Урок "Методы и решения логарифмических неравенств

Урок. Логарифмические неравенства их типы и методы решения.

Цели: рассмотреть типы логарифмических неравенств и методы их решения.

Концентрация внимания

Вклад каждого учёного в развитие логарифмов.	Ответ	Концентрация внимания N равна (число верно названных ответов)0,125100%
Непер	Изобрёл логарифмы, их название, создал первые таблицы логарифмов.
Бюрги	Создатель таблиц логарифмов параллельно с Непером.
Эйлер	Ввёл обозначение числа е и вычислил его с точностью до 23 знаков.
Бриггс	Составил таблицы десятичных логарифмов
Оутред	Изобретатель логарифмической линейки
Ламберт	Доказал иррациональность числа е (т. е. число е не может быть квадратом какого-либо числа).
Эрмит	Доказал трансцендентность числа е (т.е. число е не может быть корнем какого-либо алгебраического уравнения).
Менголи	Ввёл термин «натуральные логарифмы».

При решении логарифмических неравенств надо хорошо знать свойства логарифмической функции.

	Свойства функции
1.	Область определения
2.	Область значений
3.	Четность, нечетность	Функция не является ни четной, ни нечетной
4.	Нули функции	при
5.	Промежутки знакопостоянства	при  при	при  при
6.	Экстремумы	Функция экстремумов не имеет
7.	Промежутки монотонности при	Функция возрастает	Функция убывает
8.	Асимптота

Рассмотрим взаимное расположение графика функции  и прямой .

Вывод. Прямая  пересекает график функции  в единственной точке .

Определение. Пусть, тогда неравенства  или  называются простейшими логарифмическими неравенствами.

Что, значит, решить неравенство?

Решить неравенство - значит, найти все его решения или показать, что их нет.

Что называется решением неравенства?

Решением неравенства с неизвестным  называют число , при подстановке которого в неравенство вместо  получается верное числовое неравенство.

	Вывод. Если , то для каждого  соответствующая точка графика функции   находится выше прямой , а для каждого  из интервала  соответствующая точка графика функции  находится ниже прямой .

.	,   .

	Вывод. Если , то для каждого  соответствующая точка графика функции  находится выше прямой , а для каждого  соответствующая точка графика функции  находится ниже прямой .

.	,   .

Типы логарифмических неравенств и методы их решения.

1). Простейшие логарифмические неравенства.

Пример 1. .

Решение:

Т. к. ;  убывает на всей области определения и , то неравенство равносильно системе

    

Ответ: (0,2;0,4).

Пример 2. .

Решение:

Т. к. ;  убывает на всей области определения, то неравенство равносильно системе

    

Ответ: (0,75;2).

2). Логарифмические неравенства, сводящиеся к простейшим логарифмическим неравенствам.

Пример 1..

Решение:

,

,

.

Т. к.  и  возрастает на всей области определения, то неравенство равносильно системе

  т. к. , при , то система равносильна неравенству .

,

.

Ответ: .

Пример 2. .

Решение:

,

,

,

.

Т. к. ;  возрастает на всей области определения и , то неравенство равносильно системе

   .

Ответ: .

Пример 3. .

Решение:

.

Т. к. ;  убывает на всей области определения и , то неравенство равносильно системе

    

      .

Ответ: .

Пример 4. .

Решение:

.

Т. к. ;  возрастает на всей области определения и , то неравенство равносильно системе

    

 

    .

Ответ: .

3). Логарифмические неравенства, сводящиеся к неравенствам второй степени.

Пример 1. .

Решение:

. Пусть  тогда

,

Вернёмся к переменной . Т. к. , то

      возрастает на всей области определения, то

     

Ответ: .

Пример 2..

Решение:

.

Т. к. , то для нахождения области допустимых значений переменной  составим систему:

    .

В найденной области допустимых значений переменной  преобразуем неравенство.

,

,

,

,

  возрастает на всей области определения и , а также .

С учётом области допустимых значений переменной  получим:

     

Ответ: .

4). Логарифмические неравенства, сводящиеся к рациональным неравенствам.

Пример 1. .

Решение:

Пусть  и , тогда

,

,

Вернёмся к переменной . Т. к. , то

     возрастает на всей области определения

      

Ответ:.

Пример 2..

Решение:

.

Т. к. , то

В найденной области допустимых значений переменной  преобразуем данное неравенство к виду:

Пусть .

Тогда

     

Вернёмся к переменной .

  возрастает на всей области определения и ,

  

Ответ:

5). Логарифмические неравенства, содержащие переменную в основании логарифма.

Пример 1.

Решение:

Т. к.  и , то 

,

,

                  

Ответ: .

Пример 2. .

Решение:

,

.

Т. к. , то

      

Ответ:

Пример 3. .

Решение:

,

.

Т. к. , то

          

Ответ: .