Презентация "Задачи с параметрами"

• 1 слайд

  
  
  Решение задач с параметром
  подборка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике (18задание)
  Занятие математического кружка
  Выполнила презентацию к уроку 11А Учитель: Зарьянцева ВП.МОУ «СОШ№84»
  

• 2 слайд

  
  
  Задачи,
  взятые из материалов ЕГЭ
  прошлых лет
  

• 3 слайд

• 4 слайд

• 5 слайд

• 6 слайд

• 7 слайд

• 8 слайд

• 9 слайд

• 10 слайд

• 11 слайд

• 12 слайд

• 13 слайд

• 14 слайд

• 15 слайд

• 16 слайд

• 17 слайд

• 18 слайд

• 19 слайд

• 20 слайд

• 21 слайд

• 22 слайд

• 23 слайд

• 24 слайд

• 25 слайд

• 26 слайд

• 27 слайд

  Решение. Рассмотрим сумму данных выражений
  t
  у
  0
  -4
  1
  2
  5
  12
  Сумма данного выражения равна 1, при пересечения параболы с горизонтальной прямой . По рисунку «считываем» ответ
  Построим в прямоугольной системе координат график параболы
  и прямые у = а, учитывая ОДЗ: t  [1;2].
  Ответ: a  [5;12]
  Пусть
  тогда
  уравнение примет вид
  При каких значениях параметра а сумма и равна 1 хотя бы при одном значении х?
  

• 28 слайд

  Найдите все значения параметра а, для которых при каждом х из промежутка (4;8] значение выражения
  не равно значению выражения
  Введем новую переменную
  тогда уравнение примет вид:
  График левой части – парабола f (t), график правой части – прямая g(t).
  -8
  t
  3
  2
  -4
  1
  Решим задачу при условии равенства данных выражений.
  Значит условие исходной задачи выполняется при
  0
  у
  

• 29 слайд

  1)
  
  
  Пусть из условия.
  
  
  Надо найти все значения a, при каждом из которых уравнение f(t)=0
  не имеет корней.
  
  
  
  Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка (-1;1] значения выражения не равно значению выражения
  

• 30 слайд

  
  2) Если а=0, то f(t) = – 6t – 6 .
  – 6t – 6 =0 => – 6t = 6 => t= –1 (–1;1]
  Уравнение f(t)=0 не имеет корней, т.е. а=0 удовлетворяет условию
  задачи
  3) Если а≠0, то график
  функции y = f(t) – парабола,
  ветви которой направлены
  вверх.
  f (0)=– 6, точка пересечения
  с осью ординат лежит
  ниже оси абсцисс.
  По этому уравнение
  f(t)=0, -1<t≤1 не имеет корней тогда и только
  тогда, когда f(t)<0 t (–1;1] . Последнее неравенство
  равносильно тому, что f(-1) ≤0; f(1)<0.
  

• 31 слайд

  4) Решим систему
  
  
  
  
  
  
  
  Ответ: [0;2]
  

• 32 слайд

  Решение.
  
  
  
  Прологарифмируем по основанию 2:
  
  
  
  т.к a>0 (по условию)
  
  
  
  
  
  Найдите все положительные значения параметра а, при которых каждое решение неравенства
  
  принадлежит отрезку [-10;-3].
  
  

• 33 слайд

  КЗП:
  Если 0<a<1, то , то разделим (*) на
  
  
  
  
  
  Решением данного неравенства является отрезок с концами в
  точках , который должен принадлежать отрезку [-10;-3].
  (*)
  

• 34 слайд

  Заменим неравенства равносильными им системами
  

• 35 слайд

  
  
  
  
  2) Если а=1, то
  
  
  Если a>1
  
  - не может содержаться целиком в [-10; -3]
  
  
  Ответ:
  

• 36 слайд

  Графический способ решения
  задач с параметром
  Задачу с параметром можно рассматривать как функцию f (x; a) =0
  1. Строим графический образ
  2. Пересекаем полученный график прямыми
  параллельными оси абсцисс
  3. «Считываем» нужную информацию
  Схема
  решения:
  

• 37 слайд

  Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение.
  
  Правая часть этого уравнения задает неподвижный «уголок», левая – «уголок», вершина которого двигается по оси абсцисс.
  
  2
  х
  у
  - 2
  - 4
  4
  0
  А
  В
  РЕШЕНИЕ.
  

• 38 слайд

  Очевидно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, если вершина движущегося «уголка» попадет в точку А, или точку В. Имеем,
  тогда А(-4; 0), В(-2; 0) и координаты этих точек удовлетворяют уравнению
  Ответ:
  В
  2
  х
  у
  - 2
  - 4
  0
  А
  

• 39 слайд

  Найдите все значения а, при каждом из которых решения неравенства образуют на числовой прямой отрезок длины 1.
  Решение.
  Изобразим графики левой и правой частей неравенства
  х
  у
  -1
  0
  Неподвижный «прямой угол» с вершиной в точке (-3; -1), лучи которого направлены вверх.
  .
  .
  -3
  И сжатый в два раза «прямой угол», лучи которого направлены вверх и двигающийся вдоль оси абсцисс в зависимости от параметра а.
  С5
  

• 40 слайд

  Решение.
  х
  у
  -1
  0
  .
  .
  -3
  Заметим, что неравенство не имеет решения при -4<х<-2.
  Решения образуют отрезок длиной 1, если расстояние между абсциссами точек пересечения графиков равно 1.
  IABI=1,и аналогично ICDI=1.
  A
  B
  C
  D
  Найдите все значения а, при каждом из которых решения неравенства образуют на числовой прямой отрезок длины 1.
  С5
  

• 41 слайд

  Решение.
  х
  у
  -1
  0
  .
  .
  -3
  A
  B
  C
  D
  Раскрывая знак модуля на каждом интервале, получим:
  По условию IАВI = 1, значит:
  По условию ICDI = 1, значит:
  Ответ:
  Найдите все значения а, при каждом из которых решения неравенства образуют на числовой прямой отрезок длины 1.
  С5
  

• 42 слайд

  Данное уравнение равносильно совокупности следующих двух уравнений:
  Количество решений данного уравнения - это число точек пересечения графика данного уравнения с горизонтальной прямой . По рисунку «считываем» ответ
  х
  а
  0
  - 1
  1
  Найти количество корней уравнения в зависимости от параметра а
  1
  

• 43 слайд

  («переход» метода интервалов с прямой на плоскость)
  Неравенства с
  одной переменной
  Неравенства с
  двумя переменной
  1. ОДЗ
  2. Граничные линии
  3. Координатная плоскость
  4. Знаки в областях
  5.Ответ по рисунку.
  
  1.ОДЗ
  2. Корни
  3. Ось
  4. Знаки на интервалах
  5. Ответ.
  
  Метод интервалов:
  Метод областей:
  ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ОБЛАСТЕЙ
  

• 44 слайд

  Решение. На координатной плоскости нарисуем линии, определяемые равенствами
  у – х = 0 и х у - 1= 0
  которые разбивают плоскость
  на несколько областей.
  При х = 1, у = 0 левая часть неравенства равна -1.
  Следовательно, в области, содержащей точку (1; 0), она имеет знак минус, а в остальных областях её знаки чередуются.
  Ответ: заштрихованные области на рисунке.
  х
  у
  0
  1
  - 1
  - 1
  1
  На координатной плоскости изобразите множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству
  

• 45 слайд

  Граничные линии:
  Строим граничные линии.
  Они разбивают плоскость на восемь областей, определяя знаки подстановкой в отдельных точках, получаем решение.
  - 1
  - 1
  1
  1
  х
  у
  0
  +
  +
  +
  +
  На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству
  Ответ: заштрихованные
  области на рисунке.
  

• 46 слайд

  МЕТОД ОБЛАСТЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ
  Ключ решения:
  Графический прием
  Свойства функций
  Параметр – «равноправная» переменная  отведем ему координатную ось т.е. задачу с параметром будем рассматривать как функцию f (x ; a) >0
  Общие признаки задач подходящих
  под рассматриваемый метод
  
  В задаче дан один
  параметр а и одна
  переменная х
  
  
  Они образуют некоторые
  аналитические выражения
  F (x;a), G (x;a)
  
  Графики уравнений
  F(x;a)=0,G(x;a)=0
  строятся несложно
  1.Строим графический образ
  2.Пересекаем полученный график прямыми
  перпендикулярными параметрической оси
  3.«Считываем» нужную информацию
  Схема
  решения:
  

• 47 слайд

  Найти все значения параметра р, при каждом из которых
  множество решений неравенства
  не содержит ни одного решения неравенства
  .
  Применим обобщенный метод областей.
  Определим знаки в полученных областях,
  и получим решение данного неравенства.
  Осталось из полученного множества
  исключить решения неравенства
  По рисунку легко считываем ответ
  Ответ:
  х
  р
  Построим граничные линии
  р = 3
  р = 0
  0
  2
  2
  -1
  1
  3
  1
  

• 48 слайд

  Сколько решений имеет система
  в зависимости от параметра а?
  x
  y
  2
  -2
  2
  -2
  1
  -1
  1
  Графиком второго уравнения является неподвижная окружность с центром в начале координат и радиусом 1
  Графиком первого уравнения является семейство квадратов с вершинами в точках
  4 решения при а = 1
  решений нет при
  8 решений при
  4 решения при
  решений нет при
  Ответ:
  решений нет, если
  8 решений, если
  4 решения, если
  0
  

• 49 слайд

  При каких положительных значениях параметра а, система уравнений имеет ровно четыре решения?
  Запишем систему в виде:
  Построим графики обоих уравнений.
  Шаги построения первого уравнения:
  Строим уголок затем
  и симметрично отображаем относительно оси абсцисс.
  Второе уравнение задает семейство окружностей с центром (2;0) и радиусом а.
  Ответ:
  х
  у
  2
  2
  -2
  решений нет при
  8 решений при
  4 решения при
  4 решения при
  при решений нет; при и система имеет 4 решения;
  система имеет 8 решений при
  Итак:
  0
  

• 50 слайд

  Литература
  Внеурочная работа по математике в контексте реализации инновационных технологий. Дидактические материалы для организации деятельности обучаемых: учеб. пособие∕авт.-сост.: А.Т. Лялькина, Е.В. Чудаева и др. – Саранск, 2007
  
  П.И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М.С. Якир. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003.
  
  3. Б.М.Ивлев, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницен, С.И.Шварцбурд. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб. Пособие для 10-11 кл.сред.шк. - М.: Просвещение, 1990.
  
  4. Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. ЕГЭ – 2006. Составитель: Клово А.Г. – 2005.
  Задачи для решения из книг:
  

• 51 слайд

  Спасибо за внимание!