Презентация по математике на тему "Вычисление площадей плоских фигур" (8-11 классы)

• 1 слайд

  
  
  ФОРМУЛА ПИКА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР
  (исследовательская работа)
  
  
  
  
  
  
  
  Автор: Приловский Семён Александрович,
  учащийся 11-Б класса МБОУ СОШ №29
  р.п. Чунский Чунского района Иркутской области
  Руководитель: Клименко Т. Н., учитель математики
  первой квалификационной категории
  
  
  
  
  
  
  МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №29 Р. П. ЧУНСКИЙ ЧУНСКОГО РАЙОНА ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ
  

• 2 слайд

  Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге.
  Предмет исследования: задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения. Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации. Цель исследования: Вывести и проверить формулы вычисления площадей геометрических фигур с помощью формулы Пика.
  Гипотеза: Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.
  

• 3 слайд

  ”. Что такое “площадь”, знает каждый. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты, площадь садового участка. Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей.
  Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычислять их площади. В древности приходилось рассматривать лишь участки, мало отличающиеся от прямоугольника по форме, а для таких участков погрешность невелика. Лишь в последствие было полностью развито учение о площадях и получены точные формулы для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции и других многоугольников.
  

• 4 слайд

  Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.
  Еще 4 - 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов.
  

• 5 слайд

  В древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Когда каменщики определяли площадь прямоугольной стены дома, они перемножали высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
  

• 6 слайд

  Тема нахождения площадей многоугольников всегда волновала умы многих великих математиков.
  В своих «Началах» Евклид не употреблял слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимал часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид сравнивал площади разных фигур между собой. Как и другие ученые древности, Евклид занимался вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур.
  

• 7 слайд

  Одним из поздних греческих математиков – энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э.
  Будучи выдающимся инженером, он был назван также «Герон Механик». Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников. Имя Герона навсегда связано с известной формулой нахождения площади треугольника, если даны три его стороны a,b,c:
  
  
  
  .
  
  

• 8 слайд

  Проблемой площадей занимались также великие древние учёные Архимед и Гиппократ.
  АРХИМЕД
  ГИППОКРАТ
  

• 9 слайд

  Более ста лет назад австрийский математик Георг Пик обнаружил замечательную формулу для вычисления площади многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги. S = B + Г/2 – 1.
  Георг Алекса́ндр Пик
  (10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье.
  Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем.
  Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.
  
  

• 10 слайд

  Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах и найдем его площадь. Искать её можно по-разному. Например, можно
  разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площадь и сложить.
  Давайте «схитрим»: вычислим площадь заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш многоугольник до прямоугольника АВСD, и вычтем её из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.
  
  

• 11 слайд

  Это задание В5 из открытого банка заданий ЕГЭ по математике
  На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник.
  Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
  
  

• 12 слайд

  
  1 способ
  « Считаем по клеткам»
  
  1.Посчитаем количество полных клеток внутри данного треугольника
  10
  2.Дополним неполные клетки друг другом до полных клеток.
  5
  3. Сложим полученные количества полных клеток:
  10 + 5 = 15
  Ответ: 15
  
  9
  1
  2
  3
  4
  1
  5
  6
  7
  8
  10
  2
  3
  5
  4
  

• 13 слайд

  
  2 способ
  «Формула площади фигуры»
  
  
  Площадь искомого треугольника найдем по формуле:
  Sтр=(а•h)/2,
  где а – основание треугольника,
  h – высота, проведенная к этому основанию.
  а=6, h=5
  Получаем
  Sтр=(6•5)/2=15
  
  Ответ: 15
  
  h
  a
  

• 14 слайд

  
  
  3 способ
  «Сложение площадей фигур»
  
  
  1.Разобьем данный треугольник на два прямоугольных треугольника, для этого проведем высоту.
  2.Найдем площадь прямоугольного треугольника S1 :
  S1 = (5Х5)/2=12,5
  3.Найдем площадь прямоугольного треугольника S2:
  S2 = (5х1)/2=2,5
  4.Площадь искомого треугольника найдем по формуле:
  Sтр=S1+S2
  Sтр=12,5+2,5=15
  Ответ: 15
  
  
  
  
  S1
  5
  5
  S2
  1
  

• 15 слайд

  
  4 способ
  «Вычитание площадей фигур»
  
  1.Достроим до прямоугольника со сторонами 5 и 6.
  2.Найдем площадь прямоугольника
  Sпр=5Х6=30
  3.Найдем площадь прямоугольного треугольника S1 :
  S1 = (5Х5)/2=12,5
  4.Найдем площадь прямоугольного треугольника S2:
  S2 = (5х1)/2=2,5
  5.Площадь искомого треугольника найдем по формуле:
  Sтр=Sпр-(S1+S2)
  Sтр=30-(12,5+2,5)= 15
  Ответ: 15
  
  S1
  S2
  6
  5
  1
  5
  5
  

• 16 слайд

  
  5 способ
  «Формула Пика»
  
  Площадь искомого треугольника найдем по формуле Пика:
  S=Г/2+В-1,
  где Г –количество узлов на границе треугольника(на сторонах и вершинах),
  В – количество узлов внутри треугольника.
  Г = 12, В = 10
  Получаем S=12/2+10-1=15
  Ответ: 15
  
  
  о
  о
  о
  о
  о
  о
  о
  о
  о
  о
  

• 17 слайд

  Если треугольник будет иметь другое расположение, то основание и высоту в таком треугольнике определить точно невозможно, а, следовательно, невозможно применить формулу для вычисления его площади. Поэтому здесь можно только применить способ вычитания прямоугольных треугольников из площади прямоугольника.
  Задача 2: Вычислите площадь данного треугольника.
  Решение:
  S прямоугольника = 6*5 = 30 , S1= ½ *5*2 = 5 ,
  S2 = ½ *4*2=4
  S3=½*6*3 = 9 Тогда
  S тр = S пр – S1 – S2 – S3 =
  =30 – 5 – 4 – 9 = 12
  Ответ:12
  S1
  S3
  S2
  

• 18 слайд

  Попробуем решить задачу 2 с помощью формулы Пика:
  В = 10, Г = 6.
  S = 10 + 6/2 – 1 = 12 .
  Ответ: 12
  Оказывается, это намного быстрее, чем в предыдущем случае!
  

• 19 слайд

  Применим формулу Пика для вычисления площадей других многоугольников.
  
  
  В = 10
  Г = 7
  10 + 7/2 – 1 = 10 + 3,5 – 1 = =12,5
  
  Ответ: 12,5
  

• 20 слайд

  Формула Пика Позволяет вычислить площадь даже такого многоугольника.
  
  Г = 8; В = 1
  
  S = 1 + 8/2 – 1 = 1 + 4 – 1 = 4
  
  Ответ: 4
  

• 21 слайд

  Ещё один пример:
  
  Г = 7; В = 5
  
  S = 5 + 7/2 – 1 = 5 + 3,5 – 1 = 7,5
  
  Ответ: 7,5
  

• 22 слайд

  Если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика.
  
  

• 23 слайд

  Вывод:
  Формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:
  1.Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: : S = В + Г/2 - 1 .
  2.Формула Пика очень проста для запоминания.
  3.Формула Пика очень удобна и проста в применении.
  4.Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.
  
  

• 24 слайд

  Литература
  
  
  1. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н., Наглядная геометрия, 5-6 классы. – М.: ДРОФА, 2005
  
  2. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.
  
  3. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2014 – 2017. Режим доступа: http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems.html?posMask=32
  
  4. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1982.
  
  5. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. – М.: МЦНМО, 2000.
  
  6. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М., 2010.
  
  7. Трошин В. В. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборник заданий. Выпуск 2. – М.: Глобус, 2008.
  
  8. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М.: Наука, 1978
  
  

Краткое описание документа:

В презентации рассмотрены различные способы нахождения площадей многоугольников, расположенных на клетчатой бумаге.

Кроме традиционных способов, рассматривается способ с применением формулы Пика, названной в честь австрийского учёного-математика Георга Пика.

Данный материал рекомендован выпускникам 9, 11 классов для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по теме "Площадь многоугольника".