Применение технологии интеллект-карт для преподавания темы «Системы счисления» в 8 классе. "Изучение позиционных систем счисления"

Изучение позиционных систем счисления.

Показать множество позиционных систем счисления и их отличие друг от друга алфавитом и мощностью алфавита.

Позиционная система счисления – система счисления, в которой значение цифры зависит от ее позиции в числе.

Алфавит – конечное упорядоченное множество цифр, используемые для записи чисел в системе счисления.

Основание системы счисления – количество цифр в алфавите системы счисления

Далее объясняется обучающимся, что существует множество позиционных систем счисления и отличаются они друг от друга алфавитом и основанием.

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число , алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием  служат числа , младшей цифрой всегда является 0.

Для наглядности представления взаимосвязи между основанием, название и алфавитом составляем таблицу, которая может быть продолжена  дома.

Поскольку все цифры упорядоченные в соответствии с их значением, и каждая следующая цифра обозначает число на 1 больше предыдущего, то можно записать следующее число после любого заданного числа. 

Рассмотреть построение натурального ряда на десятичной системе счисления до числа 21.

Таблица 2

Натуральный ряд

А10	А2	А8	А16
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
А10	А2	А8	А16
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
19	10011	23	13
20	10100	24	14
21	10101	25	15

Фронтальная работа: заполняется колонка «А₁₀» в таблице «Натуральный ряд».

Командная работа: с помощью наводящих вопросов составляется правило построения натурального ряда в позиционных системах счисления.

Указание: если основание не больше 10, то используют только арабские цифры, а если основание больше 10, то используют латинские буквы в алфавитном порядке. Это и есть шестнадцатеричная система счисления.

Записать правило построения последовательности в тетради.

Правило построения последовательности:

1. Для получения следующего целого числа, надо заменить самую правую цифру числа следующей по величине цифрой.

2. Если заменяемая цифра является самой старшей цифрой алфавита, то ее надо заменить на 0, а цифру, стоящую слева от нее заменить на следующую по величине цифру.

В общем случае в системе счисления с произвольным основанием  запись числа  , которое содержит  целых разрядов числа и  дробных разрядов числа, производится следующим образом:

         (1)

Здесь:

 — число;

 — основание системы счисления;

  — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;

 — количество целых разрядов числа;

 — количество дробных разрядов числа;

— «вес» i-го разряда.

Такая запись числа называется развернутой формой записи.

Под произвольным основанием понимается любое основание позиционной системы счисления. Это могут быть и пятеричная, троичная система счисления и т.д.

Для лучшего усвоения нового материала обучающимся задается задание: привести примеры троичной, пятеричной систем счисления и записать числа в развернутой форме.

Десятичная система счисления

Понять сущность позиционного представления чисел можно на примере любого многозначного числа. Например, число 555 цифра 5 встречается трижды, причем самая первая цифра обозначает пять единиц, вторая правая – пять десятков и третья – пять сотен. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. Число 555 записано в свернутой форме. Для записи развернутой формы числа необходимо над каждым числом определить степень основания, в которую данное основание системы будет возводиться (начиная с нулевого), с самого крайнего целого числа. В развернутой форме запись числа в десятичной системе счисления будет выглядеть таким образом:

,

то есть позиция цифры показывает, в какую степень надо возвести основание в развернутой форме.

А теперь сформулируем правило позиционной системы счисления: чтобы получить значение числа надо цифры умножить на основание в степени позиции и сложить.

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число 555, 25 в развернутой форме будет записываться следующим образом:

.

Формулируем правило перевода, которое обучающиеся записывают в тетрадь.

Правила перевода:

1. Пронумеровать разряды целого числа справа налево начиная с 0.

2. Записать число в развернутой форме, заменив все цифры и основание системы счисления десятичными числами.

3. Определить значение полученного выражения, выполнив арифметические действия в десятичной системе счисления.