т р о н н ы е   и с т о ч н и к и:

1. Рефераты и сочинения в помощь школьнику. Дискавери – 2003.

2. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия. – 2004.

3. Электронная энциклопедия: Star World.

4. Internet.

8.Приложение

Формулы, связывающие между собой длины отрезков, площади, величины углов в фигурах, называют метрическими соотношениями. И пожалуй, самое знаменитое из таких соотношений – теорема Пифагора. Она устанавливает простую зависимость между сторонами треугольника.

Благодаря тому что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трёхмерное пространство и дальше – в многомерные пространства. Этим определяется её исключительная важность для геометрии и математики в целом.

Теорема Пифагора лежит в основе большинства геометрических вычислений. Ещё в Древнем Вавилоне с её помощью вычисляли длину высоты равнобедренного треугольника по длинам основания и боковой стороны, стрелку сегмента – по диаметру окружности и длине хорды, устанавливали соотношения между элементами некоторых правильных многоугольников.

В некотором смысле в теореме Пифагора, как в зерне, заключена вся евклидова планиметрия. Вспомним формулу для расстояния между точками  А (х1; y1) и В (х2; у2) в декартовых координатах: .

С одной стороны, это просто теорема Пифагора для треугольника с гипотенузой АВ и катетами, параллельными осям координат (их длины равны |х₂ – х₁| и |у₂ – у₁|). С  другой стороны, если считать пары чисел (х; y) точками плоскости, тогда эта формула уже является определением расстояния. Из неё можно вывести все понятия, непосредственно определяемые через расстояния, – такие, как равенство и подобие фигур. Или, например,  окружность.  Она определяется как множество пар чисел (х; у), для которых

,

где (х₀; у₀) – некоторая заданная точка (центр окружности).

Можно определить и все другие геометрические понятия в терминах расстояний: в частности, отрезок АВ – это множество таких точек С, что АС + СВ = АВ. А стоит добавить ещё одну координату z и соответствующее слагаемое (z₂ – z₁)² в формулу расстояния – и мы в трёхмерном пространстве. Подобным же образом геометрическая структура вводится в пространствах любой, даже бесконечной размерности.

Теорема Пифагора лежит в основе многих более общих метрических соотношений на плоскости и в пространстве. В значительной мере на неё опирается и тригонометрия: ведь важнейшее тригонометрическое тождество cos²α + sin²α = 1 – это та же теорема Пифагора, записанная в другом виде.

Также теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов:

с² = а² + в² – 2·ав·cos C .

Если угол С прямой, то с² = а² + в², так как косинус прямого угла равен нулю.

Из формулы с² = а² + в² – 2 · ав · cos C следует соотношение d₁² + d₂² = 2(a² + b²) между длинами диагоналей и сторон параллелограмма, с помощью которого легко найти длину медианы треугольника по длинам его сторон.

На основании теоремы Пифагора выводится и формула, выражающая площадь любого треугольника через длины его сторон (формула Герона). Разумеется, теорему Пифагора применяли и для решения разнообразных практических задач.

Вместо квадратов на сторонах прямоугольного треугольника можно строить любые подобные между собой фигуры (равносторонние треугольники, полукруги и т. д.). При этом площадь фигуры, построенной на гипотенузе, равна сумме площадей фигур, построенных на катетах. Другое обобщение связано с переходом от плоскости к пространству. Оно формулируется так: квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений (длины, ширины и высоты). Аналогичная теорема верна и в многомерном и даже бесконечномерном случаях.

В одной задаче – почти вся планиметрия!

Задача. В трапеции диагонали длиной 6 см и 8 см взаимно перпендикулярны. Найти длину средней линии трапеции.

Способ 1. 1. Продолжим BC вправо. Проведем DK || AC. Так как ACKD – параллелограмм, то DK = 6 см. 2. BD ^ DK, так как BD  AC. Δ BDK – прямоугольный.

3. BK = BC + AD. Средняя линия равна половине BK, т. е. 5 см.

Ответ: 5 см.

Способ 2 (похожий на способ 1). Проведем CE || BD до пересечения с продолжением AD. DE = BC, так как DBCE – параллелограмм. AE вычислим по теореме Пифагора из Δ ACE (CE || BD, но BD ^ AC, следовательно, CE ^ AC):

AE = a + b. Но средняя линия равна, , т. е. равна 5 см.

Ответ: 5 см.

Способ 3. 1. MN – средняя линия трапеции. Проведем MK || BD и соединим точки N и K. 2. NK – средняя линия  ACD, следовательно,

3. MK – средняя линия Δ ABD, следовательно,

4. РMKN = РAOD как углы с соответственно параллельными сторонами.

5. Δ MNK – прямоугольный.

Ответ: 5 см.

Способ 4. 1. Продолжим CA на расстояние AM = CO. Через точку M проведем MN || AD. BD Ç MN = N. 2. Δ OMN – прямоугольный, OM = 6 см, ON = 8 см. Следовательно, MN = 10 см (теорема Пифагора).

3. Проведем MK || ND. Продолжим AD до пересечения с MK. Δ MAK = Δ BOC (по I признаку), следовательно, AK = BC.

4. MKDN – параллелограмм, DK = MN = 10 см. Но DK = AD + BC. Значит, средняя линия равна 5 см.

Ответ: 5 см.

Способ 5. Соединим середины сторон трапеции. Легко доказать, что MPNQ – параллелограмм с прямым углом, т. е. прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Диагонали его MN = PQ = 5 см (египетский треугольник).

Ответ: MN = 5 см.

Способ 6. Продолжим AC за точку A так, что AM = OC. Продолжим BD за точку D так, что DN = BO. Итак, Δ OMN – прямоугольный с катетами 6 см и 8 см. По теореме Пифагора MN = 10 см. Проведем AE ^ MN, DF ^ MN, OK ^ BC.

ΔАМЕ = ΔКОС

ΔDFN = ΔBKO

Следовательно, ME = KC и FN = BK, т. е. MN = AD + BC = 10 (см).

Средняя линия равна

Ответ: 5 см.

Способ 7.

Пусть OC = x, BO = y; тогда AO = 6 – x, DO = 8 – y. MN – средняя линия.

1. Из подобия Δ BOC и Δ AOD имеем:

2. Из прямоугольного треугольника BOC имеем:

3. Из подобия Δ BOC и Δ AOD имеем:

4.

Ответ: 5 см.

Способ 8. 1. Из подобия Δ BOC и Δ AOD: 2. Продолжим диагонали на отрезки, равные CO и BO. 3. Из Δ MON: MN = 10 см. 4. Δ AOD подобен Δ MON;

5. В Δ BOC:

6. Δ BOC подобен Δ AOD.

7.

8. Средняя линия равна

Ответ: 5 см.

Способ 9 (тригонометрический).

1. Из подобия Δ BOC и Δ AOD:

2. Δ BOC – прямоугольный.

3. Найдем cos α либо по формуле

либо методом треугольника:

4. Из Δ BOC:

5. Из Δ AOD:

6. Средняя линия равна

Ответ: 5 см.

Способ 10 (тригонометрический).

1. Из подобия треугольников BOC и AOD:

2. ax = 6b – bx, (a + b)x = 6b,

3.

Ответ: 5 см.

Краткое описание документа:

Проект по математике " Теорема Пифагора " выполняли учащиеся 8 и 9 классов к неделе математики "Математика - царица наук".

Руководитель проекта учитель математики Кулажко А.Л.

В работе над проектом учащиеся искали и изучали дополнительный материал по данной теме .

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» – квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.

Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота – красота – значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой.