Проект на тему “Метод вспомогательной окружности” (8 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение “Школа №35”

Проект

на тему “Метод вспомогательной окружности”

Выполнили:

ученики 8 “А” класса

МБОУ “Школа №35”

Сафонов Олег

Селезнева Валерия

Учитель: Власова С.Ю.

 г. Рязань, 2020 год

Содержание:

1.     Введение

2.     Актуальность

3.     Цель работы

4.     Задачи

5.     Признаки вспомогательной окружности

6.     Условия применения метода вспомогательной окружности

7.     Этапы решения задач

8.     Задачи с применением метода вспомогательной окружности

9.     Заключение

10.Список использованной литературы

11. Приложение

Введение

При изучении математики мы используем различные методы решения задач. При решении задач по геометрии мы опираемся на свойства, признаки фигур, геометрические формулы. Также часто необходимо сделать дополнительное построение для того, чтобы решить задачу. Иногда условие задачи подсказывает какое дополнительное построение необходимо сделать. Построение дополнительной окружности можно считать отдельным методом решения задач. Метод вспомогательной окружности не рассматривается при изучении школьной программы. Но он является эффективным методом решения задач по геометрии. Наша работа поможет увидеть окружность там, где ее нет, но ее построение облегчит решение задачи.

Актуальность:

Метод помогает решить сложные задания без затруднения. Задачи с применением этого метода используются в решении задач в ОГЭ и ЕГЭ. Опыт, полученный при решении задач с использованием метода вспомогательной окружности, поможет тщательнее подготовиться и успешно сдать экзамены.

Цель работы:

Узнать о методе вспомогательной окружности и применить его на практике с использованием свойств окружности.

Задачи:

Ø Узнать об одном из методов решения задач

Ø Рассмотреть признаки вспомогательной окружности

Ø Рассмотреть особенности метода вспомогательной окружности и узнать в чем он заключается

Ø На примере задач рассмотреть его применение и выявить эффективность метода

Признаки вспомогательной окружности

Первый признак:

Если дан правильный треугольник, то можно провести окружность с центром в любой из его вершин и радиусом, равным длине его стороны, или описать около него окружность, которая разобьется вершинами треугольника на равные дуги по 120° каждая. (рис. 1)

Второй признак:

Если дан прямоугольный треугольник, то вокруг него описывается окружность, центром которой является середина гипотенузы, а радиус равен медиане, проведённой к гипотенузе этого треугольника. R = m (рис. 2)

Третий признак:

Если можно указать точку, равноудалённую от рассматриваемых четырех точек, то эти четыре точки будут лежать на одной окружности. BO = CO = DO = AO (рис. 3)

Четвертый признак:

Пусть около треугольника ABC описана окружность с центром О. Если точки О и C лежат по одну сторону от прямой AB, то ∠ACB = ½∠AOB. Если же эти точки лежат по разные стороны от АВ, то ∠ACB + ½∠AOB = 180°. Обратно, если 1) Точки О и С лежат по одну сторону от АВ, OA = OB и ∠ACB = ½∠AOB или 2) Точки О и С лежат по разные стороны от АВ, OA = OB и ∠ACB + ½∠AOB = 180°, то точка О - центр окружности, описанной около треугольника АВС. (рис. 4)

Пятый признак:

Если точки A и B лежат на одной стороне неразвернутого угла с вершиной O, точки C и D на другой, и при этом OA • OB = OC • OD, то четыре точки A, B, C и D лежат на одной окружности. (рис. 5)

Шестой признак:

Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то вокруг него можно описать окружность. (рис. 6)

Седьмой признак:

Если отрезок AB из точек C и D виден под равными углами, то четыре точки A, B, C и D лежат на одной окружности. (рис. 7)

Восьмой признак:

Если отрезки AB и CD пересекаются в точке О, и при этом OA • OB=OC • OD, то четыре точки A, B, C и D лежат на одной окружности. (рис. 8)

Условия применения метода вспомогательной окружности

Если у четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180°, то около него можно описать окружность (рис. 10, а): α + β = 180°; − частным случаем является ситуация, в которой два противоположных угла равны 90° (рис. 10, б).

Если из двух различных точек, не лежащих на данном отрезке, концы этого отрезка видны под одним и тем же углом, то через данные точки и концы данного отрезка можно провести окружность (рис. 11, а).

Частным случаем является ситуация, когда концы отрезка видны под прямым углом (рис. 11, б). Заметим, что рассмотренные частные случаи можно объединить в конструкцию с общим названием: «прямоугольные треугольники с общей гипотенузой». В данных условиях явно определяется положение центра вспомогательной окружности – он лежит в середине гипотенузы.

Работа по решению задач может быть организована в несколько этапов:

1. Анализ условия («первый взгляд на задачу»). Ещё при анализе условия обучающиеся могут задумываться о возможности применить метод вспомогательной окружности. В качестве «сигналов» могут выступать следующие фразы: «опущены перпендикуляры…», «проведены высоты…», «стороны (или прямые) перпендикулярны…». Как правило, в задачах идёт речь о двух перпендикулярностях. В контексте условия речь также может идти о двух углах, сумма заданных градусных мер которых равна 180°.

