Продукт-методичка к проекту: Решение задач на вероятность.

Содержание:

Введение. Понятие вероятности.....................3-6

«Порядок определяется жеребьевкой».............6-8

Частота события................................................8-9

Задачи на чётность и делимость....................9-10

Задачи на кубики(игральные кости)..............10-12

Выстрелы и попадание в цель.........................12-13

Задачи для самостоятельного решения.......13-15

Ключи.......................................................................15

Введение. Понятие вероятности.

Многие, столкнувшись с понятием «теория вероятности», пугаются, думая, что это нечто непосильное, очень сложное. Но все на самом деле не так трагично. Сегодня мы рассмотрим основное понятие теории вероятности, научимся решать задачи на конкретных примерах. Что же изучает такой раздел математики, как «теория вероятности»? Она отмечает закономерности случайных событий и величин. Впервые данным вопросом заинтересовались ученые еще в 18 веке, когда изучали азартные игры. Основное понятие теории вероятности – событие. Это любой факт, который констатируется опытом или наблюдением. Но что же такое опыт? Еще одно основное понятие теории вероятности. Оно означает, что этот состав обстоятельств создан не случайно, а с определенной целью. Что касается наблюдения, то здесь исследователь сам не участвует в опыте, а просто является свидетелем данных событий, он никак не влияет на происходящее. Самым обычным примером вероятности в жизни может быть фразы, которые мы часто используем  в повседневной практике: «100%, что я приду», «Процентов 20%, что меня не будет». Именно в эти моменты вы уже оперируете понятием «вероятность». Вероятность принято обозначать латинской буквой «Р». Это безразмерная величина, у нее нет единицы измерения. Как же ее найти? Если мы рассмотрим выше  приведенные примеры, то для того, чтобы определить вероятность, нам необходимо данные в процентах разделить на 100%:

Р =

Соответственно, меньше, чем  0%  быть  не может, и больше, чем 100% быть не может. Значит, вероятность  находится  в пределе Р∈(0; 1). То есть, если вы в примере получили значение вероятности, выходящей из этой области значений, ищите  ошибку в  вычислениях  или ходе мыслей.  При этом Р=0 в том случае, если событие не может наступить ни при каких условиях. Итак, мы подошли к классификации вероятностей:

Название	Определение	Пример
Достоверные	События, происходящие со стопроцентной гарантией при соблюдении некоторых обязательных условий	При подготовке к контрольной ученик получит хорошую оценку
Невозможные	События, которые никогда не произойдут ни при каких условиях	Снег пойдёт при температуре 40 по Цельсию
Случайные	Событие, которое может произойти или нет в ходе опыта	Выпадение орла при броске монеты

В  дальнейших примерах мы познакомимся со случайными событиями, так как это самое распространенное событие, встречающееся в экзаменах. В большинстве задач, которые вы решали ранее, в том числе, в ГИА, вычисление вероятности сводилось к нахождению значения по классической формуле вероятности: Р= ,где  – это количество исходов, благоприятных заданным условиям, а  – общее количество возможных исходов.

Давайте также запомним основную теорему, к которой в дальнейшем, обратимся:

Теорема сложения вероятностей событий:

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема умножения вероятности событий:

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теперь же на основе полученных знаний  решим задачу:

Пример 1: Процент брака при производстве стекла составляет 3%. Какова вероятность купить бракованное стекло?

Решение: Р=

Ответ: 0,03

«Порядок определяется жеребьевкой»

ВАЖНО! Если в условии задачи сказано, что порядок определяется жребием, жеребьевкой, в случайном порядке, то нам совершенно не важно, каким там по счету должен выступать спортсмен или профессор. Просто «забываем» эту информацию, как лишнюю, добавленную «чтобы запутать». Например «Виктор будет выступать третьим» – случайное событие, и оно равновероятное относительно другого порядка выступлений. То есть, вероятность того, что этот конкретный человек окажется третьим по счету не отличается от вероятности того, что он же будет начинать эту конференцию или соревнования. А раз вероятности этих событий одинаковые, события называются равновероятными. А находим вероятность мы по той же классической формуле.

Пример 2: На семинар приехали 4 ученых из Франции, 2 из Болгарии и 2 из Франции. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из Франции.

Решение: В условии задачи есть слово "жребий", а, значит, мы забываем про порядок выступления и решаем задачу стандартно. Всего в семинаре  участвуют  4+2+2=8 учёных, следовательно, вероятность того, что учёный, который выступает восьмым, окажется из Франции, равна:

ответ: 0,5

Частота события

Чтобы найти вероятность, как мы помним, нужно количество благоприятных исходов разделить на общее количество исходов. Точно так же находится и частота события, задания на которую так же есть в прототипах. В чем же отличие? Вероятность – это прогнозируемая величина, а частота – констатация состоявшегося факта.

Пример3: Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую по- ступила 51 штука.  Насколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности  в  этом  городе?

Решение: Мы уже знаем, что частота события находится по той же формуле. Что нам известно? Что из 1000 проигрывателей 51 пришлось ремонтировать. Значит, частота этого события равна 51:1000=0,051. А чему равна вероятность? 0,045? Что это значит? Значит, в этом отдельно взятом городе событие «гарантийный ремонт» происходит чаще, чем предполагалось. Найдем разницу?

 D=0,051-0,045=0,006

Значит, на 6 проигрывателей больше прогнозируемого попало в ремонт. При этом учтите, что нам НЕ важен знак разности, а лишь ее абсолютное значение.

Ответ:0,006

Задачи на чётность и делимость.

Теперь нам надо вспомнить, что такое четные числа, что такое «число делится на 2,3,5,9» и т.д. И еще вспомнить, что двузначных чисел 90 (от 10 до 99 включая), а трехзначных 900 (с 100 до 999 включительно). Эта информация нам нужна в ряде заданий в качестве . Итак, разбираемся на примерах:

Пример 4.1: На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

Решение: Разбираемся по шагам. Что же такое «четное» число? То, которое делится нацело на 2. То есть, 2,4,6,8 и т.д. Но вот коварный вопрос: а 0 – это четное или нечетное число? Или его нельзя отнести ни к тем, ни к другим? Правильный ответ: ноль – четное число! А сколько тогда вообще цифр на телефоне? Всего 10 цифр. Это наше =10. А какие из них четные? 0,2,4,6,8. Всего 5 цифр. Значит, Nбл=5. Подставляем в классическую формулу:

P==0,5

Ответ:0,5

Пример4.2 Студент берёт один из десяти билетов. Какова вероятность того, что он выберет билет с чётным номером?

Решение: Итак, чётное число - это число, которое делится на 2.То есть в данном случае это 2,4,6,8 и 1, то есть их 5. А всего билетов 10, а вероятность того, что выпадет один из этих билетов равна:

Значит,  мы можем применить теорему сложения:

Ответ:0,5

Задачи на кубики (игральные кости) и броски монеты

В условие каждой из них приходится вникать, понимая, что же в этот раз от нас хотят составители. В этих задачках встречается редкий вопрос: найти не саму вероятность, а лишь число благоприятных исходов. Но мы так привыкли подставлять  в формулу, что совершенно не представляем, что именно это значение и может быть ответом!

Пример5.1: Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию: «А = сумма очков равна 5»?

Решение: Рассмотрим все возможные варианты выпадения двух различных кубиков, которые дают нам в результате 5 очков. Мы знаем, что у кубика 6 различных значений: от 1 до 6. Пусть и кубики будут разными: белый и черный. Тогда рассмотрим различные варианты бросков кубика, удовлетворяющие условию «сумма очков равна 5»

Б  Ч

1   4

4   1

2   3

3   2

У нас получилось 4 различных случая,   удовлетворяющие условию. А значит, количество благоприятных исходов =4.

Ответ:4

Задача5.2: В случайном эксперименте бросают три игральные кости . Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 13 очков. Результат округлите до сотых.

Решение: Итак, в условии задачами нам даются 3 кубика, а в каждом кубике максимальное количество - 6, значит, всего вариантов у нас Теперь вычислим благоприятные исходы методом перебора:

(1;6;6)

(2;5;6)  (2;6;5)

(3;4;6)  (3;5;5)  (3;6;4)

(4;3;6)  (4;4;5)  (4;5;4)  (4;6;3)

(5;2;6)  (5;3;5)  (5;4;4)  (5;5;3)  (5;6;2)

(6;1;6)  (6;2;5)  (6;3;4)  (6;4;3)  (6;5;2)  (6;6;1)

Значит, всего

Теперь вычисляем по классической формуле:

Ответ: 0,1

Задача5.3:  Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что орёл выпадет от 2 до 3 раз.

Решение: Итак, монету бросают дважды. Если обозначить буквой Р выпадение решки, а буквой О - выпадение орла, то все возможные выпадения можно записать так: РР, ОР, РО и ОО (соответственно, выпали две решки, орел потом решка, решка потом орел и два орла). Подсчитываем число этих комбинаций:

OOOO, OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, OPPP,
POOO, POOP, POPO, POPP, PPOO, PPOP, PPPO, PPPP.

Получается

Теперь выбираем те, где орел,(он же буква О) встречается 2 или 3 раза: OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, POOO, POOP, POPO, PPOO,  значит, их будет

Следовательно:

Ответ:0,625

Выстрелы и попадание в цель

Задачи про стрелков, которые делают выстрелы по целям (или мишеням), причем вероятности попаданий для каждого стрелка обычно заданы, а нужно найти вероятность ровно одного попадания, или не более двух попаданий, или всех трех и так далее, в зависимости от конкретной задачи.

Основной метод решения подобных задач - использование теорем о сложении и умножении вероятностей, который мы и разберем на примере ниже.

Пример 6: Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение: Обозначим попадание в мишень с первого   выстрела  буквой A, со второго - буквой B. Вероятность попасть в мишень с двух выстрелов равна сумме вероятностей:

=
Вероятность попасть в мишень с первого выстрела известна:  0,7. Надо найти вероятность попасть со второго выстрела. Показатель 0,7 говорит о том, что стрелок с первого раза попадает в мишень в 7 случаях из  10. Тогда в трех случаях из  10 он промахивается. Говоря иначе, вероятность промахнуться при одном выстреле составляет  0,3. В этом случае он стреляет второй раз. Это независимые события, поэтому вероятность попасть со второго выстрела равна произведению вероятности попасть, и вероятности не попасть:
= 0,3  * 0,7 = 0,21.
Осталось найти сумму вероятностей:
 =0,7 + 0,21 = 0,91.

Ответ:0,91

Теперь уже давайте проверим свои знания:

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Ответ округлите до сотых.

Задача 2: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая пятой, окажется из Китая.

Задача 3: В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдѐт в магазин?

Задача 4: Из множества натуральных чисел от 25 до 39 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 5?

Задача 5: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Задача 6: При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при последующем - 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Задача 7: В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Задача8: Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.

Ключ 1.  0,93

Ключ 2.  0,25

Ключ 3.  0,4

Ключ 4.  0,2

Ключ 5.  0,5

Ключ 6.  5

Ключ 7.  0,498

Ключ8. 0,5