2. Построение чертежа («конкретизация»). На данном этапе обучающиеся выполняют построение в соответствии с условием, одновременно конкретизируя и подводя под чертёж свои догадки относительно применения метода вспомогательной окружности.

3. Анализ чертежа и выбор метода. На данном этапе происходит выявление соответствующей ситуации (общей или частной из описанных выше), позволяющей обоснованно применить метод вспомогательной окружности.

4. Обоснование метода. После выбора конкретного случая проводится его теоретическое обоснование, опираясь на общую возможность построения окружности по двум вписанным равным углам или же по вписанному в неё четырёхугольнику.

5. Дополнительное построение. Здесь обучающиеся непосредственно строят вспомогательную окружность.

6. Цепочка следствий. Окружность, как новый элемент позволяет расширить область возможных умозаключений, привнося видимость новых особенностей чертежа. Работая далее с углами в окружности в связи со всем чертежом задачи, выполняя поиск новых отношений, обучающиеся приходят к истинности доказываемого суждения.

Задачи

В профильный ЕГЭ по математике входит геометрическая задача на доказательство повышенной сложности, требующая от учеников всестороннего знания планиметрии. Не существует единых алгоритмов для решения таких задач, правильность выполнения во многом зависит от накопленного опыта решения комбинированных планиметрических задач. Рассмотрим решение 16 номера профильного ЕГЭ по математике с помощью метода вспомогательной окружности.

Задача 1 (ЕГЭ-2018 г.) (рис.12 (а - до использования метода, б - после))

В равнобедренном треугольнике АВС, где угол В – тупой, на продолжение ВС опущена высота АН. Из точки Н на стороны АВ и АС опущены перпендикуляры НК и НМ, соответственно.

Доказать: АМ = МК.

Доказательство:

1) ΔAMH, ΔAKH – прямоугольные, с общей гипотенузой AH. Значит, точки A, M, K, H – лежат на одной окружности, центр которой – середина AH.

2) ∠KAM = ∠KHM = α как вписанные, опирающиеся на дугу MK.

3) ∠BAC = ∠BCA = α по свойству углов при основании равнобедренного треугольника ΔABC.

4) ∠HBA = ∠BAC + ∠BCA = α + α = 2α как внешний угол треугольника ΔABC.

5) Из прямоугольного треугольника ΔABH имеем: ∠HAB = 90° – 2α.

6) Из прямоугольного треугольника ΔAKH имеем: ∠AHK = 2α.

7) ∠AHM = ∠AHK – ∠KHM = 2α – α = α.

8) ∠AHM = ∠AKM = α как вписанные, опирающиеся на дугу AM.

9) Из пунктов 2 и 8 имеем: ∠KAM = ∠AKM = α, следовательно, ΔAMK – равнобедренный (по признаку), т. е. AM = MK (по определению), что и требовалось доказать.

Задача 2 (ЕГЭ-2019 г.) (рис.13 (а - до использования метода, б - после))

Диагональ АС прямоугольника АВСD с центром О образует со стороной АВ угол 30°. Точка Е лежит вне прямоугольника, причём угол ВЕС = 120°. Доказать: ∠СВЕ = ∠СОЕ.

Доказательство:

1) ∠AHM = 30°, BO = OA, тогда ∠OBA = 30°, ∠OBC = 90° – 30° = 60°. Значит, ΔBOC – равносторонний, поэтому ∠BOC = 60°.

2) Рассмотрим четырёхугольник BECO: ∠BOC + ∠BEC = 120° + 60° = 180°. Значит, около данного четырёхугольника можно описать окружность.

3) ∠CBE = ∠COE как вписанные, опирающиеся на дугу EC, что и требовалось доказать.

Заключение

Данная исследовательская работа помогает "заметить" окружность там, где ее нет. Помогает описать окружность там, где это возможно, что значительно облегчает решение задач, которые могут встретиться на экзамене, благодаря этому методу ученик сможет быстро решить трудные задания по геометрии во 2-ой части ОГЭ или ЕГЭ.

Список литературы:

1. Л.С. Атанасян «Геометрия: учебник для 7-9 классов
общеобразовательных учреждений». - М.: Просвещение, 2011 г.
2. Р.К. Гордин «ЕГЭ 2010. Математика. Задача С4» под редакцией А.Л
Семёнова и И.В. Ященко. - М.: МЦНМО, 2010 г.
3. А.Г Мерзляк «Учимся решать задачи по геометрии».
4. А.А Черняк «ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая
подготовка». - СПБ.: БХВ- Петербург, 2015 г.

5. И.Ф.Шарыгин. Геометрия Дрофа М.: 2007.

6. И.Ф.Шарыгин. Решение задач. Просвещение. М.: 2007.

7. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко. М.: Издательство «Национальное образование». 2018.

Приложение:

Рис.1

Рис.2

Рис.3

Рис.4

Рис.5

Рис.6

Рис.7

Рис.8

Рис.10

Рис.11

Рис.12

Рис.13